Sistemas de Ecuaciones
Lineales
Curso: 3º E.S.O.
Duración estimada: 6 hrs.
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Sistemas de Ecuaciones Lineales
Introducción
Contenidos
Temporización
Recursos
Desarrollo de la Unidad. Evaluación
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Introducción
Justificación de la Unidad
Objetivos
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Justificación
• A lo largo de esta unidad didáctica, se pretende que el
alumno, que ya sabe resolver ecuaciones de primer
grado, pueda mejorar su comprensión del significado de
las operaciones algebraicas que realiza para resolverlas y
relacione los aspectos algebraicos con los geométricos,
de forma que facilite el aprendizaje de sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas.
• Se persigue de la misma forma que se familiarice con la
terminología utilizada en este campo y la emplee
adecuadamente: ecuación, solución, etc.
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Objetivos
• Identificación y obtención de las gráficas de las
ecuaciones lineales con dos incógnitas.
• Resolución algebraica y gráfica de sistemas de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas.
• Análisis e identificación de las posibilidades que pueden
presentarse al resolver un sistema de dos ecuaciones
lineales con dos incógnitas.
• Determinación de la compatibilidad de un sistema de
ecuaciones lineales. Interpretación geométrica.
• Traducción al lenguaje algebraico de problemas
diversos.
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Objetivos (II)
• Resolución de problemas mediante sistemas de
ecuaciones analizando la validez de las soluciones en el
contexto del problema.
• Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para
plantear y resolver un problema en diferentes ámbitos
de la sociedad, reconociendo su precisión y simplicidad.
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Contenidos
•
•
•
•
Ecuaciones lineales. Definiciones.
Sistemas equivalentes.
Compatibilidad de sistemas. Método gráfico.
Métodos de resolución algebraica:
– Igualación.
– Sustitución.
– Reducción.
• Modelización de problemas.
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Temporización
• Curso donde se imparte: 3º E.S.O.
• Duración estimada: 6 horas. (incluido examen)
• Programación:
– 1er día: Introducción histórica. Actividad con Cabri Géomètre
II Plus.
– 2º y 3er día: Exposición teórica. Resolución de problemas.
– 4º día: Modelización de problemas.
– 5º día: Repaso de la unidad. Actividad en la red.
– 6º día: Examen.
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Desarrollo de la Unidad
Introducción Histórica
Exposición Teórica. Resolución de Problemas
Aplicaciones informáticas
Evaluación
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Introducción Histórica
• Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los
babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras
tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran
relación con problemas de medida.
• Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la
resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes
términos:
1/4 anchura + longitud = 7 manos
longitud + anchura = 10 manos
•Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban
que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo
utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería:
y + 4x = 28
y + x = 10
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EXPOSICIÓN
TEÓRICA
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Índice
Test de conocimientos previos
Definiciones básicas
Clasificación de los sistemas: Compatibilidad
Métodos algebraicos de Resolución
Planteamiento de Problemas Diversos
Relación de Problemas de la Unidad
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• Ecuaciones con dos incógnitas:
Este tema trata de estudiar las relaciones en las que
aparecen dos incógnitas, por ejemplo:
– El producto de dos números es 24: x · y = 24
– La suma de las edades de dos hermanos es 43: x + y = 43
Observa que una ecuación con dos incógnitas tiene
muchas soluciones. Trata de dar valores a x e y para
que cumplan una relación, por ej. : x + y = 13
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• Sistemas de ecuaciones lineales.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
está formado por las ecuaciones:
ax + by = c
a’x + b’y = c’
donde los coeficientes de las incógnitas y los términos
independientes son números reales.
Se dice que un par de números x1, y1 son una solución del
sistema si al sustituir x por x1 e y por y1 se satisfacen a la
vez las dos ecuaciones del sistema. Así pues, resolver un
sistema de ecuaciones consiste en hallar (si existen) todas
las soluciones.
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• Sistemas equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando
tienen las mismas soluciones.
La siguientes reglas nos permiten pasar a otros sistemas equivalentes:
• Suma o diferencia de números o expresiones algebraicas
2x + y = 5
x+y=3
2x + y - 3 = 5 - 3
x+y+2=3+2
• Producto o cociente por un número real no nulo
2x + y = 5
x+y=3
2 · (2x + y) = 2 · 5
x+y =3
• Suma o diferencia de ecuaciones
2x + y = 5
x+y=3
(2x + y) – (x+y) = 5 - 3
x+y =3
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• Clasificación de sistemas lineales:
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar como:
 Sistemas compatibles: tienen solución.
 S.C. Determinados: solución única.
 S.C. Indeterminados: infinitas soluciones (ecuaciones
equivalentes).
 Sistemas incompatibles: carecen de solución.
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Clasificación de sistemas lineales (II):
• Un método rápido de comprobar si un sistema es
• compatible o no es el siguiente:
• Si -a/b = -a’/b’ y c/b ≠ c’/b’
• Si -a/b = -a’/b’ y c/b = c’/b’
• Si -a/b ≠ -a’/b’
Sist. Incompatible.
