SISTEMAS DE
ECUACIONES NO
LINEALES
Ulises Umaña Palma
German Vásquez Araya
Un sistema de ecuaciones no
lineales con dos incógnitas “x” y “y”
u ( x , y )  x  xy  10  0
2
v ( x , y )  y  3 xy  57  0
2
Así la solución de este sistema son los valores de ( x , y ) que
hacen a las funciones u y v iguales a cero.
Para resolver estas ecuaciones se utilizan extensiones de los
métodos abiertos antes vistos.
Resolución del sistema de
ecuaciones no lineales

Utilizando la iteración de punto fijo.
La aproximación de la iteración de punto fijo,
vista anteriormente, se puede modificar para
resolver dos ecuaciones simultáneas no lineales
Las modificaciones y las desventajas de este
método se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 6.10
Sistema de ecuaciones no lineales. Valores iniciales x=1.5 y=3.5.
La solución es x=2 y=3
u ( x , y )  x  xy  10  0
2
v ( x , y )  y  3 xy  57  0
2
Solución
x i 1 
10  x i
2
y i  1  57  3 x i y i
2
yi
Con base en los valores iniciales
x 
10  (1 . 5 )
2
 2 . 21429
3 .5
y  57  3 ( 2 . 21429 )  ( 3 . 5 )
2
  24 . 37516
La aproximación diverge, pero si se cambia la formulación, los resultados
difieren.
x 
y 
10  xy
Como se observa en esta ocasión
la aproximación no diverge.
57  y
3x
Evaluando
x 
y 
10  1 . 5  3 . 5  2 . 17945
57  3 . 5
3  2 . 17945
 2 . 86051

2 º Iteración
x 
y 
10  2 . 17945  2 . 86051  1 . 94053
57  2 . 86051
3 1 . 94053

 3 . 04955
3 º Iteración
x 
y 
10  1 . 94053  3 . 04955  2 . 02046
57  3 . 04955
3  2 . 02046

 2 . 98340
E a _ x  3 . 96 %
E t _ x  1 . 02 %
E a _ y  2 . 22 %
E t _ y  0 . 55 %
Resolución del sistema de
ecuaciones no lineales
Utilizando Newton-Raphson.
Este cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden
y con ella se obtiene la ecuación para este método.
f ( x i 1 )  f ( x i )  ( x i 1  x i ) f ( x i )
'

x i 1  x i 
La serie de Taylor de primer orden para el caso de dos variables.
u i 1  u i  ( x i 1  x i )
v i 1  v i  ( x i 1  x i )
u i
x
vi
x
 ( y i 1  y i )
 ( y i 1  y i )
ui
y
vi
y
f ( xi )
'
f ( xi )
Por medio de manipulación matemática y la regla de Cramer.
ui
x i 1  x i 
vi
y
u i vi
x y
y i 1  y i 
vi
ui
x
u i vi
x y
 vi

y
u i vi
y x
 ui

ui
vi
x
u i vi
y x
El denominador de ambas ecuaciones es conocido como el determinante
Jacobiano del sistema.
u ( x , y )  x  xy  10  0
2
v ( x , y )  y  3 xy  57  0
2
Solución.
u 0
x
u 0
y
v0
x
v0
y
 2 x  y  2 (1 . 5 )  3 . 5  6 . 5
 x  1 .5
 3y
2
 3 (3 .5 )
2
 36 . 75
 1  6 xy  1  6 (1 . 5 )( 3 . 5 )  32 . 5
El Jacobiano para la primera iteración.
( 6 . 5 )( 32 . 5 )  (1 . 5 )( 36 . 75 )  156 . 125
Evaluando en las funciones.
u 0  (1 . 5 )  1 . 5 ( 3 . 5 )  10   2 . 5
2
v 0  3 . 5  3 (1 . 5 )( 3 . 5 )  57  1 . 625
2

x1  1 . 5 
y1  3 . 5 
 2 . 5 ( 32 . 5 )  1 . 625 (1 . 5 )
1 . 625 ( 6 . 5 )  (  2 . 5 )( 36 . 75 )
Iteración
2
3
 2 . 03603
156 . 125
 2 . 84388
156 . 125
Variable
Valor
Error Aprox
Error True
x
1,9986
1,87%
0,07%
y
3,0027
5,29%
0,09%
x
2
0,07%
0%
y
3
0,09%
0%
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