Sistemas de control
TI-2233
Miguel Rodríguez
Respuestas de 2º orden y Calculo del
error
Sistemas de control
Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta sobre amortiguada, dado un sistema que
tiene 2 raíces reales en el denominador:
G (s) 
K
s  a1 s  a 0
2

K
( s   )( s   )
• Aplicamos un escalón a la entrada
Y (s) 
K
1
s  a1 s  a 0 s
2


K 1

1

1


 

  s (   ) ( s   ) (    ) ( s   ) 
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta sobre amortiguada
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta Críticamente amortiguada, las dos raíces
del denominador están en el mismo lugar
G (s) 
K
(s   )
2
– Aplicando un escalón
Y (s) 
K
1
(s   ) s
2


K 1
1

 2  

2 
  s (s   ) (s   ) 
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta Críticamente amortiguada
y (t ) 
K

2
[1  e
 t
  te
 t
]
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta subamortiguada; Asumiendo que el
sistema tiene raíces complejas
G (s) 
K
( s    jw )( s    jw )

K
s  2 s  (  w )
2
2
– Aplicando un escalón a la entrada
Y (s) 
K
(s   )  w
2
1
2

s
1

(s   )

 2


2 
2
2
2
2 
  w  s (s   )  w
(s   )  w 
K
2

K
(s   )  w
2
2
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta subamortiguada: en el dominio del
tiempo


  t
 t
y (t )  2
1  e cos( wt )  e sin wt 
2 
 w 


K
2
2 1/ 2


(  w )
 t
y (t )  2
1
e sin( wt   ) 
2 
 w 
w

K
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta subamortiguada
• El denominador de la función de transferencia se escribe
normalmente de la siguiente manera:
s  2 zw n s  w n  s  2 s  (
2
2
2
w )
2
2
• Donde z es la relación de amortiguamiento y wn es la
frecuencia natural, siguiendo con nuestra notación
tenemos que:
z   /wn
y
wn    w
2
2
2
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Respuesta subamortiguada
• Relación de amortiguamiento
s  2 zw n s  w n  s  2 s  (
2
0 z 1
2
2
2
w )
2
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Términos usados:
• Retardo (delay time) es el tiempo que necesita la salida a la
respuesta de un escalón para alcanzar el 50% de su valor final.
• Tiempo de subida (rise time) el tiempo que necesita la salida desde
el 10% hasta el 90% del valor en estado estacionario.
• Tiempo de establecimiento (settling time) es el tiempo que se toma
la salida a la respuesta de un escalón para alcanzar un valor
estacionario, normalmente a un 5% del valor de estado
estacionario.
• Overshoot, Máximo rebasamiento, es la máxima diferencia entre el
valor de estado estacionario y la transiente.
máximo
overshoot
 100%
valor de estado estacionar io
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Respuestas del sistemas a las entradas
• Respuesta de un sistema de 2º orden
– Máximo valor de overshoot. Derivamos la función
y(t) e igualamos a cero.
dy ( t )
dt

K
e
 t
sin wt  0
w
– La solución depende del seno, y es para los
valores:
t  i  / w , i  0 ,1, 2 , etc .
– Los mínimos y máximos son definido por:
y (i ) 
K
 w
2
2
(  1)
i 1
e
 i  / w

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Respuestas del sistemas a las entradas
• Errores
– El desempeño de un sistema es normalmente
evaluado en termino de el error entre lo
demandado o requerido y la señal de salida.
•
•
•
•
Error en la medición
Error en el modelado
Interferencias del ruido
Error de estado estacionario.
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Tipos de Errores
• Error del sistema
K ( s  b m 1 s
m 1
   b1 s  b0 )
s ( s  a n 1 s
n 1
   a1 s  a 0 )
m
G0 (s) 
q
n
• Ejemplos
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Tipos de Errores
• Error de estado estacionario
E (s) 
– Ejemplo: Halle el error en estado estacionario,
señal de entrada escalón.
G0 (s) 
3
(s  2)
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Tipos de Errores
• Error de estado estacionario (entrada rampa)
V (s) 
1
s
2
• Tarea: realice la misma operación para una señal de
entrada parabólica.
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Tipos de Errores
• Error de estado estacionario
Tipo de sistema
0
Entrada escalón
unidad
1
1 K s
Entrada rampa
unidad
Entrada parábola
unida


1
0
2
0
0
3
0
0
1
Kr

1
Ka
0
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Tipos de Errores
• Error transitorio:
– Es el valor del error durante la respuesta del
transitorio. Y se puede hallar restándole al error
del sistema el error de estado estacionario.
E T ( s )  E ( s )  sE ( s ) | s  0 ( s )
Error transitorio al escalón.
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Tipos de Errores
• Perturbaciones (Disturbances):
Y (s) 
K
(s    K )
V (s) 
1
(s    K )
N (s)
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Perturbaciones
– Perturbaciones. Ejemplo:
• Hallar K y  para que la salida del sistema sea
críticamente amortiguada y el rechazo a perturbaciones
de 1/10. Entradas escalón.
Y (s) 
K
s  s  K
2
2w n z   ,
K  400 ;
V (s) 
wn  K
2
  40
s
s  (  1 ) s  (  K ) s  K
3
z  1;
2
N (s)
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Perturbaciones
– Perturbaciones
• A la salida:
V(s)
N(s)
+
1
-
(s   )
Y (s) 
K
(s    K )
V (s) 
(s   )
(s    K )
+
+
N (s)
Y(s)
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Sensibilidad
– Sensibilidad: Variación de la salida en función a
las variaciones en el tiempo del sistema o el
control.
S
Y
G

Y ( s ) / Y ( s )
G ( s ) / G ( s )
• Ejemplo: Señal de entrada Invariante en un sistema a
lazo abierto.
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Sensibilidad
– Sensibilidad a lazo cerrado
Y (s) 
Y ( s )
G ( s )
SG 
Y
G (s)
1  G (s)H (s)

V (s)
V ( s ) 1  G ( s ) H ( s )   G ( s ) H ( s )V ( s )
Y ( s ) G ( s )
G ( s ) Y ( s )
1  G ( s ) H ( s ) 
2

V (s)
1  G ( s ) H ( s ) 2

– Tarea: Hallar la sensibilidad de la salida debido a
variaciones en la función de transferencia del
Y ( s ) H ( s )
control
Y
S 

G
H ( s ) Y ( s )
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