Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Dinámica de Poblaciones I
• En esta presentación hablaremos del modelado de
la dinámica de poblaciones, es decir, hablaremos
de cómo se pueden pronosticar los tamaños de
poblaciones de especies biológicas en función del
tiempo.
• Dichos sistemas se modelan por flujos de masa, es
decir, las leyes de la conservación de energía no se
observan.
• Por consecuencia, los gráficos de ligaduras no
sirven para el modelado de este tipo de sistemas.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Contenido
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Febrero 14, 2008
Limitaciones de los gráficos de ligaduras
El crecimiento exponencial
Límites del crecimiento
La ecuación logística
Tiempo continuo o discreto
La carta de cadena
El censo de los EEUU
El ajuste de curvas
Modelos predador-presa
Zeiraphera diniana (Guenée)
Competición y cooperación
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Limitaciones de Gráficos de Ligaduras I
• Los gráficos de ligaduras se desarrollaron alrededor de los principios
de conservaciones en la física (conservación de energía y de masa).
Por consecuencia, sólo sirven para el modelado de sistemas físicos.
• La química representó un caso dudoso. Aunque es posible modelar la
dinámica de las reacciones químicas sobre el nivel de la física, no es
necesario hacerlo porque las ecuaciones describiendo los flujos de
masa (la velocidad de reacciones) se quedan desacopladas de las
ecuaciones del balance de la energía. Por eso se hace raramente. Lo
hicimos porque la interpretación por gráficos de ligaduras de
reacciones químicas ofrece intuiciones adicionales que no pueden
obtenerse fácilmente de otra manera.
• Sin embargo, con el crecimiento de la complejidad de las moléculas,
especialmente en la química orgánica, es más y más difícil saber
cuáles son las reacciones de paso, y sobre ese nivel, la química se trata
como una ciencia empírica.
Los conocimientos usados son
simplemente observaciones de experimentos.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Limitaciones de Gráficos de Ligaduras II
• Progresando a sistemas de complejidad aún más grande, como ocurren
en la bioquímica, se presenta una situación verdaderamente imposible.
• Aunque vivimos en un universo físico y aunque la mayoría de los
científicos están de acuerdo que las leyes de la naturaleza últimamente
son las leyes de la física, nos faltan los conocimientos necesarios para
explicar los procesos de la mitosis y meiosis (la división de las células)
usando las leyes básicas de la física, o aún peor, para explicar cómo el
código genético dirija las células para que reproduzcan un animal vivo
y funcionando desde las instrucciones codificadas en él.
• Con esta presentación tomamos un paso muy grande, ignorando la
química orgánica, la bioquímica, la biología molecular, la biología de
las células, la genética, etc., avanzando directamente hasta el nivel de
la dinámica de poblaciones, es decir, asumimos la vista de pájaro para
modelar de forma macroscópica el desarrollo de las poblaciones en el
tiempo.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Crecimiento Exponencial I
• El cambio de una población en el tiempo puede
expresarse como la diferencia entre la natalidad y la
mortalidad.
P· = BR - DR
• Es razonable suponer que la natalidad y la mortalidad son
proporcional con la población:
BR = kBR · P
• Entonces:
DR = kDR · P
P· = (kBR - kDR ) · P

