Microeconomía Avanzada I
Patricia Bervel – Manuel Torrente – Lucía Robles – Santiago Codina



Queremos optimizar una función sujeta a una o
más restricciones
El elemento más característico del método de
Kuhn-Tucker es que utilizaremos restricciones
con desigualdad
Analíticamente queremos:
Opt f(xi) s.a. g(xi) ≤ ci
Opt f(xi) s.a. g(xi) ≤ ci
para cualquier i =1, … n.
Dependiendo de si queremos maximizar o minimizar la función objetivo
elegiremos unos multiplicadores de Lagrange positivos o negativos
Si queremos Max f(xi)
λ>0
Si Min f(xi)
λ<0
Teniendo en cuenta que Max f(xi) = - Min f(xi)
Podremos construir la función lagranjiana de la forma:
L (xi , λi)= f(xi) - ∑λi( g(xi) – ci )
A
B
CONDICIONES DE PRIMER
ORDEN
∂ L (xi , λi)
∂ xi
=0
CONDICIONES DE HOLGURA
COMPLEMENTARIA
λi( g(xi) – ci ) = 0
C
En todos los casos
debemos comprobar
que se cumple:
g(xi) ≤ ci
D
Los multiplicadores de
Lagrange deben coincidir
con el problema de
optimización:
Si maximizamos, es λ > 0 ?
Si minimizamos, es λ < 0 ?
 Un punto obtenido a partir de las condiciones
de primer orden y que cumpla las 4 condiciones
de Kuhn-Tucker es directamente un óptimo
local (máximo o mínimo local)
 Para verificar que el óptimo es global usaremos
el teorema de Weierstrass
 Debemos también comprobar la existencia de
puntos irregulares (que no aparecen resolviendo
con Kuhn-Tucker), mediante:
1. Comprobar si la función objetivo es diferenciable
2. Que el rango de la matriz jacobiana construida con las
restricciones sea máximo
Si una función f es contigua en un intervalo cerrado
y acotado (compacto) [a,b] entonces, hay al menos
dos puntos x1, x2 pertenecientes a [a,b] donde f
alcanza valores extremos absolutos, es decir:
f(x1)  f(x)  f(x2)  x  [a,b]
D  Rn, compacto
f: D
R, continua
 c, d  D t.q. c es un mínimo global
de f y d es máximo global de f.
Un conjunto es compacto si es cerrado y acotado
CERRADO
Un conjunto es cerrado si su
complementario es abierto y
todos los puntos de la
frontera le pertenecen.
C  cerrado
Cc  abierto
ACOTADO
Sea A un subconjunto de números reales y M un número
real positivo. Se dice que A es acotado si  un M tal que  x
 A se verifica que |x| es menor o igual que M.
A es acotado   M  R+ /  x  A, |x|  M
EJEMPLOS DE
KUHN-TUCKER
Descargar

EL MÉTODO DE KUHN