Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Flujos de Masas Convectivos III
• En esta presentación nos concernamos otra vez con flujos
convectivos de masa y calor, ya que no tenemos todavía
un entendimiento comprensivo de la física de estos
fenómenos.
• Empezamos hablando una vez más de los campos
capacitivos.
• Después estudiaremos la energía interna de la materia.
• Acabamos la presentación con una discusión de
fenómenos generales del transporte de energía que
entretanto incluyen flujos de masa como un aspecto
integral de los flujos generales de energía.
Febrero 12, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Contenido
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Febrero 12, 2008
Campos capacitivos
La energía interna de la materia
Ligaduras y uniones térmicas
La conducción de calor
El trabajo de volumen
El transporte general de masa
Sistemas con múltiples fases
Evaporación y condensación
La termodinámica de mezcladuras
Sistemas con múltiples elementos
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Campos Capacitivos III
• Miramos el circuito eléctrico siguiente:
i1
u1
C1
i3
C2
i1-i3
i2+i3
i2
C1
C3
u2
i1 – i3 = C1 · du1 /dt
i2 + i3 = C3 · du2 /dt
i3 = C2 · (du1 /dt – du2 /dt )
Febrero 12, 2008
0

C2
C3
u 2 i2 + i 3
u1 i1-i3u1-u2 i3
i2
u1
u1
u2
1 i 0 u2
0 i
i1
3
3
0
i1 = ( C1 + C2 ) · du1 /dt – C2 · du2 /dt
i2 = – C2 · du1 /dt + ( C2 + C3 ) · du2 /dt
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Campos Capacitivos IV
i1 = ( C1 + C2 ) · du1 /dt – C2 · du2 /dt
i2 = – C2 · du1 /dt + ( C2 + C3 ) · du2 /dt

i1
( C1 + C2 )
– C2
du1 /dt
=
·
i2
– C2
( C2 + C3 ) du2 /dt
( C2 + C3 )
C2
i1
du1 /dt
C
(
C
+
C
)
2
1
2
=
·
i2
du2 /dt
C1 C2 + C1 C3 + C2 C3

C1
0
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Matriz capacitiva
simétrica
C2
C3
u 2 i2 + i 3
u1 i1-i3u1-u2 i3
i2
u1
u1
u2
1 i 0 u2
0 i
i1
3
3

0
0
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u1
i1
CF
i2
u2
Principio de la
presentación
0
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Almacenaje de Volumen y Entropía
• Consideramos una vez más el gráfico de ligaduras
introducido en la presentación anterior.
0
Cth
C
0
Sf
0
S/V
Cth
C
1
0
No era ningún accidente que dibujé
las dos capacidades una al lado de
otra. En realidad, las dos capacidades
forman parte de un campo capacitivo
con dos puertas.
Ya sabemos
entretanto que calor y volumen son
dos propiedades diferentes del mismo
material.
I
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Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Energía Interna de la Materia I
• Ya vimos que la materia tiene tres diferentes (aunque
inseparables) almacenajes:
Masa
Volumen
Calor
• Estos tres elementos de almacenaje representan diferentes
propiedades de almacenaje del mismo material.
• Por consecuencia tratamos con un campo de almacenaje.
• Este campo de almacenaje es un campo capacitivo.
• El campo capacitivo almacena la energía interna de la
materia.
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Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Energía Interna de la Materia II
• El cambio de la energía interna de un sistema, es
decir el flujo total de potencia que entra o sale del
campo capacitivo puede describirse de la manera
siguiente:
Potencial químico
Flujo de
energía interna
U· = T · S· - p · V· +
Flujo de calor
S
mi · N·i
i
Flujo de
masa molar
Flujo de
masa
Flujo de
volumen
• Esta es la ecuación de Gibbs.
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Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Energía Interna de la Materia III
• La energía interna está proporcional a la masa total n.
• Normalizando con n, todas las variables extensivas pueden
convertirse en intensiva.
u= U
n
s = Sn
v= V
n
N
ni = n i
• Entonces:
d (n·u) = T · d (n·s) - p · d (n·v) + S m · d (n· n )
i
i i dt
dt
dt
dt

