Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Gráficos de Ligaduras I
• Hasta ahora hablamos de modelado orientado a objetos, de
los sistemas EDA que resultan de aquellos modelos y de los
algoritmos de la manipulación simbólica de formulas que se
requieren para convertir sistemas EDA implícitos a sistemas
EDO explícitos. No discutimos todavía de donde vienen los
sistemas EDA.
• Por esa razón tuvimos que limitar la discusión a sistemas
muy simples (circuitos eléctricos y sistemas mecánicos en el
plano) para las cuales ya conocemos los modelos de sus
elementos.
• Ahora se desarrollará una metodología de modelado de
sistemas menos bien conocidos y discutimos como pueden
obtenerse modelos físicamente correctos para ellos.
Febrero 6, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Contenido
•
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•
Febrero 6, 2008
Energía y potencia
Flujos de potencia
Gráficos de ligaduras no causales
Un ejemplo
Gráficos de ligaduras causales
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Energía y Potencia
• Todos los sistemas físicos tienen en común las leyes de la
conservación de la energía y de la masa.
• Los gráficos de ligaduras tratan íntimamente con la
conservación de la energía en un sistema físico.
• Ya que energía se conserva en un sistema cerrado, la
energía en un tal sistema puede modificarse solamente por
tres mecanismos:
Energía puede ser almacenada.
Energía puede ser transportada de un sitio a otro.
Energía puede ser convertida de una forma a otra.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Energía y Potencia II
• La energía (E) acumulada en un lugar puede cambiar
solamente si energía adicional llega o si energía sale.
• En los dos casos se necesitan flujos de energía que pueden
modelarse como derivadas de la energía con respecto al
tiempo.
P = dE/dt
• La variable P se llama la potencia.
• La energía tiene la unidad de Joule [J] mientras que la
potencia tiene la unidad de Watt [W].
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Energía y Potencia III
• En todos los sistemas físicos flujos de potencia pueden
escribirse como productos de dos variables físicos
diferentes. Una entre ellas es una variable extensiva (es
decir, proporcional a la cantidad), mientras que la otra es
un variable intensiva (independiente de la cantidad).
• En el caso de flujos de energía acoplados puede suceder
que un solo flujo de energía tiene que modelarse por la
suma de productos de tales variables adjuntas.
Ejemplos:
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Pel = u · i
Pmech = f · v
[W] = [V] · [A]
= [N] · [m/s]
= [kg · m2 · s-3]
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Flujos de Potencia
• El modelado de sistemas físicos usando gráficos de ligaduras
se efectúa por una descripción gráfica de flujos de potencia.
e: Esfuerzo
e
P=e·f
f: Flujo
f
• Los flujos de potencia se representan por arpones. Las dos
variables adjuntas que representan el flujo de potencia se
anotan por encima (variable intensiva: el “potencial” e) y
por debajo (variable extensiva: el “flujo” f) del arpón.
• El anzuelo del arpón siempre se pone a la izquierda del arpón
en la dirección del flujo positivo y el término “por encima”
se refiere al lado del anzuelo.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Gráficos de Ligaduras no Causales
U0
va
i
+
vb

Se
U0
I0
va
I0

i
Energía se añade al
sistema
Voltaje y corriente
tienen direcciones
opuestas
vb
U0
Sf
u
I0
u
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Elementos Eléctricos Pasivos en la
Representación de Gráficos de Ligaduras
va
i
R
vb
Voltaje y corriente
tienen dirección
idéntica
u
va
i
C
vb
u
va
i
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
i
u
i
R
C
Energía se desangra
del sistema
L
vb
u

u

u
i
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I
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Uniones
e2
e1
f1
f2
0
e3