S.C. Indeterminado
S.C. Determinado
Observa que los coeficientes a/b, c/b son los resultantes de despejar
la “y” en cada una de las ecuaciones lineales del sistema, es decir:
ax+by=c ↔ y=-a/b x + c/b
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• Ejemplos de los tipos de sistemas:
S. C. Determinado
2x + y = 5
x+y=3
-a/b= -2 ≠ -1=-a’/b’
S. C. Indeterminado
3x + y = 4
6x + 2y = 8
-a/b= -3=-6/3 =-a’/b’
Sistema Incompatible
3x + y = 4
6x + 2y = 4
-a/b= 3=2/6=-a’/b’
Para ampliar
c/b=4 = 8/2 =c’/b’
c/b=4 ≠ 2 =c’/b’
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Método de Igualación
2x + 3y = 5
5x + 6y = 4
Voy a trabajar por separado la primera ecuación y la segunda ecuación.
En ambas buscaré el valor de "y"
2x + 3y = 5
3y = 5 -2x
y = 5 -2x
3
Hemos resuelto para "y" la primera ecuación. El resultado o valor
obtenido, lo emplearemos más adelante.
5x + 6y = 4
6y = 4 -5x
y = 4 -5x
6
Ahora hemos resuelto para "y" la segunda ecuación. El resultado o valor
obtenido, lo emplearemos más adelante.
5 -2x = 4 -5x
3
6
Procedemos a igualar ambas ecuaciones. Ahora atención: los términos
que están dividiendo pasarán a multiplicar
6(5 -2x) = 3(4 -5x)
30 -12x = 12 -15x
15x -12x = 12 - 30
3x = -18
x = -18 = -6
3
5(-6) + 6y = 4
y= 17
3
Resolvemos la ecuación como si se tratase simplemente de una ecuación
de primer grado. Hallaremos el valor numérico de la variable "x"
Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.
Finalmente hallamos el valor de la variable "y"
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Método de Sustitución
2x + 3y = 5
5x + 6y = 4
De mi sistema de dos ecuaciones con dos variables escojo una de
ellas, como por ejemplo, la primera de ellas.
2x + 3y = 5
En mi ecuación escojo una variable para despejar.
2x + 3y = 5
3y = 5 -2x
Como he escogido la variable "y", entonces dejo los términos con "y"
a un lado y llevo los demás al otro lado.
y = 5 -2x
3
Hallamos el valor de la variable "y"
5x + 6(5 -2x) = 4
3
Reemplazamos el valor obtenido para "y" en la segunda ecuación
(recordemos que estará multiplicando al coeficiente)
5x + 10 - 4x = 4
5x - 4x = 4 10
1x = -6
x = -6
Resolvemos el producto, llevamos los términos que tienen variable
"x" a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro
lado de la igualdad. Reducimos términos semejantes. Al realizar
todo este trabajo obtendremos el valor de la variable "x"
5(-6) + 6y = 4
y= 17
3
Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.
Finalmente hallamos el valor de la variable "y"
Siguiente
Método de Reducción
2x + 3y = 5
5x + 6y = 4
Este es el sistema de dos ecuaciones con dos variables
que queremos resolver.
2x + 3y = 5
5x + 6y = 4
Nos damos cuenta, que para la variable "y", tanto en la
primera como en la segunda ecuación, el coeficiente
es múltiplo de 3.
-4x - 6y = -10
5x + 6y = 4
Para hacer que la variable "y" tenga coeficientes
opuestos, multiplicamos a todos los términos de la
primera ecuación por -2
-4x - 6y = -10
5x + 6y = 4
x
= -6
Sumamos (o restamos según sea el caso) la primera
ecuación con la segunda ecuación.
1x = -6
ó
x = -6
Hemos encontrado el valor de la variable "x"
2x + 3y = 5
2(-6) + 3y = 5
Seleccionamos una de las ecuaciones y en ella
reemplazamos el valor de la variable "x"
-12 + 3y = 5
3y = 5 + 12
3y = 17
Nótese que el valor de "x" (que en este caso era -6) lo
hemos multiplicado por el coeficiente de esta misma
letra. El trabajo que viene a continuación es similar
al de cualquier ecuación de primer grado.
y= 17
3
Finalmente hallamos el valor de la variable "y"
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Planteamiento de un Sistema.
Un problema de Balanza
En cada una de ellas hay tigres y conejos.
También hay pesas, cuyos números expresan kilogramos.
¿Sabrías averiguar cuánto pesan cada tigre y cada conejo
sin utilizar otras pesas que las que se dan?
Los tigres pesan todos lo mismo y los conejos también
tienen todos el mismo peso.
Solución
Solución
Consideremos las siguientes incógnitas:
x:= Peso del Tigre
y:= Peso de un conejo
Planteemos el sistema:
Primera Balanza
x  4 y  13
Segunda Balanza
x  2 y  25
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Aplicaciones informáticas
•Visitaremos la página www.librosvivos.net donde
encontraremos una actividad interactiva sobre los
sistemas de ecuaciones con la que el propio alumno
puede “medir” su nivel de aprendizaje de una
manera sencilla y divertida.
•Utilizaremos un software para resolver sistemas de
forma analítica como es derive .
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Recursos
• Los recursos utilizados han sido:
– Ordenador.
– Utilización de software: Derive, Cabri
– Internet
– Tramas para la representación manual de rectas.
• También podrían utilizarse los siguientes:
– Calculadoras gráficas
– Otros programas: Mathematica, Cinderella, etc.
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FIN
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