C soluciona
el defecto algebraico
de R de que existan
ecuaciones polinómicas
con coeficientes reales
que no tienen soluciones
reales.
Ej. x2 + 1 = 0.
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
Ars Magna (1545)
Considerada como la fecha de
nacimiento de los números
complejos.
Resolución de ecuaciones de
tercer y cuarto grado.
“Divide 10 en dos partes,
de modo que una por la otra
dé 40.”
x(10-x)=40 5   15
Solución “intrigante”.
Girolamo Cardano
(1501-1576)
Forma general de la ecuación cúbica y solución:
x  px  q
3
x
3
q
2
p, q  
2

3
q
q
 p
3 



 
 
2
2
 3
2
q
 p

 
 
2
 3
3
Funcionaba bien en algunos casos, como:
x  6 x  20 ; x 
3
3
108  10 
3
108  10
Pero en otros ... : x 3  15 x  4 ; x  3  121  2  3  121
Cardano sabía que x = 4 es solución de esta ecuación.
2
Rafael Bombelli (1526-1572) resolvió la situación operando
como lo hacemos hoy con números complejos.
60 años después de Bombelli:
“A pesar de que podemos pensar
que la ecuación
x3 - 6x2 + 13x - 10 = 0 tiene tres
raíces, únicamente una de ellas es
real, la cual es 2, y las otras dos…
son simplemente
imaginarias.”
René Descartes
(1596-1650)
René Descartes
"La Géométrie" (1637)
Gottfried von Leibnitz
“Los números imaginarios
(1.646 – 1.716)
son un excelente y
maravilloso refugio del
Espíritu Santo, una especie de
anfibio entre ser y no ser”
Otros términos que han sido
usados para referirse a los
números complejos incluyen :
“Sofisticados”
(Cardano)
“Sin sentido”
(Néper)
“Inexplicables”
(Girard)
“Incomprensibles” (Huygens)
“Imposibles” (Diversos autores)
Leonhard Euler
(1.707 – 1.783)
Con Euler los imaginarios se
incorporan definitivamente en la
Matemática.
“formulam
 1 littera
Leonhard Euler (1777)
i …”
i2 = -1; introdujo la notación binómica.
Demostró que el conjunto de los números
“imaginarios” era cerrado para las
cuatro operaciones básicas, así como
para la potenciación y la radicación.
“Estos números no son nada,
ni menos que nada, lo cual
necesariamente los hace
imaginarios, o imposibles”.
A los números enteros se
han agregado las fracciones;
a las cantidades racionales,
las irracionales;
a las positivas, las negativas;
y a las reales, las imaginarias”.
“Números íntegros complexos”
K. F. Gauss (1831)
Karl Friedrich Gauss
(1777-1855)
“¿Qué es un número complejo?” Gauss dio la respuesta
satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la
interpretación geométrica: x+iy → (x,y).
“La visualización de los números
reales mediante los puntos de una
recta o de los números complejos
mediante los puntos del plano no
solamente penetró sin gran resistencia
en el análisis, sino que se puede decir
con razón que, en el caso de los
números complejos, esta
visualización (Argand, Gauss) fue
lo que hizo posible vencer la fuerte
oposición de la comunidad
matemática al dar carta de ciudadanía
Miguel de Guzmán
a los números complejos”.
El rincón de la pizarra: ensayos de
(1936-2004)
visualización en análisis matemático.
Un número complejo z es un par ordenado de
números reales a y b, escrito como:
z = (a,b)
(Notación en componentes o coordenadas cartesianas).
C : ( a , b ) : a , b   
El conjunto de números complejos, se denota por C
a se llama la parte real de z:
b se llama la parte imaginaria de z:
Re(z) := a
Im(z) :=b
Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e
imaginarias son iguales:
(x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2
(0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:
i  ( 0 ,1)
(Los ingenieros eléctricos a menudo usan “j” para evitar confusiones con el
símbolo “i”, que asocian a la intensidad eléctrica).
Un número complejo z = (a,b) se escribe comúnmente
como :
z = a + bi
(notación algebraica o binómica, “afijo” en textos de antaño)
Si a= 0, se dice que es un imaginario puro.
Si b= 0, z se comporta como un número real.
z = (a,b)
z = a + bi
i  ( 0 ,1)
El plano complejo
z = (x,y)
(Plano z, de Argand o de Gauss)
z
Eje imaginario
r
y

