Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Dinámica de Sistemas
• En esta presentación se introduce una nueva
biblioteca de Dymola desarrollada para ayudar con
el modelado de la dinámica de poblaciones y
problemas similares que se describen por flujos de
masas puros.
• Esa metodología del modelado de la dinámica de
sistemas fue introducida en los años sesenta por
J.W.Forrester. La introdujo como una herramienta
para organizar conocimientos parciales de
modelos de sistemas de las ciencias blandas,
como son por ejemplo la biología, la biomedicina
y la macroeconomía.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Contenido
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Febrero 14, 2008
De gráficos de ligaduras hasta la dinámica de sistemas
Crecimiento exponencial
Almacenes y controladores de flujo
El modelo de Gilpin
La lista de la lavandería
Recetas de modelado usando la dinámica de sistemas
Zeiraphera diniana (Guenée)
Influenza
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
De Gráficos de Ligaduras Hasta la
Dinámica de Sistemas I
• Se acuerda como modelamos los flujos convectivos usando
gráficos de ligaduras.
..
.
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..
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
De Gráficos de Ligaduras Hasta la
Dinámica de Sistemas II
• Si no nos interesa de donde viene la energía,
podríamos eliminar las bombas del modelo y
remplazarlas por fuentes de flujo.
e1 = e(t)
Febrero 14, 2008
f1 = f(t)
der(q) = f1 – f2
e = C(q)
f2 = f(t)
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e2 = e(t)
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
De Gráficos de Ligaduras Hasta la Dinámica
de Sistemas III
• Si además no nos interesan los esfuerzos, podemos
eliminar las ecuaciones definiendo aquellos; todas las
ligaduras se quedan activadas y se convierten en señales.
e1 = e(t)
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f1 = f(t)
der(q) = f1 – f2
e = C(q)
f2 = f(t)
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e2 = e(t)
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
De Gráficos de Ligaduras Hasta la Dinámica
de Sistemas IV
• Forrester introdujo una representación gráfica para
capturar exactamente esta situación.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Modelo del Crecimiento Exponencial
• Empezamos implementando el modelo simple del
crecimiento exponencial que introdujimos anteriormente:
P· = BR – DR
BR = kBR · P
DR = kDR · P
Fuentes y sumideros sólo
se incluyen por razones
ópticas, porque la gente
que usa la metodología de
la dinámica de sistemas
está acostumbrada a
ellos. Sin embargo, no se
necesitan para nada.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Almacenes I
• Almacenes representan las variables de estado de la
metodología de modelado de la dinámica de sistemas.
Es una Entrada dibujada
en dirección opuesta por
razones ópticas. Se dará
una explicación pronto.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Controladores de Flujo I
• Flujos representan las derivadas de estado de la
metodología de modelado de la dinámica de sistemas.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Controladores de Flujo II
• Por conveniencia, también se ofrecen controladores de
flujo con múltiples entradas que son o adicionales o
multiplicativas.
Se nota que esta es una
salida dibujada en dirección
opuesta por razones ópticas.
Mientras masa fluye de la
fuente al controlador de
flujos, la información fluye
en dirección opuesta, como
es el controlador que decide
sobre la cantidad de flujo
que pasa por él.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Controladores de Flujo III
• También se ofrecen controladores de flujo limitados que
por ejemplo sólo dejan pasar flujos positivos.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Almacenes II
• También hay almacenes con protección de derrame y con
prevención de secar con bomba un almacén ya vacío.
Una variable Booleana
para el flujo de la entrada
si el almacén está lleno.
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Otra variable Booleana
para el flujo de la salida si
el almacén está vacío.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Modelo de Gilpin I
• Ahora ya tenemos todo que se necesita para ensamblar una
versión usando la dinámica de sistemas del modelo de Gilpin.
Este modelo puede compilarse.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Modelo de Gilpin II
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Modelo de Gilpin III
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Modelo de Gilpin IV
• ¿Qué ganamos representando el modelo de Gilpin usando el
formalismo de la dinámica de sistemas?
¡Absolutamente nada!
La dinámica de sistemas se inventó como una herramienta para
capturar de forma gráfica conocimientos parciales de sistemas mal
definidos, generando un modelo que puede aumentarse
sucesivamente cuando se obtienen nuevos conocimientos.

