Estudio de la estabilidad de
soluciones de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Referencia bibliográfica:
“BIOFISICA- Procesos de
autoorganización en
Biología” de Francisco
Montero y Federico Morán
Presentación a cargo de Victoria Gradin
Ejemplo: Proceso cinético
1 1
A 
 X
k
k
2 2
X 
 Y
k
k
3 3
Y 
 B
k
k
 dX 
v1  
  k 1 A  k 1 X
 dt  1
 dY 
 dX 
v2  

k
X

k
Y





2
2
 dt  2
 dt  2
 dY 
v3  
  k  3 B  k 3Y
 dt  3
 dX 
 dX 

 
  v1  v 2
dt
 dt  1  dt  2
dX
ki : ctes. cinéticas
A, B se mantienen fijas
dX
X, Y son variablesºº
dt
dY
dt
 k 1 A  ( k 1  k 2 ) X  k  2 Y
 k 2 X  ( k  2  k 3 )Y  k  3 B
Definiciones y conceptos básicos
* Ecuación diferencial (ED): Ecuación que relaciona
una función y sus
derivadas
dx
dt
 f t , x ,  1  2 ... 
t: variable dependiente
x: variable dependiente
i: parámetros que
afectan a la función f
La solución de una
ED es una función
x(t)
Orden de una ED:
Es el orden de la derivada de mayor orden
dx
 kx
Orden 1
dt
2
d x
dt
2

dx
dt
 kx
Orden 2
Ecuación diferencial lineal
Es una ED donde la función f es lineal
en la variable x
dx
 kx
Lineal
dt
dx
dt
 kx
2
No lineal
Ecuación diferencial autónoma
Se da cuando la variable dependiente, t, no
aparece de modo explícito en la función f.
dx
 kx
dt
dx
dt
 kx  sen (t )
Autónoma
No Autónoma
Sistemas de ecuaciones diferenciales
dX
dt
dY
dt
 k 1 A  ( k 1  k 2 ) X  k  2 Y
Dimensión = 2
 k 2 X  ( k  2  k 3 )Y  k  3 B
Dimensión de un sistema de ED.:
Número de variables
dependientes
Cualquier ED de orden mayor a 1 se puede
transformar en un sistema equivalente de EDs de
primer orden
2
k2
d y
dt
2
 k1
dy
dt
Cambio de variables
x1 ( t )  y
x 2 (t ) 
dy
dt
 k0 y  C
dx 1
dt
dx 2
dt
 x 2 (t )

C  k 0 x1 ( t )  k 1 x 2 ( t )
k2
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
ED o sistemas de ED de primer orden cuyas
variables y parámetros son números reales
dx1
dt
dx2
dt
 f1 t , x1 , x2 ,..., xn , 12 ...
 f 2 t , x1 , x2 ,..., xn , 12 ...

dxn
dt
 f n t , x1 , x2 ,..., xn , 12 ...
Resolver el sistema de ED implica que a partir de
ciertas condiciones iniciales podamos conocer el valor
de las variables para cualquier valor del tiempo.
X(t=0)
X(t)
Y(t=0)
Y(t)
Teorema de existencia
Si las funciones fi son continuas, dadas ciertas
condiciones iniciales el sistema de EDO tiene solución
dx1
dt
dx2
dt
 f1 t , x1 , x2 ,..., xn , 12 ...
 f 2 t , x1 , x2 ,..., xn , 12 ...

dxn
dt
 f n t , x1 , x2 ,..., xn , 12 ...
Teorema de unicidad
Por cualquier punto solo pasa una solución o
trayectoria.
Orbitas, espacio o plano de fase
plano de
fase
órbita
Estabilidad de las soluciones
de un sistema de EDO
Estabilidad según Liapunov
Una solución es estable según Liapunov si las soluciones que
pasan por puntos cercanos permanecen en los alrededores de
la misma incluso a tiempo infinito.
Inestabilidad
Una solución es inestable si cualquier otra que pasa por un
punto muy próximo a ella se aleja de la misma.
Estabilidad asintótica
Una solución es asintóticamente estable si cualquier otra
que pase por un punto cercano se le aproxima en el
infinito.
Estabilidad orbital (Válida para las soluciones periódicas)
Una solución es orbitalmente asintóticamente estable sí
y sólo sí su órbita es asintóticamente estable.
Ciclo límite
Es una órbita periódica que ha de ser asintóticamente
estable, inestable o semiestable.
Estable
Inestable
Semiestable
SOLUCIONES
ESTACIONARIAS
dx1
dt
dx2
dt
 f1 t , x1 , x2 ,..., xn , 12 ...
 f 2 t , x1 , x2 ,..., xn , 12 ...

dxn
dt
 f n t , x1 , x2 ,..., xn , 12 ...
Resolver estos sistemas y hallar sus soluciones
explícitamente en general es MUY DIFICIL!!!!
Nos conformamos con hallar ciertas soluciones
particulares
Estados estacionarios del sistema
Estados estacionarios
Son aquellas soluciones en las cuales las variables
del sistema no varían con el tiempo
y
t
dx
x
x(t) = x0
dt
y(t)=y0
dy
dt
0
0
dx
dt
dy
dt
 f x t , x, y, 12 ...
dx
 f y t , x, y, 12 ...
dy
 kx  y
dt
x y
2
dt
f x t , x, y, 12 ...  0
kx  y  0
f y t , x, y, 12 ...  0
x  y0
2
Ejemplo: Modelo de Lotka - Volterra
dx
dt
dy
dt
 k1 Ax  k 2 xy
 k 2 xy  k3 y
x: población de presas
y: población de predadores
Hallamos los estados estacionarios:
k1 Ax  k 2 xy  0
k 2 xy  k3 y  0
1) x0=0 y0=0
2) x0=k3/k2 y0=k1A/k2
¿Qué tan estables son los estados estacionarios?
¿Son asintóticamente estables?
¿Son estables según Liapunov?
¿Son inestables?
Perturbación
dx
x(t)=x0+x(t)
dt
y(t)=y0+ y(t)
dy
dt
d ( x  x )
0
dt
d ( y  y )
0
dt

