TEMA 1.1 Y 1.2 REPRESENTACION SIMBOLICA Y ANGULAR
DEL ENTORNO
Funciones exponenciales
y logaritmicas
ING. CARDENAS SALINAS MODESTO DAVID
1
Temas
•
Funciones Exponenciales
•
Funciones logarítmicas
•
Leyes de los logarítmos
•
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
• Examen
2
Funciones Exponenciales
3
Esquema del capítulo
• Se estudia una nueva forma de funciones
llamadas funciones exponenciales.
• Las funciones exponenciales son apropiadas
para modelar el crecimiento poblacional para
los seres vivos.
4
Ejemplos:
f ( x)  2
x
Es una función exponencial con base 2.
Veamos con la rapidez que crece:
f (3)  2  8
3
f (10 )  2
10
f ( 30 )  2
30
 1024
 1, 073 , 741 ,824
5
Funciones Exponenciales
La función exponencial con base a se
define para todos los números reales x por:
f ( x)  a
x
donde a  0 ; a  0
Ejemplos de funciones exponenciales:
f ( x)  2
Base 2
x
h( x)  3
Base 3
x
q ( x )  10
x
Base 10
6
Ejemplo 1:
Evaluación de funciones exponenciales
Sea f  x   3 x y evalúe lo siguiente:
a ) f 2   3 2  9
2
 2
b ) f     3 3  0 . 4807
 3
c) f
 2  3
2
 4 . 7288
7
Ejemplo estructural
El arco Gateway en San Luis, Missouri, tiene
la forma de la gráfica de una combinación de
funciones exponenciales, no una parábola
como pareceria. Es una función de la forma:
y  a (e
bx
e
 bx
)
Se eligió esta forma porque es óptimo para
dirtibuir las fuerzas estructurales internas del
arco.
8
Función Exponencial Natural
La función exponencial natural es la función exponencial
f ( x)  e
x
e
con base . Es común referirse a ella como la función exponencial.
f ( x)  e
x
9
Ejemplo:
Evaluar la función exponencial
Evalúe cada expresión correcta hasta cinco decimales.
Solución:
a )e
3
b)2e
c )e
 20 . 08554
 0 . 53
4 .8
 1 . 17721
 121 . 51042
10
Ejemplo:
Modelo exponencial para la diseminación de un virus
Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una
ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el
número de personas que ha sucumbido al virus se modela
mediante la función:
v (t ) 
10000
5  1245 e
 0 . 97 t
Contesta:
a) Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)
b) Calcule el número de personas infectadas despues de un
día y depués de cinco días.
c) Grafique la función y describa el comportamiento.
11
Solución:
Ejemplo anterior
a) Cuántas personas infectadas hay por el virus (t = 0).
v (t ) 
10000
5  1245 e
0

10000
8
1250
8 personas tienen inicialmente la enfermedad.
b) Calcule el número de personas infectadas después de un día y
cinco días. (t = 1, t = 2, t = 5)
Días
Personas infectadas
1
21
2
54
5
678
12
Solución:
Ejemplo anterior (cont)
c) Grafique la función y describa el comportamiento.
2000
0
12
El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luego
se estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas.
13
Interes compuestos
El interés compuesto se calcula mediante la fórmula
r

A (t )  P  1  
n

nt
donde: A(t) = cantidad después de t años
P = principal
r = tasa de interés por año
n = número de veces que el interés se compone por año
t = número de años
14
Ejemplo
Cálculo del interés compuesto
Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12%
anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después de
tres años si el interés se compone anualmente, cada medio año,
por trimestre, mensualmente o diario.
Solución:
Datos
P = 1000
r = 12% = 0.12
t=3
15
Ejemplo
Cálculo del interés compuesto
Capitalización
Anual
Semianual
Trimestral
Mensual
Diaria
n
1
2
4
12
365
Cantidad después de tres años
0 . 12 

