Sistemas de
Ecuaciones e
Inecuaciones
TRABAJO PRACTICO Nº 8 SISTEMAS DE
ECUACIONES E INECUACIONES
1) José los días lunes, martes y miércoles, fotocopió varias páginas
en tres fotocopiadoras diferentes. El jueves, pensó cuál de las tres
cobraba el menor precio por unidad y no pudo recordarlo. Después de
mucho pensar, volcó lo que recordaba en tres matrices :
F1
F2
F3
Lunes
15
20
40
Martes
0
25
50
26
40
8
Miércoles
la matriz
precio
Fotocopiadora 1
x
Fotocopiadora 2
Y
Fotocopiadora 3
z
la matriz
 15

A  0

 26
x

X  y

 z





20
25
40
40 

50 

8 
gasto
Lunes
2,80
Martes
2,75
Miércoles
2,56
la matriz
2,80 


B  2, 75 


 2 ,56 
a) Efectúe el producto A  X
b) Con el producto A  X efectuado, componga la ecuación matricial A  X = B
c) Halle los precios unitarios.
2) Resolver en R, si es posible, los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales, aplicando: a). Teorema de Cramer y b) Regla
de Cramer
 x y z  0

a )  2 x  y  2z   2

  2 z  2 x  4  y
b)
 x  5y  4z  w  0

  x  3 y  2 z  w   1
b) 
z  w


 3 x  y  w   5 z  1
 x  y  z  1
3) Dados los sistemas lineales :

a )  2x  y  2z  8
 x  y  z  2t  10
 x z  6



 5 x  3 y  2 z  3
c
)
2
x

y

3
z

3
t


3
3
x

4
y

25




 x  y  3 z  5u  2t  3
 3 x  2 y  4 z  t  7
 4 y  3 z   13
d) 
 2 x  2 y  6 z  10 u  4t  4
a)
Clasificarlos
b) Analizarlos aplicando el Teorema de Rouché Frobenius y,
si es posible, determinar el conjunto solución de cada
uno de ellos.
4) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones homogéneos :
 x  3z   2 y

b )  4 x  5 y  6z  0

 7 x  8 y   9 z
 2x  y  z  0

a ) 3 x  2 y  z  0

 x  y  2 z  0
5) Determinar, si existen los valores de m  R, tales que el sistema
 x y z 1

 x  y  mz   1

 mx  y  z  0
Sea:
a) compatible determinado
b)Incompatible
c) Compatible indeterminado
6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y
20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas
personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de
18 años es mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ?
7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de
ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?.
b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en
a), si es homogéneo ?
c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible
determinado ? ¿Porqué ?
8) Resolver en R2 los
siguientes sistemas
de inecuaciones :
 3x 1  2 x 2  3

d ) 6x 1  4 x 2  8

 7 x 1  14
y  x

a ) x  0

 y  3
b)
y  5  x

y  x  3

 y  1
y  x  x  4

c) 
x
y

2

2
1
2a
4a
2b
4b
3a
5
3b
6
3c
7a
3d
7b
Producto de Matrices
Matriz Inversa
Determinantes
Operaciones elementales por
Gauss - Jordan
Repasemos en el trabajo Práctico Nº 7
Teorema de Rouché Frobenius
1) Para multiplicar A x X, primero consideramos de qué clase es
cada una de las matrices;
la matriz A que tiene 3 filas y 3 columnas es clase 3x3
la matriz X que tiene 3 filas y 1 columna es clase 3x1
A(3x3) x
 15

A  0

 26
X(3x1)
20
25
40
=
40 

50 

8 
B(3x1)
Coinciden el número de columnas
de A con las filas de X
x

X  y

 z





15 x  20 y  40 z

A  X   0 x  25 y  50 z

 26 x  40 y  8 z
x
AxX
y
z





15
20
40
15x + 20y + 40z
0
25
50
0x + 25y + 50z
26
40
8
26x + 40y + 8z
15 x  20 y  40 z

A  X   0 x  25 y  50 z

 26 x  40 y  8 z
2,80 


B  2, 75 


 2 ,56 





Si A  X = B
15 x  20 y  40 z

 0 x  25 y  50 z

 26 x  40 y  8 z
  2,80 
 

   2, 75 
 

  2,56 
A  X es una matriz de 3 filas y 1
columna, igual que B
15 x  20 y  40 z  2,80

