Unidad 2: La derivada
Funciones crecientes y decrecientes.
1
¡Interrogante!
Si el ingreso por ventas en una empresa viene
dado por la expresión:
v (t ) 
1
t  4 t  12 t  30
3
2
3
donde t es el tiempo para los próximos seis
meses. Sin trazar la gráfica de esta función,
¿Cómo podemos determinar en qué intervalos de
tiempo las ventas serán decrecientes?
2
Observe el comportamiento de las siguientes curvas:
p
p
S
D
q
Una función f es
creciente en un intervalo
I, si para todo x1 < x2
en el intervalo I,
entonces f (x1) < f (x2)
q
Una función g es
decreciente
en
un
intervalo I, si para todo
x1 < x2 en el intervalo I,
entonces g (x1) > g (x2)
3
Criterios para funciones monótonas
(crecientes y decrecientes)
Si f ´(x) > 0 para todo x en algún intervalo ]a; b[,
entonces f es creciente en ]a; b[.
Si f ´(x) < 0 para todo x en algún intervalo ]a; b[,
entonces f es decreciente en ]a; b[.
4
Valores críticos, extremos relativos y puntos silla
y
Máximos relativos:
f (0) y f (e)
Puntos Silla
Mínimos relativos:
f (b) y f (c)
Puntos silla:
(a; f(a)), (d; f(d))
b
a
0
c d
e
x
Valores críticos:
a, b, 0, c, d y e
5
Extremos relativos de una función:
Se denomina valor extremo de una función f a un valor
máximo o un valor mínimo de la misma.
y
Una función f tiene un máximo
relativo en x = c, si f (c) > f (x)
para todo x en algún intervalo
]a; b[ que contenga a x = c.
f (c)
f0
a
f 0
c
b
x
6
Extremos relativos de una función:
y
Una función f tiene un mínimo
relativo en x = c, si f (c) < f (x)
para todo x en algún intervalo
]a; b[ que contenga a x = c.
f 0 f0
f (c)
a
c
b
x
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Valor crítico:
Si c está en el dominio de f y:
f ´(c) = 0 o f ´(c) no está definida,
entonces c se denomina valor crítico de f.
Punto crítico:
Si c es un valor crítico, entonces:
el punto (c; f (c)) se denomina punto crítico
8
Criterio de la 1ra derivada para extremos
relativos
Sea “c” un valor crítico para f (x). El punto crítico
correspondiente (c; f (c)) es:
Un máximo relativo si f (x) > 0 a la izquierda de “c” y
f (x) < 0 a la derecha de “c”
Un mínimo relativo si f (x) < 0 a la izquierda de “c” y
f (x) > 0 a la derecha de “c”
9
Para una función continua y derivable
en x = c, si f (c) es un extremo
relativo entonces: f ´(c) = 0.
Lo contrario no sucede.
y
f ( c )  0
f0
f 0
c
y
x
f0
Es decir, en x = c, si f ´(c) = 0, no
necesariamente f (c) es un extremo
relativo pues se puede presentar el
punto de silla.
f0
c
x
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Ejemplo
Halle los extremos relativos de las funciones:
a) f (x) = (x – 1)2 – 3
b) g(x) = x3 – 3x2
Ejemplo
Trace la gráfica de una función que tenga las
siguientes propiedades:
f ´(0) = f ´(1) = f ´(2) = 0
f ´(x) < 0 cuando x < 0 y x > 2
f ´(x) > 0 cuando 0 < x < 2
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