0

0
 f x t , x, y, 12 ...
 f y t , x, y, 12 ...

 f x t , x  x, y  y, 12 ...
0

 f y t , x  x, y  y, 12 ...
0
Haciendo un desarrollo de Taylor de las funciones fx
y fy y asumiendo perturbaciones pequeñas:
dx
 f x
 f x 

 x  
dt
 x  0
 y

 y
0
 f y
 
dt
 x

 y
0
dy

 f y
 x  
0
 y
Sistema que
representa la
evolución
temporal de las
perturbaciones
en las
proximidades del
estado
estacionario
dx
 f x
 f x 

 x  
dt
 x  0
 y

 y
0
 f y
 
dt
 x

 y
0
dy

 f y
 x  
0
 y
 f x
 f x 

  a11  
 x  0
 y

  a12
0
 f y

 x

  a22
0

 f y
  a21  
0
 y
dx
dt
dy
dt
 a11x  a12y
 a21x  a22y
Jacobiano del sistema
Resolver este
sistema es
relativamente facil
porque es un sistema
lineal
 a 11
J  
 a 21
a 12 

a 22 
x(t )  c1e
w1t
 c2e
y (t )  d1e
w1t
 d 2e
w2t
w2t
c1, c2, d1, d2 son ctes. que dependen de las cond.
iniciales
w1 y w2 son los valores propios de la matriz
jacobiana
Determinación de valores propios
 a 11
J  
 a 21
a 12 

a 22 
a 11  w
a 12
a 21
a 22  w
0
( a 11  w )( a 22  w )  a 12 a 21  0
w
2
 ( a 11  a 22 ) w  ( a 11 a 22  a 12 a 21 )  0
T  a 11  a 22
  a 11 a 22  a 12 a 21
w
2
 Tw    0
w 
T 
T
2
2
 4
w 
T 
2
T
 4
2
x(t )  c1e
w1t
 c2e
y (t )  d1e
w1t
 d 2e
w2t
w2t
1) >0
w 
T 
T<0
T
2
T2-4  0
 4
w1 y w2 son
reales negativos
2
x(t )  c1e
w1t
 c2e
y (t )  d1e
w1t
 d 2e
w2t
w2t
El estado estacionario es
asintóticamente estable
NODO ESTABLE
2) >0
w 
T 
T<0
T
2
T2-4 < 0
w1 y w2 son
complejos con parte
real negativa
 4
2
x(t )  e
Re( w) t
(c1e
Im( w) it
 c2e
 Im( w) t
)
FOCO ESTABLE
El estado estacionario es
asintóticamente estable
3) >0
w 
T 
T=0
T
2
T2-4 < 0
w1 y w2 son
imaginarios puros
de diferente signo
 4
2
x(t )  c1e
Im( w) it
 c2e
 Im( w) t
CENTRO
El estado estacionario es
estable según Liapunov
4) >0
w 
T 
T>0
T
2
T2-4  0
 4
w1 y w2 son
reales positivos
2
x(t )  c1e
w1t
 c2e
y (t )  d1e
w1t
 d 2e
w2t
w2t
El estado estacionario es
inestable
NODO INESTABLE
5) >0
w 
T 
T>0
T
2
T2-4 < 0
w1 y w2 son
complejos con parte
real positiva
 4
2
x(t )  e
Re( w) t
(c1e
Im( w) it
 c2e
 Im( w) t
)
FOCO INESTABLE
El estado estacionario es
inestable
6) <0
w 
T 
T cualquiera
T
2
 4
T2-4 > 0
w1 y w2 son reales
de diferente signo
2
x(t )  c1e
w1t
 c2e
y (t )  d1e
w1t
 d 2e
w2t
w2t
El estado estacionario es
inestable
PUNTO SILLA
CONCLUSION
La condición necesaria y suficiente
para que el estado estacionario sea
asintóticamente estable es que todas las
partes reales de los valores propios
sean negativas.
Basta que uno de los valores propios
tenga una parte real positiva para que el
estado estacionario sea inestable.
Ejemplo: Modelo de Lotka - Volterra
dx
dt
dy
dt
 k1 Ax  k 2 xy
 k 2 xy  k3 y
x: población de presas
y: población de predadores
Hallamos los estados estacionarios:
k1 Ax  k 2 xy  0
k 2 xy  k3 y  0
1) x0=0 y0=0
2) x0=k3/k2 y0=k1A/k2
dx
dt
dy
dt
a11
 k1 Ax  k 2 xy
 k 2 xy  k3 y
 f x
 f x 
0

  k1 A  k 2 y  a12  
 y

x

0

a21
 f y

 x


 f y
0

  k 2 y  a22  
 y
0


0

  k 2 x
0

0


k
x
 k3
2

0
1) Estado estacionario x0 = y0 = 0
 k1 A
J  
 0
w1 y w2 son
reales y de
diferente signo
0 

 k3 
PUNTO
SILLA
2) Estado estacionario x0 = k3/ k2 y0 = k1A/ k2
 0
J  
 k1 A
 k2 

0 
w1 y w2 son dos
imaginarios puros
CENTRO
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Ecuación - Ecuaciones Diferenciales con Maple