e1 = e2
e2 = e3
f1 – f2 – f3 = 0

f1 = f2
f2 = f3
e1 – e2 – e 3 = 0
f3
e2
e1
f1
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f2
1
e3
f3
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
v1
Un Ejemplo I
v2
v0 i
L
i
L
uL
v0
v1 i
L
u1 i 1
v1
v2
i1
i1
v1 i 0
v1
iL
i0
v2
i1
U0
i2
u2
v2
i2
iC
v2
iC
uC
i0
v0
i0
iC v0
iC
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i2
v0
i2
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Un Ejemplo II
v0
i
i
L
L
uL
v1
i
u1
L
v1
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v1
v2
i1
i1
i0
U0
iC
i0
uC
v0
v0 = 0
u2
i1

i0
iC
v2
iC
v0
i2
v2
v0
i2
i2
P = v0 · i0 = 0
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Un Ejemplo III
uL
i
u1
i1
L
U0
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v1
v2
u2
i1
i1
i2
i0
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iC
uC
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Gráficos de Ligaduras Causales
• Cada ligadura define dos variables separadas: el esfuerzo e
y el flujo f.
• Por consecuencia se necesitan dos ecuaciones para obtener
los valores numéricos de estas dos variables.
• Resulta que una de esas dos variables se evalúa en un lado
de la ligadura y la otra en el lado opuesto.
• Una barra vertical simboliza el lado donde se evalúa el
flujo.
e
f
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
“Causalización” de las Fuentes
El flujo tiene que evaluarse
en el otro lado.
Se
U0
i
U0 = f(t)
La fuente define el esfuerzo.
Sf
u
I0
I0 = f(t)
La fuente define el flujo.
 La causalidad de las fuentes es fija.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
“Causalización” de los Elementos Pasivos
u
i
u
R
R
i
u=R·i
i=u/R
 La causalidad de resistores es libre.
u
i
u
C
I
i
du/dt = i / C
 La
di/dt = u / I
causalidad preferida de los elementos de
almacenaje es decidida por el deseo de usar
integradores en lugar de diferenciadores.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
“Causalización” de las Uniones
e2
e1
f1
f2
0
e3
f3

e2 = e1
e3 = e1
f1 = f2 + f3
Uniones del tipo 0 definen una sola ecuación de flujos. Por
consecuencia tienen una sola barra de causalidad.
e2
f2 = f1
f2
e1
f3 = f1

1
e3
f1
e1 = e2 + e 3
f3
Uniones del tipo 1 definen una sola ecuación de esfuerzos. Por
consecuencia tienen exactamente (n-1) barras de causalidad.
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
R1.e
R1.f
U0.e
L1.f
Un Ejemplo IV
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C1.e
R1.f
C1.e
R2.f
C1.e
C1.f
U0.e
U0.f
U0.e
R1.f
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U0 .e = f(t)
U0 .f = L1 .f + R1 .f
dL1 .f /dt = U0 .e / L1
R1 .e = U0 .e – C1 .e
R1 .f = R1 .e / R1
C1 .f = R1 .f – R2 .f
dC1 .e /dt = C1 .f / C1
R2 .f = C1 .e / R2
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Referencias I
•
Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling,
Springer-Verlag, New York, Chapter 7.
•
Cellier, F.E. (1992), “Hierarchical non-linear bond
graphs: A unified methodology for modeling complex
physical systems,” Simulation, 58(4), pp. 230-248.
•
Cellier, F.E., H. Elmqvist, and M. Otter (1995),
“Modeling from physical principles,” The Control
Handbook (W.S. Levine, ed.), CRC Press, Boca Raton,
FL, pp. 99-108.
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© Prof. Dr. François E. Cellier
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Referencias II
•
Febrero 6, 2008
Cellier, F.E. (1997), “World Wide Web - The Global
Library: A Compendium of Knowledge About Bond
Graph Research,” Proc. ICBGM'97, 3rd SCS Intl. Conf.
on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, AZ,
pp.187-191.
© Prof. Dr. François E. Cellier
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Miércoles, 6 de febrero, 2008