Febrero 14, 2008
(kBR -kDR ) · t
P(t) = P0 · e
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Crecimiento Exponencial II
(kBR -kDR ) · t
P(t) = P0 · e
• Populaciones de todas las especies crecen de forma
exponencial en el tiempo.
• ¡También es válido para los seres humanos!
 Cada especie crece a un nivel más alto del
sostenible.
 Últimamente, las poblaciones se quedan
controladas por hambre y no por cerebros.
La tarea principal del estudio de la dinámica de las
poblaciones es la vencida de esta ley tan deprimente.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Límites del Crecimiento
• Cuando no queda bastante nutrición, es decir, cuando todo lo que
puede comerse ya está usado por la población, podemos definir la
nutrición per cápita como la nutrición disponible dividida por la
población:
Fp.c. = Ftotal / P
• Si no queda bastante nurición para todos, la natalidad decrece mientras
que la mortalidad crece. Se habla del efecto de apiñamiento.
• La proposición usada más frecuentemente es que un ecosistema
consistiendo en una sola especie puede nutrir un número fijo de
animales de esta especie:
·
P = k · (1.0 -
Febrero 14, 2008
P )·P
Pmax
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Ecuación Logística
·
P = k · (1.0 -
P )·P
Pmax
• La ecuación por arriba se llama la ecuación logística continua.
Saturación
Crecimiento exponencial
Pmax = 1000
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Modelos Continuos y Discretos
• Aplicando el algoritmo de Euler explícito:
·
P(t+h) = P(t) + h · P(t)
• A la ecuación diferencial que describe el cambio de la
población:
P· = k · P
• Obtenemos una ecuación de diferencias:
P(t+h) = P(t) + h · k · P(t) = (1.0 + h·k) · P(t)
• Puede ser justificado usar ese modelo más tosco o porque
la precisión de nuestro modelo no es tan grande o porque
la población reproduce sólo en la primavera (h = 1.0).
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Carta de Cadena I
• Las técnicas de modelado usadas en la descripción de la
dinámica de poblaciones también puede aplicarse a la
descripción de modelos macroeconómicos. Consideremos
el modelo de una carta de cadena.
• Las reglas siguientes gobiernan este modelo artificial:
 Las cartas se reciben con dos direcciones, la del remitente (el
“padre”) y la del remitente de la carta que recibió el remitente (el
“abuelo”).
 Después de recibir una tal carta, el recipiente envía $1 a su
abuelo. Después envía una carta a 10 de sus amigos, de nuevo
con dos direcciones, la suya como la del padre y la de su padre
como la del abuelo.
 La carta sólo se transmite dentro de los EEUU.
 Cada recipiente contesta una sola vez. Si recibe la carta otra vez,
la echa.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Carta de Cadena II
• Tienen que especificarse reglas especiales para las condiciones
iniciales.
 El creador de la cadena envía cartas a 10 personas con una sola
dirección (la suya) y sin pagar nada.
 Si un recipiente recibe la carta con una sola dirección, envía una
carta a 10 otras personas con dos direcciones, la suya como padre
y la del creador como abuelo. No paga nada a nadie.
• Cada participante tiene 100 nietos. Por eso puede esperar recibir $100.
• Con la excepción de los primeros 11, que no pagan nada, cada
participante paga $1.
• Entonces este juego representa una perfecta (y totalmente ilegal)
manera de producir “ganancias” para todos. Aparentemente, no se
observan las reglas de la conservación de energía en este sistema.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Carta de Cadena III
• La cadena puede modelarse fácilmente como sistema
discreto.
I = 10 · (1.0 - P )
Pmax
R = I · pre(R)
P = pre(P) + R
Febrero 14, 2008
I es el número promedio de nuevas
infecciones por recipiente.
R, el número de nuevos recipientes, puede
evaluarse como el número de nuevas
infecciones por recipiente multiplicado por el
número de recipientes del paso anterior.
P, el número de personas ya infectadas, es el
número de personas infectadas anteriormente
más las personas infectadas en el paso actual.
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Carta de Cadena IV
• Se puede programar fácilmente en Modelica.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Resultados de la Simulación
 Inicialmente, cada participante
gana exactamente $99 como se
espera.
 Sin embargo, ya después de 7
generaciones, la población
entera de los EEUU queda
infectada.
 Después, cada participante
nuevo pierde $1.
Las leyes de la conservación de
energía no se violaron. No se
produce dinero nuevo. Los que
participan temprano, ganan
dinero a expensas de aquellos
que participan más tarde.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Resultados de la Simulación II
Crecimiento
exponencial
Prosperidad
Febrero 14, 2008
Stagnación
Recesión
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Interpretación
• Mientras continúa el crecimiento exponencial, es
decir, mientras la segunda derivada de la
trayectoria de la población se queda positiva, la
población está capaz de tomar préstamos del
futuro. Efectivamente se come el pan de sus hijos.
• Una vez que el punto de inflexión ha pasado, las
deudas de las generaciones anteriores tienen que
devolverse.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Censo de los EEUU I
• En los EEUU, se colectaron estadísticas de la
población cada 10 años desde 1850.
• Usé Matlab para ajustar la curva:
P· = a · P + b · P 2
• a los datos de censo disponibles.
• Después usé Modelica para graficar los datos
medidos juntos con la curva ajustada.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Censo de los EEUU II
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Censo de los EEUU III
Pmax = 402.59 · 106
Punto de
inflexión = 1971
El punto de inflexión es relativamente sensitivo. Sin embargo, no
importa como lo calculamos. Ya está en el pasado.

