P2. Septiembre 2007
Im (z)
1. Calcular la integral


0
(ln x )
1 x
2
2
dx
Re (z)
Indicación: Utilice el contorno de la
figura y la determinación (-π/2, 3π/2)
2
(ln x )
con
f (z) 
2
1 x
Respuesta.
Calculamos a lo largo del contorno dado Γ, la integral


(ln z )
1 z
2
2
dz
para lo que buscamos los puntos singulares del integrando interiores a Γ.
Como los puntos donde 3 z no es analítica no son interiores al contorno,
basta con calcular los ceros del denominador que, en este caso son los
puntos z = ±i. El único punto singular interior al contorno es z = i, de modo
que


(log z )
1 z
2
2
 (log z ) 2 
dz  2  i Res 
; i 
2
 1 z

El punto z = i es un polo simple de la función, pues ésta se puede expresar en
la forma
2
(log z )
1 z
siendo g ( z ) 
(log z )
zi
2
g (z)

zi
2
analítica y no nula en z = i pues
  
2
i 
2
(log i )
1 
 2
g (i ) 


0
2i
2i
2i 4
2
 (log z) 2 
con lo que Res 
; i   g ( i ) y
2
 1 z



(log z )
1 z
2
2
dz  

3
4
Como   C R  T1  C   T 2 , entonces



f ( z ) dz  
f ( z ) dz 
CR

f ( z ) dz 
T1
z 
 lim
z 
z 
( 2 log z ) / z
1

f ( z ) dz 
C
El límite
lim zf ( z )  lim z

(log z )
1 z
 lim
2
 lim
2
z 
z 
2
z
0
f ( z ) dz
T2
(log z )
z
2

y se puede afirmar por el Lema 1 de Jordan que
lim
R


f ( z ) dz  0
CR
Por ser
lim zf ( z )  lim z
z 0
(log z )
z 0
1 z
2
2
 lim
(log z )
z 0
1
z
 lim
z 0
( 2 log z ) / z
1/ z
2
 lim 2 z log z  0
z 0
y se puede afirmar por el Lema 1 de Jordan que
lim
 0

C
f ( z ) dz  0
2


El segmento T1 lo parametrizamos en la forma z = xeiπ, x   R ,  , de
modo que
(log z )
1 z
2

2
(ln x  i  )
1 x e
2
2

i 2
(ln x  i  )
1 x
2
2
i
dz  e dx   dx
con lo que

T1



(ln x  i  )
R
1 x
f ( z ) dz   
R

(ln x )
1 x
2
2
dx  2  i 
R

2
dx 
2
ln x
1 x
2
dx  
2
R

1
1 x
2
dx
El segmento T2 lo parametrizamos en la forma z = x, x   , R , de
modo que
2
2
(log z )
(ln x )

2
2
1 z
1 x
dz  dx
con lo que

T2
f ( z ) dz  
R
(ln x )
1 x

2
2
dx
Sumando todas las contribuciones y, tomando límites cuando R → ∞ y
ε → 0 queda


3
4
 2

0
(ln x )
1 x
2
2
dx  2 i 
  ln x
 0 1  x 2 dx  0


2
 (ln x )
1

dx 
2

 0 1  x
2

0
ln x
1 x
2
 3



4

dx  
2


0
2


0
1
1 x

dx 
2
1 x

1
2
dx

Como la integral real

0
se deduce que


0
1
1 x
2
(ln x )
1 x
dx  arctg x
2
2
dx 

3
8

0


2
2. Sea la función entera tal que:
f (z)  e , z  C
z
Con la ayuda del teorema de Liouville obtener la expresión general de f(z).
Respuesta.
f (z)  e , z  C 
z
f (z)
e
z
 1,  z  C
Por el teorema de Liouville:
f (z)
e
Por tanto
f ( z)  e
z
z
 cte .   , con   1
3. Obtener el número de ceros de la ecuación 3z4 + 7z3 – z + 2 = 0 en
el interior del disco centrado en el origen y de radio unidad.
Respuesta.
Recurriendo al teorema de Rouché:
f = 7z3
|f|<7
g = 3z4 – z + 2
|g|<6
z  z  1
|f| > |g| → nº de ceros de f = 3, es igual al nº de ceros de f + g.
Por ello, la ecuación tiene en el disco 3 ceros.
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