1000  1 

1


1( 3 )
0 . 12 

1000  1 

2


2 (3)
0 . 12 

1000  1 

4


4 (3)
0 . 12 

1000  1 

12


12 ( 3 )
 1404 . 93
 1418 . 52
 1425 . 76
0 . 12 

1000  1 

365 

 1430 . 77
365 ( 3 )
 1433 . 24
16
Interés
compuesto en forma continua
• El interés compuesto en forma continua se
calcula mediante la fórmula
A ( t )  Pe
donde
rt
A(t) = cantidad después de t años
P = principal
r = tasa de interés por año
t = número de años
17
Ejemplo
Calcular el interés compuesto de manera continua
• Calcule la cantidad después de tres años si se invierten
$1000 a una tasa de interés de 12% por año,
capitalizado de forma continua.
• Solución:
Datos:
P = 1000
r = 0.12
t=3
A ( t )  Pert
A ( 3 )  1000 e
( 0 . 12 ) 3
 1000 e
0 . 36
 1433 . 33
Se puede comparar con el ejemplo anterior.
18
Funciones Logarítmicas
19
Definición
de la función logarítmica
• Sea a un número positivo con a  1 . La
función logarítmica con base a, denotada por
log
a
, se define
log
x y a  x
y
a
Así, log a x es el exponente al que se debe
elevar la base a para dar x.
20
Comparación
Comparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica
Logarítmica:
Exponencial:
Exponente
log
Base
a
x  y
Exponente
a
y
 x
Base
En ambas formas la base es la misma.
21
Ejemplo
Formas logarítmicas y exponenciales
Forma Logarítmica Forma Exponencial
log
100000  5
10
log
83
2
log
1
2
 3
10  100000
5
2 8
3
2
3

2
log 5 s  r
1
8
5 s
r
22
Evaluación de logarítmos
log
log
log
10
1000  3
10  1000
2
32  5
2  32
10
0 .1   1
3
5
10
1
1

 0 .1
10
log
16
4
1
2
1
2
16  4
23
Propiedad de los logarítmos
Propiedad
log a 1  0
log
log
a
a
a 1
a  x
x
a
log a x
Razón
Se debe elevar a a la potencia 0
para obtener 1.
Se debe elevar a a la potencia 1
para obtener a.
x
a a a la potencia x
Se debe elevar
para obtener
 x
log
a
.
x
es la potencia a la cual se
debe elevar a para obtener x.
© copywriter
24
Ejemplo
Aplicación de las propiedades logarítmicas
log 5 1  0
Propiedad 1
log 5 5  1
Propiedad 2
log 5 5  8
Propiedad 3
 12
Propiedad 4
8
5
log 5 12
25
Ejemplo
Graficación de funciones logarítmicas
Traza la gráfica de f ( x )  log 2 x
Solución:
Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para x
como potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus
logaritmos.
x
log
2
x
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2 1
0
2
2
2
f ( x )  log
2
x
0
1
-1
2
-2
3
-3
26
Familia de Funciones
Logarítmicas
y  log
2
x
y  log
y  log
y  log
3
x
5
x
10
x
27
Logarítmos Comunes
Veamos logarítmos con base 10
Definición:
Logarítmo común
El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se
denota omitiendo la base:
log x  log
10
x
28
De la definición de logarítmo se puede encontrar facílmente que:
log 10 = 1
log 100 = 2
Cómo se calcula log 50?
No tenemos un número tal que 10
demasiado grande.
y
 50 , 1 es pequño y 2 es
1  log 5 50  2
Las calculadoras científicas tienen una tecla equipada que da los
valores de manera directa de los logaritmos comunes.
29
Ejemplo
Evaluación de logarítmos comunes
Use una calculadora para hallar los valores apropiados de
f(x) = log x, use los valores para bosquejar una gráfica.
x
Log x
0.01
-2
4
f ( x )  log x
3
0.1
-1
0.5
-0.30
2
1
0
1
0
4
0.602
5
0.699
10
1
1
2
3
4
5
5
6
30
Propiedades de los logarítmos naturales
Propiedad
ln 1  0
ln e  1
ln e  x
x
e
ln x
 x
Razón
Se tiene que elevar e a la potencia 0
para obtener 1.
Se tiene que elevar e a la potencia 1
para obtener e.
Se tiene que elevar
e a la potencia x
x
para obtener e .
ln x es la potencia a la cual e debe
ser elevada para obtener x.
© copywriter
31
Ejemplo
Elevar la función logaritmo natural
a ) ln e
8
8
Definición de
logarítmo natural
 1 
b ) ln  2   ln e  2   2
e 
c ) ln 5
Definición de
logarítmo natural
 1 . 609
Uso de la
calculadora
© copywriter
32
Funciones Logarítmicas
33
Leyes de los logarítmos
En esta sección se estudian las propiedades de
los logarítmos. Estas propiedades dan a las
funciones logarítmos una amplia variedad de
aplicaciones.
Ya que los logarítmos son exponentes, las
leyes de los exponentes dan lugar a las leyes
de los logarítmos.
34
Leyes de los logarítmos
Leyes de los logarítmos
Sea a un número positivo, con a  1 . Sea A, B y C números
reales cualesquiera con A  0 yB  0 .
Ley
Descripción
1) log a ( AB )  log
 A
2 ) log a    log
B
3 ) log
a
A  log
a
B
El logarítmos de un producto de
números es la suma de los
logarítmos de los números.
a
A  log
a
B
El logarítmo de un cociente de
números es la diferencia de los
logarítmos de los números.
 A   C log
c
a
a
A
El logarítmo de una potencia de
un número es el exponente
multiplicado por el logarítmo de
número.
35
Ejemplo
Uso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
Evalúe cada expresión:
a ) log 4 2  log 4 32
b ) log 2 80  log 2 5
c) 
1
log 8
3
36
Ejemplo
Uso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
a ) log
4
2  log
4
32
 log 4 ( 2 . 32 )
 log
4
64  3
Propiedad utilizada:
1) log a ( AB )  log
a
A  log
a
B
37
Ejemplo
Uso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
b ) log
2
80  log
2
5  log
80
2
5
 log 2 16  4
Propiedad utilizada:
 A
2 ) log a    log
B
a
A  log
a
B
38
Ejemplo
Uso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones
c) 
1
log 8  log 8
3
1
3
 1
1
 log  1 3 