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d (n·u) - T · d (n·s) + p · d (n·v) - S m · d (n· n ) = 0
i
i i dt
dt
dt
dt
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Principio de la
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Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Energía Interna de la Materia IV
d (n·u) - T · d (n·s) + p · d (n·v) - S m · d (n· n ) = 0
i
i i dt
dt
dt
dt

dn
n · [ du - T · ds + p · dv - S mi · i]
dt
dt
dt i
dt
dn
+ dt · [ u - T · s + p · v - S mi · ni ] = 0
i
Esa ecuación debe ser válida independientemente de la masa
n, entonces:
Por fin se encontró
una
explicación
porque era aceptable
trabajar con derivadas
incorrectas.
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dni
du
ds
dv
T
·
=0
m ·
dt
dt + p · dt - S
i i dt
Flujo de
energía interna
u - T · s + p · v - S mi · ni = 0
i
Energía interna
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Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Energía Interna de la Materia V
U = T · S - p · V + S mi ·Ni
i
 U· =
T · S· - p · V· +
= T · S· - p · V· +

S
mi · N·i
i
+ T· · S - p· · V +
S
mi · N·i
i
T· · S - p· · V +
S
m·i · Ni
i
S m·i · Ni = 0
Esta es la ecuación de Gibbs-Duhem.
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Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Campo Capacitivo de la Materia
T
S·
S
T·
C
S
·
T
GY
ni
V
p·
GY
V p·
CF
m·i
ni
C
p
q
GY
m·i
C
mi ni
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Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Simplificaciones
• En sistemas sin reacciones químicas es posible remplazar
los flujos de masa molares por flujos de masa
convencionales.
• En este caso se remplaza el potencial químico por el
potencial de Gibbs.
dU



