1. La geometría del espacio euclidiano
2. Funciones vectoriales
3. Diferenciación
4. Integrales múltiples
5. Integrales de línea
6. Integrales de superficie
7. Los teoremas integrales
S ean A y B d o s co n ju n to s arb itrario s.
U n a fu n ció n d e A en B es u n a aso ciació n en tre
elem en to s d e A y B d o n d e a to d o s y cad a u n o
d e lo s elem en to s d e A se les aso cia u n ú n ico
elem en to d e B .
 E l co n ju n to A se llam a d o m in io d e la fu n ció n .
 A l co n ju n to B se le d en o m in a co d o m in io
o co n trad o m in io .
Una función real de una variable
real es una función cuyo dominio es
un subconjunto de los números
reales y su contradominio son los
números reales.
Su rango es también un
subconjunto de los reales.
D efinición
La gráfica de la función f es el lugar ge om étrico
de los puntos del plano cuyas coordenada s
satisfacen la ecuación y  f ( x )
G 
 x , y   R  x , f  x  
2
f :R  R
y  f  x   3x  2
exp : R  R
y  exp  x   e
x
log : (0,  )  R
y  ln  x 
:R  R
y x
4
2
10
5
5
2
4
10
2
1
2
1
1
1
2
2
f :D
y f
f
 R  R
x
 :I  R  R
2
 t    x t  , y t 
 :I  R  R
3
 t    x t  , y t  , z t 
4
2
10
5
5
2
4

  t   t cos t , t sin t

t   0,10 
10
2
1
2
1
1
2
1
2
  t    co s t , sin t 
t   0, 2 

6
4
2
10
5
5
2
4
6
  t    2  3t ,  1  t 
t   0, 5 
10
 :I  R  R
 t 
n
1) E n Física elem ental se define el trab ajo W que hace
una fuerza F al "recorrer" una distancia l com o:
W  Fl
2) E s sabido que una fuerza F que actua e n una dirección
perpendicular al m ovim iento no realiza ningún trabajo
3) D ebem os de tom ar en cuenta sólo la pa rte de la
fuerza que actua en la dirección del m ov im iento
F
l
W  F l
F

l
W  F cos   l
F x

l
 W  F  x  cos    l
a  b  a b cos 
a

b
F x

l
W  F  x   l
F x

l
N
W  lim
N
 F  x   l
i
i 1
i
S ea un cam po vectorial: F : D  R  R
2
2
Y
 
F P1
 
F P2
 
F Pi
X
S ea u n a cu rva  : I   a , b   R  R
Y
  t2 
  t1 
  t3 
X
2
S ea u n cam p o vecto rial:
F :D  R  R
2
S ea u n a cu rva  : I   a , b   R  R
S e d efin e la in teg ral d e lín ea co m o
b
 F  dl


 F    t   
a
b


a
F    t  
d t 
dt 
dt
d t 
dt
co s  d t
2
2
F  x, y 
Y

d t 
dt
 t 
X
 F    t   

d t 
dt
b
dt 
 F    t  
a
d t 
dt
cos  dt
F  x, y 
Y

d t 
dt
 t 
X
F :D  R  R
n
n
 : I  a,b  R  R
n
b
F
r

dl







F

t



  
a
d t 
dt
dt
F :R  R
2
2

F  x, y   x  y, x  y
2
2


F  x, y   x  y, x  y
2
2

 1, 2 
 0,1 

F  x, y   x  y, x  y
2
2

 1, 2 
 0,1 

F  x, y   x  y, x  y
2
2

y  x 1
  t    t , t  1
t   0,1

b
F  x, y   x  y, x  y
2
2
 ;  F  r   dl   F    t   

d t 
  t    t , t  1
dt
1
 t
2
a
  t  1 , t   t  1
2
d t 
dt
dt
  1,1 
  1,1  dt 
0
1