 0 x  25 y  50 z  2, 75

 26 x  40 y  8 z  2,56
A  X = B se puede
escribir como un
sistema de 3 ecuaciones
con 3 incógnitas
para hallar los precios unitarios debemos resolver el sistema de
ecuaciones por cualquiera de los métodos conocidos.
Vamos a usar el método de los determinantes
x 
x

y 
y

z 
z

 Es el determinante
principal, conformado por
los coeficientes de las
incógnitas ordenados en
filas y columnas
15 x  20 y  40 z  2,80

 0 x  25 y  50 z  2, 75

 26 x  40 y  8 z  2,56
i son los determinantes que resultan de
reemplazar los coeficientes de la variable i por
la columna de los resultados del sistema en el
determinante 
15
20
40
  0
25
50
26
40
8
2 , 80
20
40
15
2 , 80
40
15
20
2 , 80
 x  2 , 75
25
50
y  0
2 , 75
50
z  0
25
2 , 75
2 , 56
40
8
26
2 , 56
8
26
40
2 , 56
Con todos los valores de  conocidos buscaremos
x 
x

y 
y

z 
z

Resolvemos cada uno de los determinantes
Agregamos las
dos primeras filas
Y sumamos los
productos de
las diagonales
A esto le restamos
la suma del producto de
las contradiagonales
15
20
40
  0
25
50  ( 15  25  8  0  40  40  26  20  50 )  ( 26  25  40  15  40  50  0  20  8 )
26
40
8
15
20
40
0
25
50
 ( 3000  0  26000 )  ( 26000  30000  0 ) 
 29000  56000   27000
Agregamos las
dos primeras filas
Y sumamos los
productos de
las diagonales
A esto le restamos
la suma del producto de
las contradiagonales
2 , 80
20
40
 x  2 , 75
25
50
2 , 56
40
8
2 , 80
20
40
 ( 560  4400  2560 )  ( 2560  5600  440 ) 
2 , 75
25
50
 7520  8600   1080
 ( 2 ,80  25  8  2 , 75  40  40  2 ,56  20  50 )
 ( 2 ,56  25  40  2 ,80  40  50  2 , 75  20  8 ) 
Misma técnica para resolver y y z
15
2 , 80
40
y  0
2 , 75
50  ( 15  2 , 75  8  0  2 ,56  40  26  2 ,80  50 )
26
2 , 56
8
15
2 , 80
40
0
2 , 75
50
 ( 26  2 , 75  40  15  2 ,56  50  0  2 ,80  8 )
 ( 330  0  3640 )  ( 2860  1920  0 ) 
 3970  4780   810
15
20
2 , 80
z  0
25
2 , 75  ( 15  25  2 ,56  0  40  2 ,80  26  20  2 , 75 )
26
40
2 , 56
 ( 26  25  2 ,80  15  40  2 , 75  0  20  2 ,56 )
15
20
2 , 80
 ( 960  0  1430 )  ( 1820  1650  0 ) 
0
25
2 , 75
x 
x


 1080
 27000
 2390  3470   1080
 0 , 04
y 
y


 810
 27000
 0 , 03
La fotocopiadora 1 cobra $ 0,04
La fotocopiadora 2 cobra $ 0,03
La fotocopiadora 3 cobra $ 0,04
z 
z


 1080
 27000
 0 , 04
3a
3b
3c
3d
4a
4b
5
6
7a
7b
Teorema de Rouché Frobenius
En un sistema de m ecuaciones con n incógnitas
Para operaciones
elementales y determinantes
ver TP Nº 7
a 11 x 1  a 12 x 2  ..........  a 1n  1 x n  1  a 1n x n  b1


a 21 x 1  a 22 x 2  ..........  a 2 n  1 x n  1  a 2 n x n  b2

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .........


.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .

 a m  11 x 1  a m  12 x 2  ..........  a m  1n  1 x n  1  a m  1n x n  bm  1

a m 1 x 1  a m 2 x 2  ..........  a mn  1 x n  1  a mn x n  bm

 a 11

 a 12
A   ...

 ...
a
 m1
a 12
.....
a 22
.....
....
.....
....
.....
am 2
.....
a 1n 

a 2n 
.... 

.... 
a mn 
 a 11

 a 12
A ´  ....

 ....
a
 m1
Definimos como matriz de
coeficientes (A), a la
matriz conformada por
todos los coeficientes de
las variables del sistema,
ordenados según el mismo
orden del sistema
a 12
......
a 1n
b1 
a 22
......
a 2n
....
......
....
....
......
....
am 2
......
a mn
Si a la matriz de coeficientes (A) le agregamos la columna
de los resultados de l sistema como última columna, tenemos
la matriz ampliada (A´)

b2 
.... 