 T  S  p V  g  M
dt
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Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Ligaduras y Uniones Térmicas
• Las tres piernas externas del elemento CF pueden agruparse.
0
Ø
3
CF
C
CF
C
0
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C
0
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Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Otra Vez Conducción de Calor
CF2
CF1
1
Ø
2
1
1
1
1 D
Ø
1
1x
2
D
2x
1
2
mGS
0
mGS
1
2
3
CF1
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HE
3
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CF2
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Intercambio de Volumen y Presión
CF1
CF2
p1
q
Ø
1 D
p2
q
1
q
1x
D
Ø
p
2D
q
2
GS
D
p
0
p
q
D
GS
2
3
CF1
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PVE
3
CF2
2x
La presión se equilibra igual a
la temperatura. Se supone
aquí que la inercia de la masa
es pequeño y no tiene que
tomarse en cuenta. Además se
supone que la presión se
equilibra sin rozamiento.
Ese modelo tiene sentido si el
intercambio ocurre localmente
y
si
el
movimiento
macroscópico de masas no es
demasiado grande.
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Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Elemento de Intercambio General I
1
2
1
GS
1
1
1
Sw
0
mGS
1
Febrero 12, 2008
0
1
1
2
2
0
GS
Los tres flujos son
acoplados a través de
elementos RS.
Sw
mGS
2
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El
elemento
de
conmutación codifica la
dirección
de
flujo
positivo.
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
El Elemento de Intercambio General II
• En el elemento general de intercambio, las temperaturas,
las presiones y los potenciales de Gibbs de componentes
vecinas se equilibran.
• Este proceso puede interpretarse como campo resistivo.
CF1
Ø
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r1 , S1
3
r2 , S2
RF
3
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CF2
Ø
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Sistemas con Múltiples Fases
• También queremos estudiar
evaporación y la condensación.
Ø
3
HE, PVE,
Evaporación,
Condensación
fenómenos
3
3
Ø
3
CFgas
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como
CFliq
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Principio de la
presentación
la
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Evaporación (Ebullición)
• El intercambio de masa y energía entre almacenajes
capacitivos de la materia (elementos CF) representando
diferentes fases químicos se modela por medio de campos
resistivos especiales (elementos RF).
• Los flujos de masa se calculan en función de la presión y
de la presión de saturación del vapor.
• Los flujos de volumen pueden calcularse fácilmente. Son
el producto de los flujos de masa con el volumen de
saturación para el valor actual de la temperatura.
• Los flujos de entropía son superpuestos con la entalpía de
la evaporación (en el proceso de la evaporación, el campo
térmico pierde calor  calor latente).
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Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Condensación Sobre Superficies Frías
• Aquí tiene que introducirse una capa de lindero.
CFgas
Ø
Capa de lindero
CF gas
3
HE
PVE
RF
Conducción de calor (HE)
Trabajo de volumen (PVE)
Condensación y Evaporación
3
Randschicht
Ø
HE
s
gas
Conducción de calor (HE)
Trabajo de volumen (PVE)
Condensación y Evaporación
Ø
3
CF
superf.
s
Ø
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3
HE
PVE
RF
líq
3
Ø
3
3
CFlíq
CFlíq
HE
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Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Termodinámica de Mezcladuras
• Si fluidos (gases o líquidos) se mezclan se genera entropía
adicional.
• Esta entropía del mezclamiento tiene que distribuirse entre
los fluidos participantes.
• La distribución es una función de las masas parciales.
• Normalmente, elementos CF vecinos no saben nada uno
de otro. Sin embargo, en el proceso de mezclar sustancias,
esta regla no puede mantenerse. Información tiene que
intercambiarse entre los dos campos capacitivos.
CF1
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{M1}
{x }
1
MI
{M2}
{x }
2
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CF2
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
La Entropía del Mezclamiento
• La entropía del mezclamiento se obtiene del potencial de Gibbs .
1
1
1
1
Se supuso aquí que
los fluidos que se
mezclan estén a la
misma temperatura
y presión.
CF11
1
1
CF12
1
mix
x
11
RS
2
21
x
2
CF22
2
mix
2
2
RS
2
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DSid 1
M
1
1
1
HE
PVE
MI
mix
1
CF21
11
1
1
2
M
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DSid 2
mix
Principio de la
presentación
21
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
1
1
1
1
CF 11
1
CF 12
1
mix
1
1
1
RS
RS
DS1
mRS
MI
HE
PVE
0
1
2
CF 21
2
1
2
2
1
CF 22
2
mix
2
2
RS
RS
mRS
DS2
0
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© Prof. Dr. François E. Cellier
También es posible que
los fluidos de mezcla
tengan
inicialmente
valores diferentes de
temperatura y/o presión.
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Convección en Sistemas con Múltiples
Sustancias
CF11
3
Ø
PVE
HE
intercambio Ø
vertical
(mezcla)
3
3
PVE
HE
3
HE
PVE
CF21
RF
PVE
HE
3
RF
PVE
HE
3
3
3
HE
PVE
Ø
CF22
CF12
Ø
intercambio
horizontal
(transporte)
Ø
3
PVE
HE
PVE
HE
3
RF
PVE
HE
Ø
3
CF13
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3
CF23
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Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Sistemas convectivos con dos sustancias, dos fases y dos
compartimientos
Gas
Gas
3
PVE
HE
Gas
3
CF 11
E
Fl.
CF 21
{x , DS , DV }
21
21
21
{M ,T ,p }
21
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E
21
21
MI 1
3
Fl.
E
12
12
E
PVE
HE
Ø
PVE
HE
Ø
3
E
MI2
3
12
12
11
11
11
RF
PVE
HE
{x , DS , DV }
3
HE
Condensación/
Evaporación
PVE
3
CF 12
{M ,T ,p }
21
E
PVE
HE
21
E
3
21
Ø
PVE
HE
HE
Condensación/
Evaporación
PVE
HE
PVE
RF
Fl.
3
{x , DS , DV }
Ø
Ø
lindero de
fase
3
PVE
HE
3
CF 12
HE
Condensación/
Evaporación
PVE
HE
Condensación/
Evaporación
PVE
Ø
+
Gas
CF 11
12
Ø
3
12
Vges
PVE
HE
3
PVE
HE
RF
PVE
HE
3
+
3
{M ,T ,p }
3
Ø
CF 22
HE
PVE
RF
Vges
CF 21
E
{x , DS , DV }
22
22
22
Fl.
CF 22
{M ,T ,p }
22
© Prof. Dr. François E. Cellier
22
22
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Intercambio de Concentración
• También puede ocurrir que compartimientos vecinos no
son totalmente homogéneos. En este caso tienen que
intercambiarse también las concentraciones.
CFi
...
Febrero 12, 2008
3
Ø
CFi+1
3
HE
PVE
3
CE
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Ø
3
Principio de la
presentación
...
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Referencias I
• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling,
Springer-Verlag, New York, Chapter 9.
• Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling
convective flows using bond graphs,” Proc. ICBGM’01,
Intl. Conference on Bond Graph Modeling and Simulation,
Phoenix, Arizona, pp. 276 – 284.
• Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling multiphase systems using bond graphs,” Proc. ICBGM’01, Intl.
Conference on Bond Graph Modeling and Simulation,
Phoenix, Arizona, pp. 285 – 291.
Febrero 12, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
presentación
Modelado Matemático de Sistemas Físicos
Referencias II
• Greifeneder, J. and F.E. Cellier (2001), “Modeling multielement systems using bond graphs,” Proc. ESS’01,
European Simulation Symposium, Marseille, France, pp.
758 – 766.
• Greifeneder, J. (2001), Modellierung thermodynamischer
Phänomene mittels Bondgraphen, Diploma Project, Institut
für Systemdynamik und Regelungstechnik, University of
Stuttgart, Germany.
Febrero 12, 2008
© Prof. Dr. François E. Cellier
Principio de la
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