0
5

3
1
1
t 
t 
2
2 t  2 t dt  2  t dt  2  tdt  2    2     1 
 3 0
 2 0 3
0
0
2

1
1
2
3
2

F  x, y   x  y, x  y
2
2

 1  t    t ,1 
t   0,1 
 2  t    1, t 
t  1, 2 

F  x, y   x  y, x  y
2
2

b
;
 F  r   dl

dt
1

t  1, t  1
2
2
 F    t   
a
d1 t 
 1  t    t ,1 

 1, 0 
  1, 0  dt 
0
1


0
1
t 
1
1
t  1 dt   t dt   dt      t  0   1 
3
 3 0
0
0
2
2

3

1
1
2
3
d t 
dt
dt

F  x, y   x  y, x  y
2
2

b
;
 F  r   dl

 2  t    1, t 

1  t ,1  t
2
dt
2
 F    t   
a
d 2 t 
2

d t 
dt
  0,1 
   0,1  dt 
1
2


1
2
3
3


t
2
1
2
2
2
t  1 dt   t dt   dt      t 1 

 2 1
3
3
 3 1
1
1
10

3

2
2
3
dt

F  x, y   x  y, x  y
2
2
b
 F  r   dl


 F  r   dl
1
8

3
 F    t   
a

 F  r   dl
2

d t 
dt
dt

2
3

10
3

8
3

F  x, y   x  y, x  y
2
2

y  x 1
2
  t    t , t  1
2
t   0,1 
b

F  x, y   x  y, x  y
2
2
 ;  F  r   dl   F    t   

a
d t 
  t    t , t  1
2
 t
1
2


dt

 t  1 ,t  t  1
2
2

2
 1, 2 t 
  1, 2 t  dt 
0
1

  2t
0
2
5

 4 t  2 t  2 t  1 dt 
3
2
1
3
1
2
3
11
d t 
dt
dt

F  x, y   x  y, x  y
2
2

5
3
8
2
3

F  x, y   x  y, x  y
2
2

 1, 2 
5
8
3
3
 0,1 
2
G:R  R
3
3

G  x , y , z   2 xz  6 y , 6 x  2 yz , 3 x z  y
3
2
2
2


G  x , y , z   2 xz  6 y , 6 x  2 yz , 3 x z  y
3
Integral de 1,  1,1 
2
a
2
 2,1,  1 
2

 1  t    1  t ,  1  2 t ,1  2 t  ; t   0,1 
 2  t   1  t ,  1  2 t ,1  2 t
2
3
;
t   0,1
 3 a  t    1  t ,  1,1  ; t   0,1 
 3 b  t    2,  1  2 t ,1  ; t   0,1 
 3 c  t    2,1,1  2 t  ; t   0,1 

G  x , y , z   2 xz  6 y , 6 x  2 yz , 3 x z  y
3
Integral de 1,  1,1 
2
a
2
 2,1,  1 
2


G  x , y , z   2 xz  6 y , 6 x  2 yz , 3 x z  y
3
2 2
Integral de 1,  1,1  a
 2,1,  1 
2

 1  t    1  t ,  1  2 t ,1  2 t  ; t   0,1 
d1 t 
dt
 G    t    d l
1
  1, 2,  2 

1
1


0
 2  1  t   1  2 t  3  6   1  2 t  , 6  1  t   2   1  2 t  1  2 t  , 


2
2
2
 3 1  t  1  2 t     1  2 t 



1, 2,  2  d t
1


0
 2  1  t   1  2 t  3  6   1  2 t   1 2 1  t 


d t
  4   1  2 t  1  2 t   6 1  t  2 1  2 t  2  2   1  2 t  2 


1


0
  4 0 t 4  1 6 t 3  5 4 t 2  2 t  8 d t   8  4  1 8  1  8  1 5



G  x , y , z   2 xz  6 y , 6 x  2 yz , 3 x z  y
3
2
Integral de 1,  1,1 
a
2
2
 2  t   1  t ,  1  2 t ,1  2 t

2
 2,1,  1 
d 2 t 
dt
 G    t    dl
1

 1, 4 t ,  6 t
2
3
;
t   0,1 


2





 2 1  t 1  2t 3 3  6 1  2t 2 , 6 1  t  2 1  2t 2




 
2
2
2

3
2
0 3 1  t 
1  2t
 1  2t

1


1, 4 t ,  6 t
2
 
 1  2 t  , 

 dt
  88 t 10  160 t 9  72 t 8  96 t 7  224 t 6  72 t 5  70 t 4 
 
 dt 
3
2

0 
  64 t  24 t  34 t  4
1
 15
3



G  x , y , z   2 xz  6 y , 6 x  2 yz , 3 x z  y
3
In teg ral d e 1,  1,1 
2
a
2
2