.... 
bm 
3a
3b
3c
3d
4a
La matriz A es de clase (m x n)
 a 11

 a 12
A   ...

 ...
a
 m1
a 12
A
4b
a 1n 
a 22
.....
....
.....
....
.....
am 2
.....

a 2n 
.... 

.... 
a mn 
6
7a
7b
La matriz A´ es de clase m x (n+1)
( mxn )
.....
5
 a 11

 a 12
A ´  ....

 ....
a
 m1
A ´( mx
( n  1 ))
a 12
......
a 1n
b1 
a 22
......
a 2n
b2 
....
......
....
....
......
....
am 2
......
a mn

.... 

.... 
bm 
Encontradas las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A´), debemos
hallar el rango de cada una de ellas (por cualquier método apropiado, ver TP7)
r( A )  r( A ´)
El sistema tiene solución
si además
r( A )  r( A ´)  n º de
incógnitas
El sistema es Compatible determinado
admite solución única
r( A )  r( A ´)  n º de
incógnitas
El sistema es Compatible indeterminado
admite infinitas soluciones
r( A )  r( A ´)
El sistema es Incompatible
NO tiene solución
2 a) El teorema de Cramer se aplica en el siguiente razonamiento
Si
X A
1
A X  B
1
A X  A
1
B
I X  A
1
B
de manera que en el sistema de ecuaciones ordenado resulta
B
 x  y z  0


 2x  y  2z   2

  2 z  2 x  4  y
Las
incógnitas
conforman
la matriz
A
x y z  0



 2 x  y  2z   2

  2 x  y  2 z   4
x

X  y


z






donde la matriz de
coeficientes es
y la columna de
términos
independientes
conforma la matriz
 0 


B   2




 4
 1

A  2


 2
1
1
1
Buscamos ahora
la inversa de la
matriz A
Para transformar aplicaremos el método de Gauss Jordan
2 b
1 


2


 2
Conformamos un esquema con la matriz A a la izquierda y una
matriz unidad de igual clase que A al la derecha
Luego de sucesivas operaciones elementales en ambas matrices
cuando tengamos a la izquierda una matriz unidad, a la derecha
habrá quedado la matriz inversa de A A-1
A
I
1
I A-1
1
1
1
0
0
2
1
2
0
1
0
2
1
2
0
0
1
1
0
0
1
1
-3 -4
1
0
1
0
1
2
0
0
-2
1
0
2
0
1
1
0
2 1
1
2 1
1
2 1
1
1
20
1
1
 4
2
 2
20
 2 1
 3
0
1
0
 0
1
2 b
1
 2 1
1
 2 1
1
20
1
20
1
1
 0
2
 0
1
1
3


1
4

3 3 
4

3
1
3

1
3
1
 0
3


1

1
3 3  1  1  1
4
3 12
4

3
I=
1
0
1
0
1
4
0
0
 4
3
3
3
1
2
4
1
3
1
3
3
0
0
0
1
0
1
0
2
0
0
0
1
1
A
1
1
1
4
0
1
4
0
1
3
1
 0


  2

 1

0
3
1
3
0 
4
1
2
3
4
1
4
1
3

4

1 

3 
4
1
1
3

4

3

4

4
0  3


1
4
4
3  2  4  6 
2
4
3 3
3

3
 3
= A-1
4

4

1
1
1
 0
 3 3   
4
3 3
3

3
1
1
4
 0 1 1
3
2 b
1
1  ( 4 )
 1
3
4
3
 
1
1
3
1  ( 2)
3
0
1
1
1
1
0
0
0
3
 4
2
1
0
0
1
0
2
0
1
1
0
1
0
1
4
0
0
4
3
3
3
1
2
4
3
3
3
1
3
1
1
3
3
1 1
3
1
0
1
3
10
0
3
2
0
3

1

0
0
2
 1
1  ( 4 )
3
1  ( 2)
1 1
3
3

 
3
4
3
 2
1
 0
2
3

4
3
1
3
2 b
10
3
1
Conocida A-1 efectuamos el producto
A
1
B  X
0
A
1
B  X
0
1
2
0
1
4
1
2
1
4
1
4
3
1
1
00 
1
2  0  0  ( 2 )  1  ( 4 )  0  0  4   4
2
4
4
1
 4
7
La matriz X es
4
 ( 2)  ( 
10 ( 
2
x