8
3
8

1
3
2
3
1
 
2 
1
 log    log( 1)  log( 2 )
2
  0 . 301
Propiedad utilizada:
3 ) log
 A   C log
c
a
a
A
39
Ejemplo
Expandir expresiones logarítmicas
Use las leyes de logarítmos para expandir o desarrollar cada
expresión.
 log
a ) log 2 ( 6 x )
b ) log
5
x
3
y
6

 log
2
6  log
5
x  log
3
 3 log
 ab 
c ) ln 

3
 c 
x
2
5
y
5
x  6 log
 ln( ab )  ln
3
Ley 1
5
Ley 1
y
1
Ley 3
Ley 2
c
 ln a  ln b  ln c
 ln a  ln b 
3
1 3
ln c
Ley 1
Ley 3
3
40
Ejemplo
Combinar expresiones logarítmicas
Combinar en un solo logarítmo, la siguiente expresión:
a ) 3 log x 
1
log( x  1)  log x
2
b ) 3 ln s 
1
2
3
 log( x  1)
 log( x ( x  1)
3
ln t  4 ln( t  1)  ln s 3  ln t 1
2
 ln( s t
3 1 2
2
1 2
1 2
 ln( t
)  ln( t
2
2
 1)
 1)
4
 s3  t 

 ln 
4
 2

t

1




41
4
Cambio de base
• Sea:
y  log
b
x
• Entonces se forma de manera exponencial:
b  x
y
• Se toma el logarítmo base a en cada lado:
log
b   log
y
a
a
x
• Ley 3 de logarítmo: y log a b  log
a
x
• Se divide entre ambos logarítmos:
log a x
y
log a b
42
Fórmula de cambio de base
y 
log
a
x
log
a
b
Por consiguiente, si x = a, entonces log a a  1 y esta fórmula
se convierte en:
log
b
a 
1
log
a
b
43
Fórmula de cambio de base
Evaluar logarítmos con la fórmula de cambio de base
a ) log 8 5
Se usa la fórmula de cambio de base con b = 8 y a = 10:
log 8 5 
b ) log
9
log
10
5
log
10
8
 0 . 77398
Nota: Se tiene la
misma respuesta si
se usa log
ó ln.
10
20
Se usa la fórmula de cambio de base con b = 9 y a = e:
log
9
20 
ln 20
 1 . 36342
ln 9
44
Ecuaciones Exponenciales y
Logarítmicas
45
Ecuaciones
exponenciales y logarítmicas
• Una ecuación exponencial es aquella en la que
la variable ocurre en el exponente.
• Por ejemplo:
2 7
x
• La variable x representa una dificultad por que esta en el
exponente. Para tomar este caso se toma el logarítmo en
cada lado y luego se usan las reglas de los logarítmos.
Veamos:
46
Ecuaciones
exponenciales y logarítmicas
2 7
x
ln 2  ln 7
x
x ln 2  ln 7
x
ln 7
 2 . 807
ln 2
Recuerde la regla 3
47
Normas para resolver ecuaciones exponenciales
1) Aísle la expresión exponencial en un lado de la
ecuación.
2) Tome el logarítmo de cada lado, luego utilice las leyes
de los logarítmos para “bajar el exponente”.
3) Despeje la variable.
48
Ejemplo
Resolver una ecuación exponencial
Encuentre la solución de:
3
x2
7
Solución:
3
log( 3
x2
x2
7
Si verificas en tu calculadora:
)  log 7
( x  2 ) log 3  log
log
( x  2) 
log
log
x
log
3
(  0 . 228756 )  2
7
7
7
3
7
 2   0 . 228756
3
49
Ejemplo
Resolución de una ecuación exponencial
Resuelva la ecuación:
8e
2x
 20
Solución:
8e
2x
e
2x
Ojo:
El, ln e = 1
 20