 3 a  t    1  t ,  1,1  ;
d  3a  t 
 2,1,  1 
dt
 G    t    dl
1
t   0,1 
  1, 0, 0 

 3a
 2  1  t   1  3  6   1  , 6 1  t   2   1  1  , 
   1, 0, 0  dt
 
2
2
2

0  3 1  t  1     1 


1
1
3

  2 1  t  1   6   1   dt 


0
1
  2 t  4  dt  1  4   3
0

G  x , y , z   2 xz  6 y , 6 x  2 yz , 3 x z  y
3
Integral de 1,  1,1 
2
a
2
2

 3 b  t    2,  1  2 t ,1  ;
d  3b  t 
 2,1,  1 
dt
 G    t    dl
1
t   0,1 
  0, 2, 0 

 3b
 2  2   1  3  6   1  2 t  , 6  2   2   1  2 t  1  , 
   0, 2, 0  dt
 
2
2
2


0 3  2  1     1  2 t 


1
1
1
 2   6  2   2   1  2 t  1   dt  2    4 t  14  dt  2   2  14   24
0
0

G  x , y , z   2 xz  6 y , 6 x  2 yz , 3 x z  y
3
Integral de 1,  1,1 
2
a
 G    t    dl
1
 2,1,  1 
2
2

 3 c  t    2,1,1  2 t  ;
d  3c  t 
dt
t   0,1 
  0, 0,  2 

 3c
 2  2  1  2 t  3  6 1  , 6  2   2 1  1  2 t  , 
   0, 0,  2  dt
 
2
2
2


0 3  2  1  2 t   1 


1
1
1
0
0


2
2
2
2

  2  3  2  1  2 t   1   dt   2  11  48 t  48 t dt


  2 11  24  16    6

G  x , y , z   2 xz  6 y , 6 x  2 yz , 3 x z  y
3
In teg ral d e 1,  1,1 
2
a
 3 b  t    2,  1  2 t ,1  ;

 3a
G   1  t    dl 

 3b
  3  24  6  15
2

 2,1,  1 
 3 a  t    1  t ,  1,1  ;
 3 c  t    2,1,1  2 t  ;
2
t   0,1 
t   0,1 
t   0,1 
G   1  t    dl 
 G    t    dl
1
 3c


G  x , y , z   2 xz  6 y , 6 x  2 yz , 3 x z  y
3
2
15
15
15
2
2


E:R  0  R
3
3
E  x, y, z  
 x, y, z 
x
2
 y  z
2
2

3/2
E  x, y, z  
 x, y, z 
x
2
 y  z
2
2

3/2
T rayectoria cerrada:
  t    cos t , sin t , 0 
t   0, 2 

E  x, y, z  
 x, y, z 
x
2
 y z
2
2

3/ 2
T rayectoria cerrada:
  t    cos t , sin t , 0 
E  cos t , sin t , 0  
t   0, 2 

 cos t , sin t , 0 

cos t  si n t  0
2
2
2

3/ 2
  cos t , sin t , 0 
E  x, y, z  
 x, y, z 
x
2
 y z
2
2

3/ 2
T rayectoria cerrada:
  t    cos t , sin t , 0 
d t 
dt
t   0 , 2
   sin t , cos t , 0 

E  cos t , sin t , 0  
d t 
dt
 cos t , sin t , 0 

cos t  sin t  0
2
2
2

3/2
  cos t , s in t , 0 
   sin t , cos t , 0 
E  cos t , sin t , 0     sin t , cos t , 0    sin t cos t  sin t c o s t  0
2
 F     dl


 F    t   
0
d t 
dt
dt  0
E s obvio, que en este caso, para cualquier
trayectoría circular, con centro en el o rigen,
 F     dl
0

E l cam po vectorial F y el vector tangente a la
trayectoria d l son ortogonales y siem pre
F     dl  0
E:R  R
2
2
E  x, y    x  y, y  x 
E:R  R
2
2
E  x, y    x  y, y  x 
1,1    4, 2 
y  x
2
E:R  R
2
2
E  x, y    x  y, y  x 
1,1    4, 2 
y  x
2
E:R  R
2
E  x, y    x  y, y  x 
2
1,1    4 , 2 
y  x
2
4,2
 E    dl

 x 

1,1 
4,2

 
y, y  x    dx, dy  
y  y, y  y
2
2

2
  2 yd y , d y  
 1,1 


2 y  y  y dy 
3
2
1
2
2
2
y 
y 
y 
1 8 1
1
 

  
  