x
Eje real
Ejemplo:
Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo
y
3
x
2
 3  2i
conjugado
El conjugado z de un número complejo z = x + i y
se define como:
z  x  iy
z
y
x
 y
z
Gráficamente el conjugado
es una reflexión respecto
al eje real.
conjugado
z  x  iy
z z
Es sencillo
demostrar
que:
z1  z 2  z1  z 2
z1 z 2  z1 z 2
z1  z 2  z1  z 2
z1 / z 2  z1 / z 2
z z  ( x  iy )( x  iy )  x  y
2
2
opuesto
El opuesto  z de un número complejo
z = x + i y se define como:
 x  iy
z
y
 z
x
Gráficamente el
opuesto
es una reflexión
respecto al punto (0,0)
Suma y producto
z1  x1  iy 1
Sean:
z 2  x 2  iy 2
Parte real
Suma
“En la facultad teníamos un profesor
cojo al que llamábamos el complejo.
Tenía una pierna real y otra imaginaria.”
Memorias de un estudiante
de matemáticas
Parte imaginaria
z 1  z 2  ( x1  x 2 )  i ( y 1  y 2 )
Producto
z 1 z 2  ( x1 x 2  y 1 y 2 )  i ( x1 y 2  x 2 y 1 )
Ejemplos:
(1)
i  ( 0  i )( 0  i )  ( 0  1)  i ( 0  0 )   1
2
De modo que podemos sustituir siempre:
i  1
2
i i 
(2)
1
1 

1

2
 1
Ejemplo:
( 4  5 i )( 2  3 i )  [ 4  2  (  5 i )  3 i ]  [ 4  3 i  (  5 i )  2 ]
 ( 8  15 )  i (12  10 )  23  2 i
Potencias de i
i  1
2
i  i
3
i 1
4
i
1
i i
5
1
i  1
6

i
Por ejemplo:
i
254
 (i )
4
63
 i  1(  1)   1
2
Resta
(operación inversa a la suma)
z  ( x1  x 2 )  i ( y 1  y 2 )
División
(operación inversa al producto)
El cociente de dos números
complejos se halla multiplicando el numerador y
denominador por el conjugado del denominador
Suma y resta de números complejos
en el plano complejo
y
z1
z1  z 2
z 2  z1
z2
x
En la suma (y la resta)
los números complejos
se comportan como vectores
Ejemplos:
(1) Sean:
z1=18 + 3i
z1

z2

z2 = -7 + 2i
(18  3 i )(  7  2 i )
(  7  2 i )(  7  2 i )
(18  3 i )( - 7 - 2 i )
7 2
2
-120 - 57 i

2

53
(2) Hallar el inverso de i:
1
i

1
i

i
i

i
1
 i
Ejemplo:
Sean z1=18 + 3i
z2 = -7 + 2i
Re(z1) = 18,
Im(z1) = 3,
Re(z2) = -7
Im(z2) = 2
Calcular:
z1+z2 = 11 + 5i,
z1-z2 = 25+i
z1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i
más ejercicios
Propiedades algebraicas
La suma y el producto dotan
a C de estructura de cuerpo.
Ley de clausura:
z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C.
Ley conmutativa:
z1 + z 2 = z 2 + z 1
z1 z 2 = z 2 z1
Ley asociativa:
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
(z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)
Ley distributiva:
z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3
0+z = z+0 = z (Neutro para la suma)
z +(-z) = (-z)+z = 0 (Opuesto para la suma)
z ·1 = 1 · z = z (Identidad para el producto)
z · z-1 = z-1 · z = 1 (Inverso para el producto)
(Para todo z distinto de 0)
{C,+,·} es un cuerpo.
No es posible ordenar el conjunto de los números complejos.
Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2
Falacia
¿1=-1?
(  1)(  1)  1;
 1  1  1;
(  1)(  1) 
i   1;
2
1;
1  1
El plano complejo
(Plano z, de Argand o de Gauss)
z = (x,y)
Módulo:
z
Eje imaginario
r
r : z 
y

x
Eje real
x  y
2
2
También llamado “valor absoluto”
(el módulo de un real es su valor absoluto)
Argumento:
 y
 : arg z  arctan  
 x
Para z = 0, el ángulo  no está definido.
El 0 no tiene forma polar
Con calculadora: Teclas RP, PolRec, rθ, …
Forma polar
z  r
x  r cos 
y  r sin 
z
r

y

z  x  iy
 r cos   ir sin 
Forma trigonométrica
x
z  r cos   i sin 

Ejemplo:
y
Escribir el siguiente número complejo z1=1+i,
en forma polar y trigonométrica:
módulo:
r1  z1 
z1  1  i
r1
2
(1)  (1) 
2
2
2
argumento:
1
x
1
1
arg z 1  arctan     / 4
1
z1 
solución
z1 
2  /4

 

2  cos
 i sin

4
4

Ejemplo:
Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo y
evaluar módulo y argumento
Módulo:
y
r  z 