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La dinámica de sistemas no es particularmente útil para
implementar un modelo que ya se desarrolló completamente,
como es el modelo de Gilpin.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Lista de la Lavandería
• La dinámica de sistemas,
como todas las demás
metodologías de modelado
decentes, siempre empieza
con un conjunto de variables
que se usarán en el modelo,
en particular los almacenes y
los controladores de flujo.
Natalidad:
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•
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•
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•
Almacenes
Controladores de flujo
Entradas
Población
Dinero
Frustración
Amor
Células de tumor
Existencias
Conocimientos
Natalidad
Ingresos
Estrés
Cariño
Infección
Remesas
Aprendizaje
Población
Estándar de vida
Calidad de nutrición
Cantidad de nutrición
Educación
Anticonceptivos
Religión
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Salidas
Mortalidad
Gastos
Cariño
Frustración
Tratamiento
Véndidas
Olvido
Para cada de los flujos, se
define una lista de las
variables
que
más
importan. Se llama la lista
de lavandería.
Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Recetas de Modelado
• Siempre empezamos seleccionando los almacenes que deben
incluirse en el modelo. Estos deben ser cantidades que pueden
acumularse.
• Para cada almacén definimos uno o más flujos de entrada
aditivos y uno o más flujos de salida aditivos. Estos serán los
controladores de los flujos de entrada y salida.
• Para cada controlador de flujo decidimos sobre su lista de
lavandería que consiste en los factores más importantes.
• Para cada de estos factores se generan ecuaciones que
relacionan los factores con los almacenes, los flujos y otros
factores. Estas ecuaciones se definen usando tanta intuición
física que sea posible. Bucles algebraicos se evitan.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) I
• Ahora trataremos encontrar un mejor modelo para la
descripción de la dinámica de la población de Zeiraphera
diniana usando la metodología de la dinámica de sistemas.
• Estipulamos que la interacción entre los insectos y los árboles
es el factor dominante gobernando la dinámica de la población
de los insectos. Asumimos que la influencia de los parásitos
es mucho menos importante y puede ignorarse.
• Trataremos encontrar un modelo basado principalmente en
intuición física.
• El ajuste de curvas se usará también, pero solamente para la
identificación de propiedades locales que pueden medirse.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) II
• Los insectos producen huevos solamente una vez cada año.
Ponen sus huevos en agosto sobre las ramas de los alerces.
Los huevos se quedan en un estado de diapausa embrionaria
extendida hasta la próxima primavera.
• Por eso tiene sentido usar un modelo discreto, es decir,
describir la dinámica de la población de los insectos por
ecuaciones de diferencia.
• Por este propósito, se ofrece también un modelo discreto de
almacén en la biblioteca SystemDynamics de Dymola.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Almacenes Discretos
• Almacenes discretos son otro tipo de variables de estado
de la metodología de la dinámica de sistemas.
La cláusula when se ejecuta por vez primera a
time=h, después una vez cada h unidades de
tiempo.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) III
• Hay dos variables de estado discretos: el número de
huevos y la fibra cruda que se come por las larvas.
Porque ambos los huevos
y las agujas se remplazan
cada año, los viejos
huevos y la fibra vieja
tienen que eliminarse del
modelo en cada paso. Por
consecuencia, los flujos
de salida son iguales a los
niveles de los almacenes.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) IV
• Durante el otoño, algunos de los huevos se comen por
varias especies de Acarina y Dermaptera.
• Durante el invierno, algunos de los huevos se quedan
infectados por parásitos de una especie de Trichogramma.
• Los huevos que sobreviven el invierno están listos para
eclosionar en junio.
• Todos estos efectos de la mortalidad invernal pueden
modelarse juntos como una sola constante:
Small_larvae = (1.0 – winter_mortality) · Eggs
winter_mortality = 57.28%
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Gain Factors
• Factores multiplicativos se modelan de la manera siguiente:
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) V
• Si o no sobreviven las larvas pequeñas depende
mucho de suerte. Por ejemplo, si la rama sobre la
cual se depositaron los huevos muere durante el
invierno, las larvas jóvenes no tienen comida.
• Se llama el factor de la incoincidencia.