X  y


z






1
4
4
)  ( 4 )  0 
)  ( 2)  ( 
3
4
2
1
)  ( 4 )  0 
1
2
1
2
3
De los resultado obtenidos tenemos que
x  1
2
z  7
y  4
Te propongo que verifiques en la consigna que estos
resultados son correctos.
2
b
2
7
2
2 b) La Regla de Cramer es la aplicación generalizada para n
incógnitas del método de los determinantes
Para resolver ordenamos el sistema
 x  5y  4z  w  0

  x  3y  2z  w   1


 0x  0y  z  w  0

 3 x  y  5 z  w   1
 x  5y  4z  w  0

  x  3y  2z  w   1


z  w


 3 x  y  w   5 z  1
 
y lo clasificamos
Sistema de 4
ecuaciones con
4 incógnitas
conformamos cada uno
de los determinantes
1
5
4
1
0
5
4
1
1
0
4
1
1
3
2
1
1
3
2
1
1
1
2
1
0
1
1
0
0
1
1
1
5
1
3
1
5
1
x 
0
0
1
1
0
3
1
5
1
1
z 
y 
1
5
0
1
1
5
4
0
1
3
1
1
1
3
2
1
0
0
1
0
3
1
5
1
0
0
0
1
3
1
1
1
w 
Y resolvemos cada uno de los determinantes
Aplicando el método del desarrollo por los elementos de una línea
 
Vamos a desarrollar por los elementos de la
tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
1
5
4
1
1
3
2
1
0
0
1
1
3
1
5
1
  ( 1)
31
Elevamos (-1) a la suma del orden fila y columna del
elemento que reemplazamos multiplicamos por el elemento
que reemplzamos (0 en el primer caso) y luego por el
determinante que resulta de suprimir la fila y la columna
que contiene el elemento “elegido”
1
5
4
1
0 3
2
1  ( 1)
1
5
3 4
1   1
3
0 1
3
1
1
( 1)
32
4
1
2
1  ( 1)
5
1
1
33
1   1
3
5
1
3
1 
1
1
5
Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no
4
es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0
3
2  0 0
1
5
1  1  (  4 )  (  1 )  1  28 
   32
Resolvemos x por el desarrollo de los elementos de un línea
x 
0
5
4
1
1
3
2
1
0
0
1
1
1
1
5
1
  ( 1)
31
Vamos a desarrollar por los elementos de la
tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que
no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0
5
4
1
0 3
2
1  ( 1)
1
5
3 4
32
1
0
( 1)
0
1   1
1
0 1
1
4
1
2
1  ( 1)
5
0
33
1   1
1
5
4
3
2  0  0  1  1  (  4 )  (  1 )  1  19 
1
5
 x   23
1
5
1
3
1 
1
1
Resolvemos y por el desarrollo de los elementos de un línea
y 
Vamos a desarrollar por los elementos de la
tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
1
0
4
1
1
1
2
1
0
0
1
1
3
1
5
1
0
  ( 1)
31
0 1
1
Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que
no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0
4
1
2
1  ( 1)
5
3 4
32
0 1
1
1
( 1)
1
1   1
3
3
0
1
1
4
1
2
1  ( 1)
5
1
33
1   1
1
4
2 
5
0  0  1  1  ( 1)  ( 1)  1  1 
y  1
1
0
1
1
1
1 
1
Resolvemos z por el desarrollo de los elementos de un línea
z 
Vamos a desarrollar por los elementos de la
tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
1
5
0
1
1
3
1
1
0
0
0
1
3
1
1
1
5
  ( 1)
31
Los tres primeros términos son factores por 0, por lo que
no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0
0
0 3
1
1  ( 1)
1
1
1
3 4
32
1
1
( 1)
1
1   1
3
0 1
3
5
3
1
0
1
1
1
1  ( 1)
1
0
 1  0  0  0  ( 1)  1  ( 6 ) 
1
z  6
1
33
0 1
3
5
1
3
1 
1
1
Resolvemos z por el desarrollo de los elementos de un línea
w 
Vamos a desarrollar por los elementos de la
tercera fila (porque tendrá dos factores nulos)
1
5
4
0
1
3
2
1
0
0
1
0
3
1
5
1
  ( 1)
31
5
4
0 3
2
1
5
Los dos primeros términos y el último son factores por 0,
por lo que no es necesario operar, sabemos que esos
resultados son 0
0
3 4
( 1)
1 
32
1
1
( 1)
1
1   1
3
0 1
3
5
4
3
2 
1
5
4
2
0
 1  ( 1)
5
1
33
1
0  0  ( 1)  1  ( 6 )  0 
z  6
1   1
3
5
3
1
0
1 
1
x 
z 
x

