Departamento de Ciencias 2011
Profesor Ihosvany Seguí
TIRO PARABÓLICO
Movimiento en dos dimensiones
h máx
x
¿Qué tipo de movimiento desarrolla en
cada dimensión?
Eje x: MRU
vy
vx 
v0
v0 y
dx
t
x  ( v 0 cos  ) t
g
 vy
g

v0 x
v 0 x  v 0 cos 
v 0 y  v 0 sin 
Eje y: MRUA
En la subida disminuye la componente vertical de la
velocidad del proyectil hasta hacerse nula en el punto
de altura máxima.
a
v máx y  0
v y1
h máx
v  v0
t
g 
 v 0 sin 
t
 vy2
v0 y
t1
tT 
2 v 0 sin 
g
t
t
v 0 sin 
g
t2
vy
Demuestre que el alcance horizontal máximo
de un proyectil que se mueve parabólicamente
no depende del tiempo de vuelo.
Es claro que en el eje horizontal se cumple que
x  v 0 t cos 
aquí t es el tiempo total de vuelo
Pero sabemos que el tiempo total de vuelo es
t
2 v o sin 
g
Por lo tanto
 2 v 0 sin  

x  v 0 cos  
g


 2 v 0 2 sin  cos  

x


g


x  v 0 cos   t
2 v 0 sin  cos 
2
x 
h  v 0 sin   t 
g
2
h max 
v 0 sin
2

2g
v 0 x  v 0 cos 
v 0 y  v 0 sin 
v y  v 0 sin   gt
gt
2
2
•
A una piedra se le imprime una velocidad inicial de 20 m/s a un ángulo de 58°. ¿Cuáles son sus
desplazamientos horizontal y vertical después de 3 s?
Solución:
Datos
Fórmulas
v 0  20 m / s
x  v 0 cos   t
t  3s
Solución
x   20 cos 58    3
2 v 0 sin  cos 
2
x 
  58 
x  31 ,8 m
g
g  9 ,8 m / s
2
h  v 0 sin   t 
2
h max 
v 0 sin
2

gt
2
2
h   20 sin 58    3 
 9 ,8  3
2
2
h  6 , 78 m
2g
¿Cuál sería la magnitud del alcance horizontal máximo y la altura máxima?
6 ,8 m
v0
h máx  14 , 7 m
t  3s
58°
x  36 , 7 m
¿Cuál es la magnitud del tiempo total de vuelo?
t vuelo  3,5 s
31 ,8 m
•
Una pelota de béisbol sale golpeada por el bat con una velocidad de 30 m/s bajo un ángulo de
30°. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de su velocidad después de 3s?
Solución:
Datos
Fórmulas
Solución:
v 0  30 m / s
v 0 x  v 0 cos 
v 0 x  30 cos 30   26 , 0 m / s
  30 
v 0 y  v 0 sin 
v 0 y  30 sin 30   15 , 0 m / s
g  9 ,8 m / s
t  3s
2
v y  v 0 sin   gt
v y  15   9 ,8  3
v y   14 , 4 m / s
Respuesta: Como la velocidad en x es constante, entonces v 0 x
 v x  26 , 0 m / s
y vy
 14 , 4 m / s
¿Qué significa el sigo menos (−), en la magnitud de la velocidad vertical?
•
En el caso del problema anterior, ¿cuál es la altura máxima y cuál es el alcance del proyectil?
Solución:
Datos
Fórmulas
x  v 0 cos   t
v 0  30 m / s
  30 
g  9 ,8 m / s
Solución
2 v 0 sin  cos 
2
2
x 
x 

2 30  sin 30   cos 30 
2
9 ,8
g
x  79 ,5 m
h  v0 yt 
gt
2
2
2
h max 
v 0 sin
2g
2

h máx 
30
2
sin 30   2
2 9 , 8 
h máx  11 , 5 m

•
Una flecha sale de un arco con una velocidad inicial de 120 ft/s a un ángulo de 37° con
respecto a la horizontal. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de su
desplazamiento al cabo de 2 s?
Solución:
Datos
Fórmulas
v 0  120 ft / s
x  v 0 cos   t
  37 
g  32 ft / s
Solución
2 v 0 sin  cos 
2
2
x 
x  120 cos 37   2
x  191 , 7 ft
g
t  2s
h  v0 yt 
gt
2
2
2
2
h max 
h  120 sin 37   2 
v 0 sin
2g
 32  2
2

h  80 , 4 ft
2
•
En el problema anterior, ¿cuáles son la magnitud y la dirección de la velocidad después de 2s?
Solución:
Datos
Fórmulas
v 0  120 ft / s
  37 
g  32 ft / s
t  2s
2
Solución
v x  v 0 x  v 0 cos 
v x  120 cos 37   95 ,8 ft / s
v y  v 0 sin   gt
v y  120 sin 37     32  2 
v y  8 , 2 ft / s
•
En la figura, una pelota de golf sale del punto de partida, al ser golpeada , con una velocidad
de 40 m/s a 65°. Si cae sobre un green localizado 10 m más arriba que el punto de partida,
¿cuál fue el tiempo que permaneció en el aire y cuál fue la distancia horizontal recorrida
respecto al palo?
h  10 m
65 
Solución:
Datos
Fórmulas
v 0  40 m / s
Solución
h  v 0 sin   t 
  65 
2
g  9 ,8 m / s
t ?
2
h max 
v 0 sin
2

2g
R/ El tiempo fue de 7,1 s.
gt
2
2
10  40 sin 65   t 
 9 ,8 t
2
2
10  36 , 3 t  4 , 9 t
4 , 9 t  36 ,3 t  10  0
2
t 1  0 , 29 s
t 2  7 ,1 s
2
Para la distancia horizontal
Fórmulas
Solución
x  v 0 cos   t
x  40 cos 65   7 ,1  120 , 0 m
120 m
Datos
• g = 9,8 m/s²
• v₀, , t,
Fórmulas
• Con tiempo
• Sin tiempo
• Ecuación lineal
• Ecuación
Solución
cuadrática solo
para t
•
Un proyectil sale disparado del suelo con una velocidad de 35 m/s a un ángulo de 32°.
¿Cuál es la altura máxima que alcanza?
Solución:
Datos
h  v0 yt 
v 0  35 m / s
  32 
g  9 ,8 m / s
Solución
Fórmulas
gt
2
2
2
2
h max 
v 0 sin
2g
2

h máx 
35
2
sin 32   2
2 9 , 8 
h máx  17 , 6 m
El proyectil del problema anterior se eleva y cae, golpeando una cartelera de anuncios
instalada a 8 m por encima del suelo. ¿Cuál fue el tiempo de vuelo y qué distancia horizontal
máxima recorrió el proyectil?
•
8m
32 
Solución:
Fórmulas
Datos
v 0  35 m / s
h  v 0 sin   t 
  32 
g  9 ,8 m / s
h  8m
Solución
2
2
h max 
v 0 sin
2
gt
2
8  35 sin 32   t 
2
2

2g
R/ El tiempo que tarda es de 3,29 s
 9 ,8 t
t 1  0 ,50 s
t 2  3 , 29 s
2
Para la distancia horizontal
Fórmula
x  v 0 cos   t
2 v 0 sin  cos 
2
x 
Solución
x  35 cos 32   3 , 29
x  97 , 7 m
g
Al calcular la distancia horizontal debemos considerar que el proyectil nunca
toca el suelo, por esta razón no podemos utilizar la fórmula para el alcance
máximo horizontal.
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PROBLEMA GENERAL DE LAS TRAYECTORIAS