Large_larvae = (1.0 – incoincidence) · Small_larvae
• Sin embargo, el factor de la incoincidencia no es
constante. Depende fuertemente del porcentaje de
fibra cruda contenido en la biomasa del árbol.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Regresión Lineal
• Un modelo de regresión lineal se usó para determinar el
factor de incoincidencia usando datos de medida:
incoincidence = 0.05112 · rawfiber – 0.17932
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) VI
• Por consecuencia puede modelarse la población de larvas
grandes usando dos “regresiones lineales” seguidas por un
modelo de producto con dos entradas:
incoincidence = 0.05112 · rawfiber – 0.17932
coincidence = (-1.0) · incoincidence + 1.0
Large_larvae = coincidence · Small_larvae
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) VII
• En la misma manera puede modelarse el ciclo de vida
entero de los huevos:
Small_larvae = (1.0 – winter_mortality) · Eggs
Large_larvae = (1.0 – incoincidence) · Small_larvae
Insects = (1.0 – starvation) · (1.0 – weakening) · Large_larvae
Females = sex_ratio · Insects
New_eggs = fecundity · Females
• La población de los animales se queda diezmada aun más o
porque las larvas grandes no tienen bastante comida
(inanición) o porque ya eran enfermas anteriormente
(debilidad fisiológica).
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) VIII
• Notamos que encontramos un modelo físico de casi el entero
ciclo de vida de los huevos.
• El ajuste de curvas se usó sólo para la identificación de
modelos de regresión lineal de cantidades físicas de medida.
incoincidence = 0.05112 · rawfiber – 0.17932
weakening = 0.124017 · rawfiber – 1.435284
fecundity = -18.475457 · rawfiber + 356.72636
• La proporción entre los sexos es constante mientras la
inanición depende de la demanda de comida y el follaje de
los árboles (provisión de comida):
sex_ratio = 0.44
starvation = f1 (foliage, food_demand)
food_demand = 0.005472 · Large_larvae
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) IX
• De forma similar puede modelarse también el ciclo de vida
de los árboles:
New_rawfiber = recruitment · rawfiber
• donde:
recruitment = f2 (defoliation, rawfiber)
defoliation = f3 (foliage, food_demand, starvation)
foliage = specific_foliage · nbr_trees
specific_foliage = -2.25933 · rawfiber + 67.38939
nbr_trees = 511147
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) X
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) XI
• Empezamos decidiendo sobre el formalismo, es decir, decidimos que
usaremos almacenes discretos en lugar de continuos.
• Luego identificamos el número de almacenes, es decir, el número de
cantidades que pueden acumularse independientemente. En nuestro
caso, decidimos usar los huevos de los animales y la fibra cruda de los
alerces como las dos variables de estado.
• En seguida identificamos los ciclos de vida de los dos almacenes.
• Limitamos el ajuste de curvas a la identificación local de relaciones
entre variables que pueden verificarse. Para ello usamos modelos de
regresión lineal en nuestro caso.
• Estos pasos ya produjeron un modelo casi completo. Lo único que
todavía falta es la identificación de tres listas de lavandería: f1, f2 y f3
que deben analizarse más.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Relaciones Funcionales
•
La biblioteca SystemDynamics ofrece tres bloques parciales para la
descripción de relaciones funcionales, uno por funciones con una sola entrada,
una por funciones con dos entradas y una más por funciones con tres entradas.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) XII
• Este bloque se usó para generar el modelo de la inanición:
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) XIII
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) XIV
• La ventana de ecuaciones del modelo principal:
• Se nota que ningún ajuste global de curvas fue aplicado a
ese modelo.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) XV
• Ahora podemos compilar el modelo.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) XVI
• El modelo reproduce el comportamiento observado de un
ciclo límite de la población de los insectos correctamente,
ambos en términos de su amplitud y frecuencia.
Como no se aplicó ningún ajuste global de curvas al modelo, es una
indicación que las relaciones más importantes se modelaron bien.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Modelo de una Epidemia de Influenza I
• Queremos modelar otro sistema más describiendo la propagación de
una epidemia de influenza en una comunidad de 10.000 personas.
• La influenza puede contraerse en cualquier momento. Por eso
utilizaremos almacenes continuos para este modelo.
