Coordenadas rectangulares
z
P
y
x
y
x
z
z
y
x
1
Coordenadas rectangulares
z
P
y
x
2
Coordenadas cilíndricas
z

P
y
x
3
Coordenadas cilíndricas
z

P
y

x
4
Coordenadas cilíndricas
z
z
y

x
5
Coordenadas cilíndricas
z
x
zˆ
ˆ
ˆ

A 
A  ˆ  A ˆ  A z zˆ
6
Coordenadas cilíndricas
z
zˆ
x
ˆ
ˆ
ˆ  ˆ  ˆ  ˆ  zˆ  zˆ  1
ˆ  ˆ  ˆ  zˆ  zˆ  ˆ  0
ˆ  ˆ  zˆ
ˆ  zˆ  ˆ
zˆ  ˆ  ˆ
7
Coordenadas cilíndricas
z


r
y

x
8

r   ˆ  z zˆ
Coordenadas cilíndricas
z

r   ˆ  z zˆ

r
z
y

x
9

r   ˆ  z zˆ
Coordenadas cilíndricas

y

x   cos 
(1)
y   sen 
(2)
z  z
(3)
Dividiendo (2) entre (1):
y

x
x
 sen 
 cos 
tan  
y
x
Sumando el cuadraro de (1) con el de (2):
x
2
 y
2
  cos    sen 
2
2
2
2

 
x
2
 y
2
10

r   ˆ  z zˆ
Coordenadas cilíndricas
zˆ
ˆ
ˆ
y
x

x


11

r   ˆ  z zˆ
Coordenadas cilíndricas
ˆ   x xˆ   y yˆ
ˆ  cos  xˆ  sen  yˆ
 x  ˆ cos   cos 
x
y
ˆ
x
 y  ˆ sen   sen 
y
ˆ  cos  xˆ  sen  yˆ
ˆ
12

r   ˆ  z zˆ
Coordenadas cilíndricas
ˆ  cos  xˆ  sen  yˆ
zˆ
ˆ
ˆ
y
x

x


13

r   ˆ  z zˆ
Coordenadas cilíndricas
ˆ  cos  xˆ  sen  yˆ


90  
y
x
14

r   ˆ  z zˆ
Coordenadas cilíndricas
x(-)
ˆ  cos  xˆ  sen  yˆ
ˆ   x xˆ   y yˆ
ˆ   sen  xˆ  cos  yˆ
 x   ˆ sen    sen 
x

ˆ
y 
y
ˆ cos   cos 
ˆ   sen  xˆ  cos  yˆ
y
x(+)
15

r   ˆ  z zˆ
Coordenadas cilíndricas
ˆ  cos  xˆ  sen  yˆ
x(-)
ˆ  cos  xˆ  sen  yˆ
ˆ   sen  xˆ  cos  yˆ
 ˆ

 ˆ

ˆ   sen  xˆ  cos  yˆ
x
 ˆ

  ˆ
ˆ
 ˆ

y
  sen  xˆ  cos  yˆ
 ˆ

y
x(+)
 ˆ

 ˆ
  cos  xˆ  sen  yˆ
 ˆ

  ˆ
16

r   ˆ  z zˆ
Coordenadas cilíndricas
xˆ  cos  ˆ  sen  ˆ
 ˆ

 ˆ

 ˆ

ˆ
  ˆ
xˆ

ˆ
y

x(+)

90  
17

r   ˆ  z zˆ
Coordenadas cilíndricas
yˆ  sen  ˆ  cos  ˆ
 ˆ

 ˆ

 ˆ

  ˆ
ˆ
ˆ
yˆ
y
x(+)
18

r   ˆ  z zˆ
 ˆ

 ˆ

Coordenadas cilíndricas
z
 ˆ
 ˆ

 ˆ

  ˆ
d ˆ 
z

r
d  ˆ
y
x
19

r   ˆ  z zˆ
 ˆ

 ˆ

Coordenadas cilíndricas
z
 ˆ
 ˆ

 ˆ

  ˆ
d ˆ 
z

r
d  ˆ
y

r   ˆ  z zˆ

d r  d  ˆ   d ˆ  dz zˆ
x
20

r   ˆ  z zˆ
 ˆ

 ˆ

Coordenadas cilíndricas
z
 ˆ
 ˆ

 ˆ

  ˆ
d ˆ 
z

r
d  ˆ
y

r   ˆ  z zˆ

d r  d  ˆ   d ˆ  dz zˆ
x

d r  d  ˆ   d  ˆ  dz zˆ
21
Coordenadas cilíndricas
dz
d

dr
d
22
Coordenadas cilíndricas
 d
d
d

d

 d
23
Coordenadas cilíndricas
 d
d   (  d  ) ( d  ) ( dz )
d    d  d  dz
dz
z
d
d
y