Febrero 14, 2008
No podemos confiar más en un número creciente de
niños que pagarán nuestros beneficios de retiro.
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Ajuste de Curvas I
• Miramos como se hizo el ajuste de la curva. Ya que
tenemos medidas de la población misma pero no de su
derivada, tenemos que aproximar el gradiente de la
población numéricamente.
• Con este propósito, ajustamos un polinomio cuadrado
pasando por tres valores vecinos de la población:
Pi-1 = c1 + c2 · t i-1 + c3 · t i2
1P
= c1 + c2 · t i + c3 · t i 2
i
Pi+1 = c1 + c2 · t i+1 + c3 · t i+12
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Ajuste de Curvas II
• En forma matricial:
}
Pi-1
t i-10 t i-11 t i-12
c1
Pi = t i 0 t i 1 t i 2
· c2
Pi+1
t i+10 t i+11 t i+12
c3
V
p=V·c

= Matriz de Vandermonde
c = V -1 · p = V \ p
Notación de Matlab
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Ajuste de Curvas III
• Una vez calculado el vector de los coeficientes, podemos
aproximar la derivada:
Pi = c1 + c2 · t i + c3 · t i 2

P· i  c2 + 2c3 · t i
• Pudiéramos usar otro polinomio de interpolación, por
ejemplo splines cúbicos o la interpolación inversa de
Hermite.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Ajuste de Curvas IV
• Ahora podemos ajustar la ecuación logística:
·
P1  a · P1 + b · P12
·
P2  a · P2 + b · P22
···
·
Pn  a · Pn + b · Pn2
• Tenemos n ecuaciones en las dos incógnitas a y b.

Febrero 14, 2008
Podemos resolver por a y b sólo en el sentido de
los cuadrados mínimos.
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Ajuste de Curvas V
• En forma matricial:
·
P1
P1
aP· 2
P2
b·· 
·
·
Pn
Pn
P12
·
P22
··
·
Pn2
}
V
Febrero 14, 2008
= Matriz de Vandermonde
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Ajuste de Curvas VI
• En general:
· x
y

V
VT

y
VT

Febrero 14, 2008
VT
·
· x
·

V
 VT·V · x
·
y
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Ajuste de Curvas VII
• Entonces:
VT
 VT·V · x
·
y
VT · y  (VT·V) · x