(  3)  (  2 )
2
13

 3  2i
La calculadora
no distingue
Argumento:
3
r
2
x
2
2
2
  arg z  arctan 
  arctan  
3
3
 {  146 . 3  , 33 . 7  , 213 . 7  ,  }
El argumento está multivaluado.
3 . 73 rad
Multiplicación
m   m ´   mm ´  
z 1 z 2  r1 r2 [cos(    )  i sin(    )]
z  z 1 z 2  r1  cos   i sin  r2  cos   i sin 
 r1 r2 [  cos  cos   sin  sin   
i sin  cos   cos  sin  ]
 r1 r2 [cos(    )  i sin(    )]

Producto de números complejos en el plano complejo
z
z  z1 z 2
y
r  r1 r2
z2
r2
  

z1
r1

x
y
iz 1
Multiplicar por i es
equivalente a
girar 90 grados
z1
x
3
2
i z1
i z1
iz  ir (cos   i sin  )
 r (  sin   i cos  )
 r [cos(    / 2 )  i sin(    / 2 )]
Potencias
m  
n
m
n
n
z  r [cos( n  )  i sin( n  )]
n
n
Abraham de Moivre (1667 - 1754)
Fórmula de Moivre
Potencias enteras de complejos
en forma polar:
z  r cos   i sin 
z r
2
2
cos

2  i sin 2


z
z
1
2
cos(  )  i sin(  ) 
2
 r cos(  2 )  i sin(  2 ) 
r
1

z r
n
n
cos
n   i sin n 
cos 

n  0 ,  1, ...
 i sin    cos( n  )  i sin( n  )
n
El teorema de Moivre es una máquina de
generar identidades trigonométricas. Por ejemplo:
cos 3  i sin 3  (cos   i sin  ) 
3
cos   3i cos  sin   3 cos  sin   i sin 
3
2
2
Igualando las partes reales e imaginarias:
cos 3  cos   3 cos  sin 
3
2
sin 3  3 cos  sin   sin 
2
3
3
Potencias iguales
Distintos números complejos pueden llevar al mismo
resultado al realizarles una misma potencia …
16 40 º
2 100 º
 2 10 
4
 2 100 
2 10 º
2 190 º
 2 190 
 16 40
4
 16 400  16 40
4
 16 760  16 40
 2 280 
2 280 º
4
 16 1120  16 40
Esto nos lleva al cálculo de raíces
Potencias repetidas …
Raíces
Un número complejo tiene tantas
raíces como su índice
Sus afijos son los vértices de un
polígono regular
Raíces
Partimos de un número complejo z
z  r
se llama la raíz enésima de z a cualquier número
w que cumple: wn = z, y se escribe como
w 
Módulo de w
Ángulo de w
R 
n
n
z
r
360 º 

  
k
n
n

k  0,1,  , n  1
Raíces
La fórmula para el cálculo de las raíces se basa en
el teorema de Moivre
Sean
w= R(cosα+ i sinα)
z = r(cos + i sin)
Por el teorema de Moivre:
wn = Rn[cos(n α) + i sin(n α)]= r(cos + i sin)
Igualando los módulos y los ángulos obtenemos
R 
n
r
   2 k 

n


 
k  0,1,  , k  1
Raíz cuarta …
16 40 º
2 100 º
4
16 40
2 10 º
2 190 º
40 º
2 280 º
  2 10 

  2 100 

  2 190 
 2 
 280
 10 º
Primer ángulo
4
360 º
4
 90 º
Ángulo a añadir
Ejemplo: raíces de la unidad
1  10 º
5
1
5
1
0  2 k
n
w 0  10 º
w1  1 2 
5
w 2  1 4
5
w3  1 6
5
w 4  1 8
5
k  0 , 1,  4
z 1
n
División
m
m´
z1
z2

r1
r2

m
m´  
[cos(    )  i sin(    )]
División de números complejos en el plano complejo
z1
z
y
z2
r 
r1
z2