r
x
24
Coordenadas cilíndricas
dz
d
d
da    d  dz
dz
 d
d
d
d

da     d  dz
25
Coordenadas cilíndricas
dz
d
d
dz

dr
d

r   ˆ  z zˆ

d r  d  ˆ   d  ˆ  dz zˆ
d
26
Coordenadas cilíndricas
dz
d
d
da z    d  d 
 d
d

27
Coordenadas cilíndricas
Si tenemos una función escalar
du 
u

d 
u

d 
u
z
u  f (  ,  , z ), entonces :
dz
Además :

d r  d  ˆ   d  ˆ  dz zˆ
La definición
general
del gradiente
dice que :

du   u  d r
28
Coordenadas cilíndricas
Si tenemos una función escalar
du 
u

d 
u

d 
u
z
u  f (  ,  , z ), entonces :
dz
Además :

d r  d  ˆ   d  ˆ  dz zˆ
La definición
general
del gradiente
dice que :

du   u  d r
u

d 
u

d 
u
z
dz    u ˆ    u ˆ   z u zˆ    d  ˆ   d  ˆ  dz zˆ 
29
Coordenadas cilíndricas
u

d 
u

d 
  u d 
u
z
u

dz    u ˆ    u ˆ   z u zˆ    d  ˆ   d  ˆ  dz zˆ 
d

 u 
u


 


30
Coordenadas cilíndricas
u

d 
u

d 
  u d 
u
z
u

  u  d 
dz    u ˆ    u ˆ   z u zˆ    d  ˆ   d  ˆ  dz zˆ 
d
u


d
 u 

u


 u  
u


 
 


1 
 
31
Coordenadas cilíndricas
u

d 
u

u
d 
  u d 
z
u
 z u dz 
d

  u  d 
dz    u ˆ    u ˆ   z u zˆ    d  ˆ   d  ˆ  dz zˆ 
u

u
z
dz

d

 u 

u

 u  
z u 

u
z
u

 

 

z 


1 
 

z
32
Coordenadas cilíndricas
 


ˆ 
1 
 
ˆ 

z
zˆ
Divergencia:

 

1 

  A  
ˆ 
ˆ 
zˆ    A  ˆ  A ˆ  A z zˆ
 
z 


 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  
 ˆ  
 

33
Coordenadas cilíndricas
 


ˆ 
1 
ˆ 
 

z
zˆ
Divergencia:

 

1 

  A  
ˆ 
ˆ 
zˆ    A  ˆ  A ˆ  A z zˆ
 
z 


 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  
 ˆ  
 

1

 
ˆ  

A


ˆ  A ˆ  A z zˆ  

34
Coordenadas cilíndricas
 


ˆ 
1 
ˆ 
 

z
zˆ
Divergencia:

 

1 

  A  
ˆ 
ˆ 
zˆ    A  ˆ  A ˆ  A z zˆ
 
z 


 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  
 ˆ  
 

1

 
ˆ  

A


ˆ  A ˆ  A z zˆ  

 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ 
zˆ  
 z

35
Coordenadas cilíndricas
 


ˆ 
1 
ˆ 
 

z
zˆ
Divergencia:

 

1 

  A  
ˆ 
ˆ 
zˆ    A  ˆ  A ˆ  A z zˆ
 
z 


 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  
 ˆ  
 

1

 
ˆ  

A


ˆ  A ˆ  A z zˆ  
 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ 
zˆ  
 z


 A

ˆ  A 
 ˆ

36
Coordenadas cilíndricas
 

ˆ 

1 
 
ˆ 

z
ˆ  cos  xˆ  sen  yˆ
ˆ   sen  xˆ  cos  yˆ
zˆ  zˆ
zˆ
 ˆ

Divergencia:
 ˆ
  ˆ

 

