Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Circuitos Eléctricos I
• Esta presentación introduce el tema del modelado
matemático de circuitos eléctricos lineales.
• Modelando un circuito eléctrico se obtiene un
sistema implícito de ecuaciones diferenciales y
algebraicas (EDAs) que se convierten en un
sistema explícito de ecuaciones diferenciales y
algebraicas en el proceso de la ordenación
horizontal y vertical de las ecuaciones.
• Eliminando las variables algebraicas, estas EDAs
pueden convertirse a un sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias (EDOs).
Febrero 4, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Contenido
• Elementos y sus modelos
• La topología de los circuitos y sus ecuaciones
• Un ejemplo
• Ordenación horizontal
• Ordenación vertical
• Representación en el espacio de estados
• Transformación al espacio de estados
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Elementos de Circuitos Lineales
• Resistores
va
i
R
vb
u = va – vb
u = R·i
vb
u = va – vb
du
i = C·
dt
vb
u = va – vb
di
u = L·
dt
u
• Capacidades
va
i
C
u
• Inductancias
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va
i
L
u
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Elementos de Circuitos Lineales II
U0
• Fuentes de voltaje
va
i
|
+
vb
U0 = vb – va
U0 = f(t)
vb
u = vb – va
I0 = f(t)
U0
I0
• Fuentes de corriente
va
I0
u
• Tierra
V0
V0
V0 = 0
- V0
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Topología de los Circuitos
• Nodos
va
ia
ib
vb
ic
va = vb = vc
ia + ib + ic = 0
vc
uab
• Mallas
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va
vb
uca
vc
ubc
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uab + ubc + uca = 0
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Un Ejemplo I
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Reglas para Sistemas de Ecuaciones I
• Las ecuaciones de los elementos y de la topología
contienen redundancia.
• Por ejemplo es posible eliminar todas las
variables de potencial (vi) sin problemas.
• La ecuación de corrientes para el nodo de la tierra
es redundante y no se usa.
• Las ecuaciones de las mallas solamente se usan si
las variables de potencial se eliminan. Si no es el
caso, estas ecuaciones son redundantes.
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Reglas para Sistemas de Ecuaciones II
• Si las variables de potencial se eliminan, cada
elemento del circuito define dos variables: la
corriente (i) a través del elemento y el voltaje (u) a
través del mismo.
• Por consecuencia se necesitan dos ecuaciones para
obtener los valores de estas dos variables.
• Una de las ecuaciones es la ley principal del
elemento mismo, la otra se deriva de la topología.
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Un Ejemplo II
Ecuaciones principales de los elementos:
U0 = f(t)
iC = C· duC/dt
u1 = R1· i1
uL = L· diL/dt
u2 = R2· i2
Ecuaciones de los nodos:
i0 = i 1 + i L
i1 = i 2 + i C
El circuito contiene
5 elementos
 Se piden
10 ecuaciones en
10 incógnitas
Ecuaciones de las mallas:
U0 = u1 + uC
uL = u1 + u2
uC = u2
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Reglas para la Ordenación Horizontal I
• La variable representando el tiempo t puede tratarse como
conocida.
• Las variables de estado (variables que aparecen en forma
diferenciada) pueden tratarse como conocidas.
U0 = f(t)
i0 = i 1 + i L
U0 = f(t)
i0 = i 1 + iL
u1 = R1· i1
i1 = i 2 + i C
u1 = R1· i1
i1 = i 2 + i C
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
iC = C· duC/dt
uC = u2
iC = C· duC/dt
uC = u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
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
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Reglas para la Ordenación Horizontal II
• Ecuaciones que contienen una sola incógnita deben
evaluarse por ella.
• Las variables ya evaluadas pueden tratarse como conocidas.
U0 = f(t)
i0 = i 1 + iL
U0 = f(t)
i0 = i 1 + iL
u1 = R1· i1
i1 = i 2 + i C
u1 = R1· i1
i1 = i 2 + i C
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
iC = C· duC/dt
uC = u2
iC = C· duC/dt
uC = u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
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
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Reglas para la Ordenación Horizontal III
• Variables que aparecen en una sola ecuación todavía no
causal deben evaluarse usando esa ecuación.
U0 = f(t)
i0 = i 1 + iL
U0 = f(t)
i0 = i1 + iL
u1 = R1· i1
i1 = i 2 + i C
u1 = R1· i1
i1 = i 2 + i C
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
iC = C· duC/dt
uC = u2
iC = C· duC/dt
uC = u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
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
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Reglas para la Ordenación Horizontal IV
• Todas esas reglas pueden aplicarse múltiples veces.
U0 = f(t)
i0 = i1 + iL
U0 = f(t)
i0 = i1 + iL
u1 = R1· i1
i1 = i 2 + i C
u1 = R1· i1
i1 = i2 + i C
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
iC = C· duC/dt
uC = u2
iC = C· duC/dt
uC = u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
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
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
U0 = f(t)
i0 = i1 + iL
U0 = f(t)
i0 = i1 + iL
u1 = R1· i1
i1 = i2 + i C
u1 = R1· i1
i1 = i2 + i C
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
iC = C· duC/dt
uC = u2
iC = C· duC/dt
uC = u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2


El algoritmo se aplica hasta que
cada ecuación define exactamente
una sola variable que se evalúa
por ella.