r1
r2
z
r2

z1
  
x
Un fractal es un objeto geométrico cuya
estructura básica se repite en diferentes escalas
Benoit
Mandelbrot
publicó en 1975
su primer ensayo
sobre fractales
Su dimensión es
fraccionaria
Su construcción se basa en la iteración de un número
complejo, es decir se hace una operación y ésta se repite
con el resultado ….
z  z2 + C. (conjunto de Mandelbrot)
El trabajo pionero en el juego de hacer
iteraciones con números complejos fue
desarrollado por dos matemáticos
franceses, Gaston Julia (a la izquierda)
y Pierre Fatou (a la derecha), a
principios del siglo XX.
Mandelbrot y esposa
Madrid-ICM 2006
Benoit Mandelbrot (Polonia-1924)
retomó los trabajos de Juliá en 1970
En el cuerpo humano existen estructuras con
geometría fractal, como son la red vascular,
las ramificaciones bronquiales, la red
neuronal, la disposición de las glándulas, etc.
El físico-matemático Antonio Brú ha modelado
matemáticamente el crecimiento de los tumores, o
al menos, eso es lo que defiende. En 1998 publica
la primera ecuación de crecimiento tumoral en la
mejor revista del mundo de física. “ … Este físico
español ha logrado curar un cáncer de hígado
terminal con una ecuación …” .
http://www.periodistadigital.com/salud/object.php?o=82957
Muchas antenas que en apariencia parecen constituir una sola unidad –gran parte de
las antenas de radar, entre ellas- están en realidad compuestas por una formación de
hasta un millar de pequeñas antenas.
Uno de los ingenieros de T&M afirma que el rendimiento de las antenas fractales es un 25 por
ciento mayor que el de las habituales antenas romas, revestidas de goma, con que van equipadas
muchos teléfonos móviles o inalámbricos. Amén de ser más baratas de fabricar, operan en
múltiples bandas, lo que permite incorporar un receptor GPS al teléfono, al tiempo que la antena
puede quedar oculta en el interior del aparato.
http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/3_1.html
http://www-tsc.upc.es/eef/research_lines/antennas/fractals/fractal_antennas.htm
(Visita la Web de los Ingenieros de la Universidad politécnica de Cataluña)
Los fractales han estado siendo usados
comercialmente en la industria
cinematográfica, en películas como Star Wars
y Star Trek.
http://starwars.ya.com/
http://www.trekminal.com/newvoyages/web/descargas.php
Visita la web de un
artista:
escucha música
fractal
http://home.wanadoo.nl/
laurens.lapre/
Fractal hecho con
el programa
apophysis.
www.apophysis.org
Otros programas:
Xaos
IfsAttrActoR
http://www.arrakis.es/~sysifus/software.html
"¿La vibración de las alas
de una mariposa en Brasil
pue-de desencadenar un
ciclón en Tejas?".
(Poincaré)
A comienzos de la década del 60, Lorenz se puso a elaborar un
modelo matemático para predecir fenómenos atmosféricos, y por
casualidad descubrió que la misma herramienta matemática que
utilizaba estaba fallando:
pequeños cambios en las condiciones iniciales producian diferencias
asombrosas
Causas pequeñas
producen grandes efectos
Ejemplos de sistemas
caóticos incluyen la
atmósfera terrestre, el
Sistema Solar, las placas
tectónicas, los fluidos en
régimen turbulento y los
crecimientos de
población.
los fractales son la
representación grafica
del caos.
En la década del 70 se empezaron a investigar comportamientos
caóticos en el ritmo cardíaco, las reacciónes químicas, el
mercado bursátil ….
Cuaterniones e
hipercomplejos
Los cuaterniones son números
complejos en cuatro dimensiones
en lugar de dos (Hamilton 1843).
Así un cuaternión q se expresa
como: q = a+ib+jc+kd donde
a,b,c,d son números reales.
Sir William Rowan
Hamilton (1805 - 1865)
El software de vuelo del
Space Shuttle usaba
cuaterniones para el
control de navegación y
vuelo
!La propiedad
conmutativa no se
cumple para el producto
de cuaterniones¡.
Los cuaterniones se emplean para
describir dinámicas en 3
dimensiones, en física y en gráficos
por ordenador (para hacer películas y
juegos).
Basada en la presentación de Bartolo Luque
http://www.disa.bi.ehu.es/ (nº complejos-archivo ppt)
http://www.arrakis.es/~sysifus/index.html (área fractal-varios)
http://es.webfractales.com/ (imágenes-software)
http://www.divulgamat.net/weborriak/Exposiciones/ArteMate/Perry/artemate.asp (arte fractal)
http://algorithmicbotany.org/vmm-deluxe/TableOfContents.html (laboratorio virtual de plantas)
http://www.quanta.net.py/zfractal/mainmenu.htm
http://www.geocities.com/Paris/Rue/1195/gallery1.html
http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/147/htm/fractus.htm
(fractales y caos)
http://platea.pntic.mec.es/aperez4/antonio-perez.html
http://www.margencero.com/estevez/estevez_intro.html (música)
http://www.dlsi.ua.es/%7Ejaperez/fractal/ (música)
http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo5/5.html (cuaterniones)
http://www.fractalmusiclab.com/default.asp
http://www.culturageneral.net/musica/clasica/
http://sombra.lamatriz.org/terraforming/html/ficcion.html
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Complejos 1º BACH - INTEF