Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Tratamiento de Discontinuidades
• En esta presentación trataremos con el problema
de la ocurrencia de discontinuidades en modelos.
• Modelos de la ingeniería exhiben frecuentemente
discontinuidades que describen situaciones como
la conmutación, limitadores, el rozamiento de
Coulomb, impulsos y fenómenos similares.
• El entorno de modelado debe ser capaz de tratar
con estos problemas de forma eficiente, porque
influencian fuertemente el comportamiento
numérico del “resolvedor” de las ecuaciones
diferenciales.
Febrero 8, 2008
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Contenido
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Resolvedores de ecuaciones diferenciales numéricos
Discontinuidades en ecuaciones de estado
La integración a través de discontinuidades
Eventos en el estado
El tratamiento de eventos
Funciones multivalores
El conmutador eléctrico
El diodo ideal
El rozamiento
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Resolvedores de EDOs Numéricos
• Todos los resolvedores numéricos de EDOs en el mercado
de hoy funcionan usando extrapolaciones polinomiales.
• El valor de una variable de estado x al instante de tiempo
t+h, donde h es el paso de la integración numérica, se
aproxima ajustando un polinomio de orden n tal que
coincide en n+1 valores conocidos de suporte de x y de
dx/dt al instante de tiempo t y a valores del pasado.
• El valor del polinomio de extrapolación al instante de
tiempo t+h representa la solución aproximada de la
ecuación diferencial ordinaria.
• En el caso de algoritmos implícitos de la integración se
usa también el valor de la derivada del estado al instante de
tiempo t+h como un valor de suporte.
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Ejemplos
Algoritmo de integración de Euler explícito de 1er orden:
·
x(t+h)  x(t) + h · x(t)
Algoritmo de integración de Euler implícito de 1er orden:
·
x(t+h)  x(t) + h · x(t+h)
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Discontinuidades en Ecuaciones del Estado
• Polinomios son siempre funciones continuas
continuamente derivables.
• Entonces, si las ecuaciones de estado del sistema:
y
· = f(x(t),t)
x(t)
• exhiben una discontinuidad, el polinomio de extrapolación
aproxima la realidad pobremente.
• Por consecuencia exhiben algoritmos de integración con
paso fijo un error de integración largo, mientras que
algoritmos de integración con paso variable tienen que
reducir el tamaño del paso fuertemente en la proximidad de
una discontinuidad.
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Integración a Través de Discontinuidades
• Un algoritmo de integración con paso variable reduce el
tamaño del paso en la proximidad de cada discontinuidad.
• Después de pasar por encima de la discontinuidad, el
tamaño del paso tiene que alargarse lentamente, porque el
algoritmo de la integración no puede distinguir entre una
discontinuidad y un punto local de rigidez larga (con un
valor absoluto largo de la derivada).
h
Discontinuidades
t
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El
paso
se
queda
constantemente pequeño.
La simulación al menos
es muy ineficiente, sino
incorrecta.
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Eventos en el Estado
• Estas problemas pueden evitarse si se dice al algoritmo de
integración de forma explícita cuando y donde ocurren
discontinuidades en la descripción del modelo.
Ejemplo: El limitador
f(x)
3
fp
a
xm
2
fm
1
x
xp
f = fm
f = m·x
f = fp
m = tg(a)
f = if x < xm then fm else if x < xp then m*x else fp ;
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Tratamiento de Eventos I
Umbral
xp
fp
xm
Iteración
x
f(x)
a
x
xp
h
t
h
fm
h
x
Cambio del modelo
xp
t
Evento
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Reducción del paso durante
la iteración
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h
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t
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El Tratamiento de Eventos II
h
h
t
Tamaño del paso en
función del tiempo sin
tratamiento de eventos
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t
Tamaño del paso en
función del tiempo con
tratamiento de eventos
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Representación de Discontinuidades
f = if x < xm then fm else if x < xp then m*x else fp ;
• En Modelica, discontinuidades se representan por cláusulas
if.