• Gente que está infectada por el virus tome cuatro semanas hasta que
muestran síntomas. Se llama el período de incubación. Sin embargo,
ya están contagiosos durante este período.
• Una vez que se sienten enfermos se quedan enfermos durante dos
semanas.
• Después de su convalecencia se quedan inmune a este virus durante
26 semanas. Después pueden contraer el virus otra vez.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Modelo de una Epidemia de Influenza II
• Elegimos entonces los almacenes.
• Pueden identificarse cuatro tipos de gente:




gente no infectada.
gente ya infectada todavía sin síntomas.
gente enferma.
gente inmune.
• Usaremos estas cuatro variables como almacenes.
• Es cierto que hay solamente tres variables de estado,
porque la suma de las cuatro variables siempre queda
10.000, es decir, puede calcularse la cuarta de las tres
demás, pero mientras no insistimos que las cuatro
condiciones iniciales deben decidirse independientemente,
eso no nos dará problemas.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Modelo de una Epidemia de Influenza III
• Los cuatro almacenes se conectan en un bucle cerrado.
• Entre ellos hay cuatro controladores de flujo:




tasa de contracción.
tasa de incubación.
tasa de mejoría.
tasa de reactivación.
• Usaremos estas cuatro variables como controladores de
flujo.
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Modelo de una Epidemia de Influenza IV
• La tasa de contracción puede evaluarse como el
porcentaje de población contagiosa multiplicado por el
número de contactos por semana multiplicado por la
probabilidad de contraer el virus en un solo contacto.
• La tasa de incubación puede evaluarse como el cociente
de la población infectada y el tiempo hasta que aparecen
los síntomas.
• La tasa de mejoría puede evaluarse como el cociente de la
población enferma y la duración de los síntomas.
• La tasa de reactivación puede evaluarse como el cociente
de la población inmune y la duración de la inmunidad.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Modelo de una Epidemia de Influenza V
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Modelo de una Epidemia de Influenza VI
• Tomamos en cuenta que el número de gente en cada
almacén debe ser un número entero.
Por defecto, la función integer de Dymola producirá eventos. Eso
no es útil aquí. Por lo tanto se usa la cláusula noEvent para prevenir
iteraciones innecesarias de eventos.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Modelo de una Epidemia de Influenza VII
• Un problema adicional concerniente la tasa de contracción tiene que
mencionarse.
• Podría pasar teóricamente que el modelo infecta a más personas que el
total de la población no infectada. Eso tiene que prevenirse.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Modelo de una Epidemia de Influenza VIII
• La ventanilla de las ecuaciones del modelo principal se usa para
programar la primera infección:
• Al instante time = 8 semanas, introducimos un solo paciente con
influenza en la población general de nuestra comunidad.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Modelo de una Epidemia de Influenza IX
• El modelo ahora puede compilarse.
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Modelo de una Epidemia de Influenza X
• Resultados de la simulación:
• Dentro de 6 semanas, casi la población entera de la
comunidad fue infectada con el virus. ¡La epidemiología
de esta enfermedad es tan mala como la de la carta de
cadena!
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Conclusiones
• Mejoramos nuestra habilidad para desarrollar modelos de
sistemas de ciencias blandas en una forma bien
organizada que además utiliza los conocimientos de la base
física de aquellos sistemas tan bien que sea posible.
• La dinámica de sistemas fue introducida como una
metodología que permite formular y capturar conocimientos parciales de la aplicación que pueden refinarse
cuando más información se encuentra.
• La dinámica de sistemas es la metodología de modelado
más usada en todas las ciencias blandas. Miles de
científicos han aprovechado de esta metodología para sus
tentativas de modelar sistemas blandas.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Referencias
• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling,
Springer-Verlag, New York, Chapter 11.
• Fischlin, A. and W. Baltensweiler (1979),
“Systems analysis of the larch bud moth system,
Part 1: The larch – larch bud moth relationship,”
Mitteilungen der Schweiz. Entomologischen
Gesellschaft, 52, pp. 273-289.
• Cellier, F.E. (2007), The Dymola System Dynamics
Library, Version 2.0.
Febrero 14, 2008
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