 8   2
2 3 3
2
 2 1
 3 1
 2 1
4
3
2
34
3
F :D  R  R
3
3
P1  P2
P2
 F  r   dl
P1
b

 F    t   
a
d t 
dt
dt
U n cam po vectorial es conservativo si la integral
de linea entre cualesquiera dos puntos P1 y P2 es
independiente de la trayectoria
F :D  R  R
3

3
F  r   dl  0
C
U n cam po vectorial es conservativo si
y sólo si la integral sob re cualquie r
trayectoria cerrada es cer o
F :D  R  R
3
3
 F  r   dl
C
C
0
F :D  R  R
3
3
 F  r   dl
C
P2

P1

0
F :D  R  R
3
3
 F  r   dl
C
P2

P1

0
F :D  R  R
3
3
 F  r   dl
C

 F  r   dl
C1
C1
P1

 F  r   dl
C2
P2

C2

0
F :D  R  R
3
 F  r   dl
3
   F  r   dl
C1
C2
P2

C2
C1
P1

F :D  R  R
3
3
 F  r   dl

C2
C1
P2

C2
C1
P1

 F  r   dl
F :D  R  R
3
3
U n cam po vectorial es conservativo
si y sólo si es un gradiente, es decir,
F  
D efinim os la función
x
F x 

f   d 
a
donde a es una constante
y
x es la variable independiente
x
f x
F x 
 f   d 
a
x
a
x
F x 

f   d 
a
S e tiene
d
dx
F x  f x
b

a
f  x  dx  F  b   F  a 
  x1 , x 2 , x 3 ,..., x n  : R  R
n
n
d 

 x
i 1
i
dx i
  x1 , x 2 , x 3 ,..., x n  : R  R
n
n
 

 x
i 1
i
 x i  grad     x1 ,  x 2 ,  x 3 ,...,  x n 
F :D  R
3
 R
3
U n cam p o vecto rial es co n servativo si y só lo si es u n g rad ien te, es d ecir,
F  
P2

P1
P2
P2
    
F  r   dl      dl   
,
,
   dx , dy , dz  
x y z 
P1
P1 
P2
 



 
dx 
dy 
dz  
x
y
z

P1 
P2
    dl
P1
   P2     P1 
P2
 d
P1
   P2     P1 



dl


P


P



2
1

C
donde C es una curva seccionalm ente
suave que va de P1 a P2 .
F :D  R  R
3
3
U n cam po vectorial es conservativo
si y sólo si
F 0
Lo demostraremos más adelante, utilizando el teorema de Stokes
F :D  R  R
3
3
P2
a) L a in teg ral
 F  r   dl
n o d ep en d e d e la
P1
trayecto ria en tre P1 y P2
b)
 F  r   dl
C
cerrad a C
c)
F  
d)   F  0
0
p ara cu alq u ier trayecto ria
 :D  R  R
n
 : I  a, b  R  R
b



r
dl



t





  

a
n
d t 
dt
dt
  x, y   x  y
 :R  R
2
 : I   0,    R  R
2
  t    cos t , sin t 
  x, y   x  y
 :R  R
2
 : I   0,    R  R
b
   r  dl       t  

a
  t    cos t , sin t 
2
d t 
dt
dt
  x, y   x  y
 :R  R
2
 : I   0,    R  R
d t 
b
   r  dl       t  

  t    cos t , sin t 
2

dt 
dt
a
  cos t  sin t    sin t , cos t  dt
0



  cos t  sin t  sin t  cos t dt 
  cos t  sin t dt
0
0
2
2
;   x, y   x  y
 :R  R
2
 : I   0,    R  R

2
;   t    cos t , sin t 


   r  dl    cos t  sin t dt   cos tdt   sin tdt 

0

0

0
  sin t  0    cos t  0  0  0    1   1   2
  x, y   x  y
 :R  R
2
 : I   0,    R  R
b
   r  dl       t  

a
  t    cos t , sin t 
2
d t 
dt
dt  2
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