• En el proceso de la transformación del modelo, estas
cláusulas se transformen en descripciones de eventos
correctos (conjuntos de modelos con condiciones de
cambios).
• El usuario no tiene que ocuparse de los mecanismos de la
descripción adecuada de eventos. Estos se esconden detrás
de las cláusulas if.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Problemas
• El usuario tiene que tomar en cuenta que la solución
numérica temporáneamente sale de la región física durante
la iteración.
q =  | Dp |
D p = p1 – p2 ;
absDp = if Dp > 0 then Dp else –Dp ;
q = sqrt(absDp) ;
• puede ser peligroso, porque absDp puede asumir
temporáneamente un valor negativo.

D p = p1 – p2 ;
absDp = noEvent( if Dp > 0 then Dp else –Dp ) ;
q = sqrt(absDp) ;
• resuelve el problema.
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La Construcción “noEvent”
D p = p1 – p 2 ;
absDp = noEvent( if Dp > 0 then Dp else –Dp ) ;
q = sqrt(absDp) ;
• La construcción noEvent tiene el efecto que cláusulas if y
expresiones Booleanas, que normalmente se traducen a
códigos de simulación conteniendo descripciones de
eventos correctos, se trasfieren directamente a la
integración numérica sin modificarlas.
• De esa forma se pospone el tratamiento de la
discontinuidad hasta el tiempo de la simulación cuando se
ocupa el algoritmo de control del paso del problema.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Funciones Multivalores I
• Las construcciones sintácticas que introdujimos hasta
ahora no sirven para la descripción de funciones multivalores, como por ejemplo la función de histéresis seca
enseñada por debajo.
f(x)
fp
xm
xp
x
fm
• Si x se hace más grande que xp, f debe cambiar su valor de
fm a fp.
• Si x se hace más pequeño que xm, f debe cambiar su valor
de fp a fm.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Funciones Multivalores II
f(x)
fp
xm
xp
x
fm
when initial() then
reinit(f , fp);
end when; se hace más grande
when x > xp or x < xm then
f = if x > 0 then fp else fm;
end when;
es más grande
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Ejecutado al principio de la simulación.
}
Esa cláusula se ejecuta solamente
cuando x se hace más grande que
xp o cuando x se hace más
pequeño que xm.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Funciones Multivalores III
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Conmutador Eléctrico I
i
u
Si el conmutador está abierto, la corriente es i=0.
Si el conmutador está cerrado, el voltaje es u=0.
0 = if open then i else u ;
La cláusula if de Modelica es no causal. Se ordena en
mismo tiempo que todas las demás ecuaciones.
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El Conmutador Eléctrico II
Implementación posible:

Conmutador abierto:
Sf
f=0
Conmutador cerrado:
Se
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e=0
Conmutador abierto: s = 1
Conmutador cerrado: s = 0
0 = s·i + (1–s)·u

s
Sw
e
f
La causalidad del elemento de conmutación
es una función del valor de la señal s.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Diodo Ideal I
i
Conmutador
cerrado
i
u
u
Conmutador
abierto
Si u < 0, el conmutador está
abierto. No corre ninguna
corriente.
Si u > 0, el conmutador está
cerrado. Corriente puede
correr. El diodo ideal se
comporta como un corte.
open = u < 0 ;
0 = if open then i else u ;
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D
f
e
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Diodo Ideal II
• Como corriente que corre a través de un diodo no
puede interrumpirse es necesario modificar el
modelo del diodo levemente.
open = u <= 0 and not i > 0 ;
0 = if open then i else u ;
• La variable open tiene que declararse como
Booleana. El valor a la derecha de la expresión
Booleana se asigna a ella.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Característica del Rozamiento I
• Fenómenos más complejos, como la característica
del rozamiento, tienen que analizarse con mucho
cuidado caso por caso.
• Se habla aquí de como puede hacerse usando el
ejemplo del rozamiento.
fB
R0
Rm
Rozamiento
viscoso
v
Rozamiento
-Rmseco
-R0
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Si v  0 , la fuerza de
rozamiento
es
una
función de la velocidad.