x  (VT·V) -1 · VT · y
}
Pseudo inversa
de PenroseMoore
 xV\y
Notación Matlab
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Modelos Predador-Presa I
• Si múltiples especies interaccionan una con otra, el
modelo logístico ya no sirve más.
• Un modelo simple de dos especies alimentándose una
de otra fue propuesto por Lotka y Volterra.
·
Ppred = -a · Ppred + k · b · Ppred · Pprey
P· prey = c · Pprey - b · Ppred · Pprey
• El modelo de Lotka-Volterra supone que la población
de los predadores decrecería de forma exponencial sin
presa, mientras que la población de la presa crecería
exponencialmente sin predadores debido a un
suministro infinito de nutrición.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Modelos Predador-Presa II
• Si un predador encuentra una presa (Ppred · Pprey ), un cierto
porcentaje de la “energía” almacenada en la población de la
presa está transferido a la población de los predadores.
• La eficiencia de la transferencia es menos de 100%. Un cierto
porcentaje de la energía se pierde en el proceso (k < 1.0).
• Modelos del tipo Lotka-Volterra resultan en oscilaciones
cíclicas. Tales oscilaciones pueden observarse frecuentemente
en la naturaleza.
• Especialmente poblaciones de insectos, como por ejemplo
langostas, aparecen en números muy grandes en intervalos
fijos de tiempo, mientras son casi extintos en años intermedios.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) I
• Zeiraphera Diniana es un bicho que vive en el valle de la
Engiadina Alta en el sudeste de Suiza a alturas de 1600 hasta
2000 m.
• Sus larvas comen las agujas de los alerces. La dinámica de la
población tiene un ciclo límite de nueve años, es decir, la
población de estos bichos crece por múltiples órdenes de
magnitud una vez cada nueve años y todos los alerces se
descoloran a causa del pillaje.
• Por consecuencia, la población de los insectos fue ajustada a la
población de los predadores de un modelo Lotka-Volterra.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) II
• El ajuste es bastante bueno. ¿Puede concluirse que se entiende
ahora la dinámica de la población de estos animales?
Desafortunadamente, la respuesta es que no se puede.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) III
• Zeiraphera Diniana tiene parásitos. Entonces, si la
población de los insectos es grande, la probabilidad
de una epidemia de los parásitos crece mucho.
• Por eso, es tan razonable ajustar la población de
Zeiraphera Diniana a la población de la presa de un
modelo Lotka-Volterra que a la de los predadores.
• Lo tratamos también.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Zeiraphera Diniana (Guenée) IV
• El ajuste de la curva es tan bien como el otro. Por eso, no se
puede concluir desde la calidad del ajuste que la estructura
elegida del modelo explica correctamente la relación causaefecto del sistema biológico.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Los Peligros del Ajuste de Curvas
• El ajuste de curvas sólo puede usarse para la interpolación en
el espacio y la extrapolación en el tiempo (mientras las
variables predichas se quedan dentro del intervalo observado).
• Modelos obtenidos de forma inductiva ajustando un modelo
matemático a un conjunto de datos observados debe nunca
usarse para explicar las variables internas del modelo.
• Un tal modelo no tiene validez interna.
• Un mejor (internamente válido) modelo de Zeiphera Diniana
se presentará más tarde en el curso.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Competición y Cooperación I
• Dos especies pueden también interaccionar de otra forma
una con otra.
• Por ejemplo pueden competir para la misma fuente de
nutrición:
x· 1 = a · x1 - b · x1 · x2
x· 2 = c · x2 - d · x1 · x2
• O alternativamente pueden cooperar, por ejemplo en una
simbiosis:
x· 1 = -a · x1 + b · x1 · x2
x· 2 = -c · x2 + d · x1 · x2
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Competición y Cooperación II
• Animales de una sola especie también pueden cooperar,
por ejemplo protegiéndose mutuamente en una manada
(agrupamiento).
x· = -a · x + b · x 2
• Alternativamente pueden sufrir efectos de apiñamiento:
x· = a · x - b · x 2
• Es cierto que varios de estos fenómenos pueden tomar
efecto simultáneamente.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Conclusiones
• Hablamos por primero de ecosistemas con una sola
especie. Descubrimos que estas poblaciones siempre
muestran un patrón de crecimiento exponencial seguido
por un patrón de saturación. Este comportamiento puede
modelarse usando la ecuación logística continua.
• También vimos que ecosistemas con dos especies a
menudo muestran oscilaciones. Este comportamiento
puede modelarse usando el modelo de Lotka-Volterra.
• En la próxima presentación, miraremos las patrones
mostradas por ecosistemas con múltiples especies.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Referencias
• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling,
Springer-Verlag, New York, Chapter 10.
• Cellier, F.E. (2002), Matlab code to curve-fit a logistic
model to the U.S. census data.
• Cellier, F.E. and A. Fischlin (1982), “Computer-assisted
modeling of ill-defined systems,” in: Progress in
Cybernetics and Systems Research, Vol. 8, General
Systems Methodology, Mathematical Systems Theory,
Fuzzy Sets (R. Trappl, G.J. Klir, and F.R. Pichler, eds.),
Hemisphere Publishing, pp. 417-429.
Febrero 14, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Descargar

Continuous System Modeling