Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Tratamiento de Discontinuidades II
• En esa presentación trataremos otra vez con el
modelado de sistemas discontinuos.
• Empezamos introduciendo otro método para su
descripción matemática. Ese método está usando
una descripción parametrizada de la curva.
• En seguida trataremos con el problema de la
causalidad variable.
• Acabamos con la presentación de un método que
permite resolver problemas de la causalidad de
forma elegante.
Febrero 8, 2008
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Contenido
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Descripciones parametrizadas de curvas
La causalidad de la ecuación de conmutación
Diodos rezumantes
La singularidad de la ecuación de conmutación
La integración “inline”
La causalidad de la integración inline
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Descripciones Parametrizadas de Curvas
i
s
conducting
• Siempre es posible describir funciones discontinuos por
medio de curvas parametrizadas. Se ilustrará esa técnica
usando el ejemplo de la característica del diodo.
blocking
  s
s=0
Domain:
Condition:
Equations:
blocking:
s<0
u = s; i = 0
conducting:
s>0
u = 0; i = s
u
Domain = if s < 0 then blocking else conducting;
u = if Domain == blocking then s else 0 ;
i = if Domain == blocking then 0 else s ;
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Causalidad de la Ecuación de Conmutación I
• Consideramos una vez más la ecuación de conmutación en
su forma algebraica:
0 = s·i + (1–s)·u
Conmutador abierto: s = 1
Conmutador cerrado: s = 0
• Podemos resolver esa ecuación o por u o por i :
u =
Conmutador abierto:
Conmutador cerrado:
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s
·i
s–1
¡División por 0!
u=0
i =
s–1
s ·u
i=0
¡División por 0!
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Causalidad de la Ecuación de
Conmutación II
• Ninguna de las dos ecuaciones causales puede usarse an
las dos posiciones del conmutador. Una o otra de las dos
posiciones produce una división por 0.
• Es exactamente lo que pasa en la simulación si la
causalidad de la ecuación de conmutación es fija.
 La causalidad de la ecuación de conmutación
siempre tiene que estar libre.
 La ecuación de conmutación siempre tiene que
incluirse en un bucle algebraico.
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Un Ejemplo I
Ri
U0 +
~
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D
C
RL
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Un Ejemplo II
Ri
U0 +
~
D
C
RL
Las dos causalidades son
posibles. Entonces no hay
problemas con la simulación.
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Un Ejemplo III
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L
U0 +
~
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Un Segundo EjemploLa causalidad es fija.
D
Pues hay problemas
con la simulación.
C
RL
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Un Diodo Menos Ideal I
blocking
  s
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conducting
i
s
• Una posibilidad para evitar problemas con la causalidad
consiste en añadir una resistencia de derrame Ron al
conmutador cerrado y una conductancia de derrame Goff al
conmutador abierto.
s=0
Domain:
Condition:
Equations:
blocking:
s<0
u = s; i = Goff · s
conducting:
s>0
u = Ron · s; i = s
u
Domain = if s < 0 then blocking else conducting;
u = s*( if Domain == blocking then 1 else Ron );
i = s*( if Domain == blocking then Goff else 1 );
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Un Diodo Menos Ideal II
• Es la solución que se implementó en la biblioteca estándar
de Modelica.
• La misma solución se ofrece también en la biblioteca
BondLib en la forma de un modelo de un diodo rezumante.
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Un Diodo Menos Ideal III
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Problemas I
• Para aplicaciones eléctricas, la solución usando un
diodo rezumante es frecuentemente aceptable.
• Un problema tiene que ver con el comportamiento
numérico. Si el circuito usando un diodo ideal resulta
en una división por cero, el circuito usando un diodo
rezumante resulta en un modelo rígido.
• Modelos rígidos pueden simularse en Modelica usando
el algoritmo de integración estándar (DASSL).
• Sin embargo, la simulación puede resultar ineficiente y
inútil, al menos para aplicaciones en tiempo real.
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Problemas II
• En el caso de aplicaciones mecánicos, el método es menos
útil, porque las características de rozamiento tienen que
simularse con mucha precisión y además, en aplicaciones
mecánicas, las causalidades de los elementos son casi
siempre fijas.
• Las masas (y inercias) deciden sobre las velocidades, y las
fuerzas (y pares de torsión) de elementos de rozamiento y
muelles deben determinarse usando los elementos R y C en
una causalidad predefinida.
• Por consecuencia se debe buscar otra solución para estas
aplicaciones.
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El Algoritmo de la Integración “Inline”
• Usando un método de integración inline, el algoritmo de la
integración se inserta directamente en el modelo (o
alternativamente: las ecuaciones del modelo se insertan en el
algoritmo de la integración).
• Consideramos una inductancia integrada usando el algoritmo
de Euler implícito.
uL = L · diL /dt
iL(t) = iL(th) + h · diL(t) /dt

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iL(t) = iL(th) + (h/L) · uL(t)
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La Causalidad de la Integración Inline
iL(t) = iL(th) + (h/L) · uL(t)
Conocido porque
calculado en el pasado.
Constituye una relación algebraica entre i y u. La
ecuación se comporta como un resistor. Entonces se
liberó la causalidad.
Si se usa un algoritmo de integración inline, las causalidades
de los elementos de almacenaje se liberan. Por consecuencia
desaparece el problema de la división por cero.
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Diodo Ideal con Integración Inline I
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Diodo Ideal con Integración Inline II
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Referencias I
• Elmqvist, H., M. Otter, and F.E. Cellier (1995), “Inline
integration: A new mixed symbolic/numeric approach for
solving differential-algebraic equation systems,” Proc.
ESM’95, European Simulation Multi-conference, Prague,
Czech Republic, pp. xxiii – xxxiv.
• Otter, M., H. Elmqvist, and S.E. Mattsson (1999), “Hybrid
modeling in Modelica based on the synchronous data flow
principle,” Proc. CACSD’99, Computer-Aided Control
System Design, Hawaii.
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Referencias II
•
Krebs, M. (1997), Modeling of Conditional Index
Changes, MS Thesis, Dept. of Electr. & Comp.
Engr., University of Arizona, Tucson, AZ.
•
Cellier, F.E. and M. Krebs (2007), “Analysis and
simulation of variable structure systems using
bond graphs and inline integration,” Proc.
ICBGM’07, 8th Intl. Conf. Bond Graph Modeling
and Simulation, San Diego, CA, pp. 29-34.
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Viernes, 8 de febrero, 2008