Si v = 0 , la fuerza de
rozamiento se calcula tal
que
la
velocidad
mantiene un valor de 0.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Característica del Rozamiento II
• Distinguimos entre cinco situaciones:
v=0
a=0
Pegado:
v>0
Avanzando:
v<0
Retrocediendo:
v=0
a>0
Empezando a
avanzar:
v=0
a<0
Empezando a
retroceder:
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La fuerza de rozamiento compensa la suma de todas las
fuerzas conectadas, salvo si |Sf | > R0 .
La fuerza de rozamiento se calcula usando:
fB = Rv · v + Rm.
La fuerza de rozamiento se calcula usando:
fB = Rv · v - Rm.
La fuerza de rozamiento se calcula usando:
fB = Rm.
La fuerza de rozamiento se calcula usando:
fB = -Rm.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Diagrama de Transición entre Estados
• El conjunto de eventos puede describirse por un diagrama
de transición entre estados.
Principio
v<0
S f < - R0
v < 0
Movimiento
hacia atrás
(v < 0)
v>0
Aceleración
hacia atrás
(a < 0)
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S f > + R0
Pegado
(a = 0)
a  0 and not v < 0
v0
v=0
v > 0
Aceleración
hacia adelante
(a > 0)
Movimiento
h. adelante
(v > 0)
a  0 and not v > 0
v0
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Modelo del Rozamiento I
model Friction;
parameter Real R0, Rm, Rv;
parameter Boolean ic=false;
Real fB, fc;
Boolean Sticking (final start = ic);
Boolean Forward (final start = ic), Backward (final start = ic);
Boolean StartFor (final start = ic), StartBack (final start = ic);
fB = if Forward then Rv*v + Rm else
if Backward then Rv*v - Rm else
if StartFor then Rm
else
if StartBack then -Rm
else fc;
0 = if Sticking or initial() then a else fc;
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El Modelo del Rozamiento II
when Sticking and not initial() then
reinit(v,0);
end when;
Forward = initial()
pre(StartFor)
pre(Forward)
Backward = initial()
pre(StartBack)
pre(Backward)
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and v > 0 or
and v > 0 or
and not v <= 0;
and v < 0 or
and v < 0 or
and not v >= 0;
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Modelo del Rozamiento III
StartFor = pre(Sticking) and fc > R0 or
pre(StartFor) and not (v > 0 or a <= 0 and not v > 0);
StartBack = pre(Sticking) and fc < -R0 or
pre(StartBack) and not (v < 0 or a >= 0 and not v < 0);
Sticking = not (Forward or Backward or StartFor or StartBack);
end Friction;
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Referencias I
•
Cellier, F.E. (1979), Combined Continuous/Discrete
System Simulation by Use of Digital Computers:
Techniques and Tools, PhD Dissertation, Swiss Federal
Institute of Technology, ETH Zürich, Switzerland.
•
Elmqvist, H., F.E. Cellier, and M. Otter (1993), “Objectoriented modeling of hybrid systems,” Proc. ESS'93,
SCS European Simulation Symposium, Delft, The
Netherlands, pp.xxxi-xli.
•
Cellier, F.E., M. Otter, and H. Elmqvist (1995), “Bond
graph modeling of variable structure systems,” Proc.
ICBGM'95, 2nd SCS Intl. Conf. on Bond Graph Modeling
and Simulation, Las Vegas, NV, pp. 49-55.
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Referencias II
•
Elmqvist, H., F.E. Cellier, and M. Otter (1994), “Objectoriented modeling of power-electronic circuits using
Dymola,” Proc. CISS'94, First Joint Conference of
International Simulation Societies, Zurich, Switzerland,
pp. 156-161.
•
Glaser, J.S., F.E. Cellier, and A.F. Witulski (1995),
“Object-oriented switching power converter modeling
using Dymola with event-handling,” Proc. OOS'95, SCS
Object-Oriented Simulation Conference, Las Vegas, NV,
pp. 141-146.
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