1 

  A  
ˆ 
ˆ 
zˆ    A  ˆ  A ˆ  A z zˆ
 
z 


 ˆ

 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  
 ˆ  
 

1

 
ˆ  

A


ˆ  A ˆ  A z zˆ  

 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ 
zˆ  
 z

37
Coordenadas cilíndricas

 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  
  A  ˆ  
 

 
ˆ  


1

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  

ˆ  cos  xˆ  sen  yˆ
ˆ   sen  xˆ  cos  yˆ
zˆ  zˆ
 ˆ

  ˆ
 ˆ

 ˆ
 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ 
zˆ  

z


 A

  A

 Az
  A  ˆ  
ˆ 
ˆ 
zˆ  


 

38
ˆ  cos  xˆ  sen  yˆ
Coordenadas cilíndricas
ˆ   sen  xˆ  cos  yˆ

 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  
  A  ˆ  
 

 
ˆ  


1
zˆ  zˆ
 ˆ

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  


  ˆ
 ˆ

 ˆ
 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ 
zˆ  

z


 A

  A

 Az
  A  ˆ  
ˆ 
ˆ 
zˆ  


 

1

  A
ˆ  
 
ˆ  A 
 ˆ


 A

ˆ  A
 ˆ


 Az


zˆ  

39
ˆ  cos  xˆ  sen  yˆ
Coordenadas cilíndricas
ˆ   sen  xˆ  cos  yˆ

 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  
  A  ˆ  
 

 
ˆ  


1
zˆ  zˆ
 ˆ

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  


  ˆ
 ˆ

 ˆ
 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ 
zˆ  

z


 A

  A

 Az
  A  ˆ  
ˆ 
ˆ 
zˆ  


 

1

  A
ˆ  
 
ˆ  A 
 ˆ


 A

ˆ  A
 ˆ


 Az


zˆ  

40
ˆ  cos  xˆ  sen  yˆ
Coordenadas cilíndricas
ˆ   sen  xˆ  cos  yˆ

 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  
  A  ˆ  
 

 
ˆ  


1
zˆ  zˆ
 ˆ

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  


  ˆ
 ˆ

 ˆ
 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ 
zˆ  

z


 A

  A

 Az
  A  ˆ  
ˆ 
ˆ 
zˆ  


 

1

  A
ˆ  
 
ˆ  A 
 ˆ


 A

ˆ  A
 ˆ


 Az


zˆ  

 A
  A

 Az
zˆ  
ˆ 
ˆ 
zˆ 
z
z
 z

41
Coordenadas cilíndricas

 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  
  A  ˆ  
 

 
ˆ  


1

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  

ˆ  cos  xˆ  sen  yˆ
ˆ   sen  xˆ  cos  yˆ
zˆ  zˆ
 ˆ

  ˆ
 ˆ

 ˆ
 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ 
zˆ  

z


 A

  A

 Az
  A  ˆ  
ˆ 
ˆ 
zˆ  








 ˆ
ˆ
 A
  A

 Az
 ˆ
 ˆ
1
ˆ  
ˆ  A 

ˆ  A

zˆ  













 A
  A

 Az
zˆ  
ˆ 
ˆ 
zˆ 
z
z
 z

42
Coordenadas cilíndricas

 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  
  A  ˆ  
 

 
ˆ  


1

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ  

ˆ  cos  xˆ  sen  yˆ
ˆ   sen  xˆ  cos  yˆ
zˆ  zˆ
 ˆ

  ˆ
 ˆ

 ˆ
 

 A  ˆ  A ˆ  A z zˆ 
zˆ  

z


 A

  A

 Az
  A  ˆ  
ˆ 
ˆ 
zˆ  








 ˆ
ˆ
 A
  A

 Az
 ˆ
 ˆ
1
ˆ  
ˆ  A 

ˆ  A

zˆ  













 A
 A
A
  A

 Az
zˆ  
ˆ 
ˆ 
zˆ  

z
z


 z


1  A
 

 Az
z
43
 A

1  A
 
A



Coordenadas cilíndricas

 Az


A

 A
 u
2

1 
 
 A  

 1  A z  A
 

z
  
1  A
 

 Az
z

  A
 Az
 ˆ  


 z




 1 
1  A 
 ˆ  



A


 zˆ

  

  
2
2
 u
1   u 
1  u
 
 


2
2
2
   
 
z
44
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Coordenadas cilíndricas