Si verificas en tu calculadora:
20
8
ln e
2x
8e
 ln 2 . 5
2 ( 0 . 458 )
 20
2 x  ln 2 . 5
x
ln 2 . 5
 0 . 458
2
50
Ejemplo
Resolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz
la gráfica
Resuelva la ecuación: e
Solución (1):
e

ln e
3 2 x
3 2 x
3 2 x
4
Algebraicamente
4
  ln 4
3  2 x ln e   ln 4
1
3  2 x  ln 4
2 x  3  ln 4
x
1
( 3  ln 4 )  0 . 807
2
51
Ejemplo
Resolver una ecuación exponencial en forma algebraica y haz
la gráfica
Resuelva la ecuación:
e
3 2 x
4
Solución (2):
3 2 x
y

e
Se gráfican las ecuaciones,
y
y4
y4
4
3
2
ye
3 2 x
1
0
1
2
3
4
5
5
6
52
Ejemplo
Una ecuación exponencial de tipo cuadrático
Resuelva la ecuación:
e
2x
e 60
x
Solución:
e
2x
e 60
x
(e )  e  6  0
x
2
x
( e  3 )( e  2 )  0
x
x
e 3 0
x
e 3
x
o
e 20
x
e  2
x
53
Ejemplo
Resolver una ecuación exponencial
Resuelva la ecuación:
3 xe  x e  0
x
2
x
Solución: Primero se factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
3 xe  x e  0
x
2
x
xe ( 3  x )  0
x
Se divide entre
e
x
x (3  x )  0
Las soluciones son:
x  0
3 x  0
x  3
54
Ecuaciones Logarítmicas
Una ecuación logarítmica es aquella en la ocurre un logarítmo de la
variable.
log
2
( x  2)  5
Para despejar x, se escribe la ecuación en forma exponencial.
x2  2
5
 32  2  30
Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cada
la de ecuación.
2
log 2 ( x  2 )
 2
5
x2  2
5
x  32  2  30
Los pasos se resumen a continuación.
55
Normas para resolver ecuaciones
logarítmicas
1) Aísle el término logarítmico en un lado de la
ecuación; podría ser necesario combinar
primero los términos logarítmicos.
2) Escriba la ecuación en forma exponencial
(o eleve la base a cada lado de la
ecuación).
3) Despeje la variable.
56
Ejemplo
Resolver ecuaciones logarítmicas
De cada ecuación despeje x.
a ) ln x  8
ln x  8
xe
x  2981
8
b ) log 2 ( 25  x )  3
25  7  2
25  x  8
3
x  25  8  17
57
Ejemplo
Resolver una ecuacion logarítmica
Resuelva la ecuación:
4  3 log( 2 x )  16
Solución: Se aísla primero el término logarítmico. Esto permite
escribir la ecuación en forma exponencial.
4  3 log( 2 x )  16
3 log( 2 x )  16  4
3 log( 2 x )  12
log( 2 x )  4
4
2 x  10
2 x  10000
x  5000
58
Ejemplo
Resolver una ecuación logarítmica de manera
algebraica y gráfica
Resuelva la ecuación (1): log(
x  2 )  log( x  1)  1
log ( x  2 )( x  1)   1
( x  2 )( x  1)  10
x
x
2
2
 x  2  10
 x  12  0
( x  4 )( x  3 )  0
x   4, x  3
59
Ejemplo
Resolver una ecuación logarítmica de manera
algebraica y gráfica
Resuelva la gráfica (2): log(
x  2 )  log( x  1)  1  0
y  log( x  2 )  log( x  1)  1
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
5
6
60
Ejemplo
Resolver una ecuación de manera gráfica
x  2 ln( x  2 )
2
Resuelva la ecuación:
Solución: Primero se mueven todos los términos a un lado de la
ecuación.
x  2 ln( x  2 )  0
2
Luego se hace la gráfica: y  x  2 ln( x  2 )
2
4
3
2
1
4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
5
6
61
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