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U0 = f(t)
i0 = i1 + iL
u1 = R1· i1
i1 = i2 + iC
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
iC = C· duC/dt
uC = u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Reglas para la Ordenación Horizontal V
• La ordenación horizontal puede ser ejecutada ahora usando
técnicas simbólicas de la manipulación de formulas.
U0 = f(t)
i0 = i1 + iL
U0 = f(t)
i0 = i1 + iL
u1 = R1· i1
i1 = i2 + iC
i1 = u1 /R1
iC = i1 - i2
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
i2 = u2 /R2
u1 = U0 - uC
iC = C· duC/dt
uC = u2
duC/dt = iC /C
u2 = uC
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
diL/dt = uL /L
uL = u1 + u2
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
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Reglas para la Ordenación Vertical
• Entre tanto las ecuaciones se convirtieron en asignaciones.
Pueden ser ordenadas verticalmente de tal manera que
ninguna de las variables se use antes de que esté definida.
U0 = f(t)
i0 = i1 + iL
U0 = f(t)
i2 = u2 /R2
i1 = u1 /R1
iC = i1 - i2
u1 = U0 - uC
iC = i1 - i2
i2 = u2 /R2
u1 = U0 - uC
i1 = u1 /R1
uL = u1 + u2
duC/dt = iC /C
u2 = uC
i0 = i1 + iL
duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L
uL = u1 + u2
u2 = uC
diL/dt = uL /L
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
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Reglas para Sistemas de Ecuaciones III
• Alternativamente es posible trabajar con voltajes y
potenciales.
• En ese caso ecuaciones adicionales definiendo los
potenciales de los nodos deben encontrarse. Se
trata de las ecuaciones que relacionan los voltajes
a través de elementos con los potenciales en sus
terminales. Aquellas no se usaron hasta ahora.
• Las ecuaciones de las mallas son redundantes y
deben eliminarse.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Un Ejemplo III
v1
v2
v0
El circuito contiene
5 elementos y además
3 nodos.
 Se piden
13 ecuaciones en
13 incógnitas.
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Ecuaciones principales de los elementos:
U0 = f(t)
U0 = v1 – v0
u1 = R1· i1
u1 = v1 – v2
u2 = R2· i2
u2 = v2 – v0
iC = C· duC/dt
uC = v2 – v0
uL = L· diL/dt
uL = v1 – v0
v0 = 0
Ecuaciones de los nodos:
i0 = i 1 + i L
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i1 = i 2 + i C
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Ordenación
•
•
•
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El algoritmo de la ordenación de ecuaciones puede
aplicarse exactamente como antes.
El algoritmo de la ordenación ya se había reducido a una
estructura puramente matemática (de información) que
no mantiene ningún conocimiento de la teoría de
circuitos eléctricos.
Por consecuencia la tarea del modelado puede reducirse
a dos problemas parciales:
1.
Transformación de la topología del sistema físico a un
sistema implícito de DAEs.
2.
Conversión del sistema
programación ejecutable.
DAE
a
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una
estructura
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Representación en el Espacio de Estados
• Sistemas lineales:
dx
=A· x+B · u
dt
y=C·x+D·u
;
x(t0) = x0
• Sistemas no lineales:
dx
= f(x,u,t)
dt
y = g(x,u,t)
;
x(t0) = x0
A n  n
n
u m
y p
x
n  m
C p  n
D p  m
B
x = Vector de variables de estado
u = Vector de variables de entrada
y = Vector de variables de salida
n = Número de variables de estado
m = Número de entradas
p = Número de salidas
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Transformación al Espacio de Estados I
duC/dt
= iC /C
U0 = f(t)
i2 = u2 /R2
u1 = U0 - uC
iC = i1 - i2
i1 = u1 /R1
uL = u1 + u2
i0 = i1 + iL
duC/dt = iC /C
= u1 /(R1 · C) – u2 /(R2 · C)
u2 = uC
diL/dt = uL /L
= (U0 - uC) /(R1 · C) – uC /(R2 · C)
Para cada ecuación que define una
derivada
se
substituyen
las
variables de la derecha por las
ecuaciones que definen ellas hasta
que las derivadas dependan
solamente de variables de estado y
de entradas.
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
diL/dt
= (i1 - i2 ) /C
= i1 /C - i2 /C
= uL /L
= (u1 + u2) /L
= u1 /L + u2 /L
= (U0 - uC) /L + uC /L
= U0 /L
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Transformación al Espacio de Estados II
.
Definiendo: x = u
1
1
1 .
.
x = -[
x
u
+
+
]
x =i
R ·C
R ·C
R ·C

u=U
.x = 1 . u
y=u
L
1
C
1
2
L
1
1
2
1
0
C
2
y = x1
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Un Ejemplo IV
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Referencias
• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling,
Springer-Verlag, New York, Chapter 3.
• Cellier, F.E. (2001), Código de Matlab del circuito
eléctrico.
Febrero 4, 2008
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