z



 23
 32
6
 32

23
32
 
6
32
y 
w 
y

w



1
 32
6
 32
 

1
32
6
32
Verificamos los resultados
 x  5y  4z  w  0

  x  3y  2z  w   1


 0x  0y  z  w  0

 3 x  y  5 z  w   1
1
6
6
 23
 5 ( 
)  4 ( 
) 
 0
 32
32
32
32

23
1
6
6



3

(

)

2
(

)

 1

32
32
32
32


 0  ( 23 )  0  (  1 )  (  6 )  6  0

32
32
32
32

23
1
6
6

3
( 
)  5 ( 
) 
1

32
32
32
32
3 a) Para resolver
sistema de tres ecuaciones con
tres incógnitas
1
1
1
1
2
1
2
8
5
3
2
3
1
3
4
10
2
3
8
1
0
0
0
1
0
1
4
0
0
1
1
3
3
3
7
1
3
1
3
 10
4
para aplicar las operaciones
elementales, conformamos
primero la matriz de coeficientes
y le agregamos la columna de resultados
para conformar la matriz ampliada
1
1
 x  y  z  1


 2 x  y  2z  8

 5 x  3 y  2 z  3
3
3
2 1
 3
1
5 1
1
3
8
 1
 2  ( 4 )
3
 2  10
3
3 b
2
 2
1  ( 4 )
3
2

4
3
 

8
3 c
2 1
1
5 1
 3
1
1
1
3
3
20
3
 4

8
 
3
4
3
3 d
1
3
8
3
1  10
3
2  ( 1)
1
5  ( 1)
1
 1
10
3
 10
8

7
3
1
0
1
0
1
4
0
0
1
3
3
3
7
3
 10
4
4
3
3  4
1

3
3
1
0
0
1
0
1
0
2
0
0
1
4
7
3

El rango de la matriz
coeficientes es 3
r( A )  r( A´)
r( A )  r( A´)  nº
x 1


10
1
4

3 3  7  4  3 1
1
3
3
3

3
4

4
10
16
6
 3 3  


2
1
3
3
3
3

3
Y el rango de la matriz ampliada también es 3
el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices
incógnitas
y 2
Sistema compatible determinado
z  4
(admite un solo conjunto solución)
Te sugerimos que verifiques estos resultados . . .
3 b
3 c
3 d
 x z  6


 3 x  4 y  25

 4 y  3 z   13
3 b) Para resolver
sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas
1
escribimos el sistema completo y ordenado
1
0
1
6
3
4
0
25
0
4
3
 13
1
0
1
4
3
7
0
4
3
 13
1
3
0
0
0
Y le agregamos la columna de resultados
para conformar la matriz ampliada
4
4
4
7
4
 20
30
1
00
6
1
0
Para aplicar las operaciones
elementales, conformamos
primero la matriz de coeficientes
6
0
0
 x  0y  z  6


 3 x  4 y  0 z  25

 0 x  4 y  3 z   13
1
3
1
 4
 4
0  ( 3)
1
4  ( 3)
4
0
3
3 1
1
0 1
1
 3
 3
6
0 7
25 
36
 13 
 6
1
4 7
 13 
  20
4
1
 0
3 c
3 d
1
0 6
1
 7
  13
1
0
1
0
1
3
0
0
0
6
4
7
4
 20
El próximo pivote debe
elegirse en la 3º fila 3º
columna, pero ese elemento
es 0 (no puede ser pivote)
Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron
r( A )  2
Y quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente
independientes (a menos uno de sus elementos es distinto de 0)
r( A´)  3
pero en la matriz ampliada hay tres filas linealmente independientes
(al menos uno de sus elementos es distinto de 0)
r( A )  r( A´)
Sistema incompatible
Este sistema no tiene solución
3 c
3 d
3 c) Para resolver
sistema de tres ecuaciones
con cuatro incógnitas
1
1
1
2
10
2
1
3
3
3
3
2
4
1
7
2
10
1
1
1
0
1
1
7
 23
0
1
1
7
 23
 x  y  z  2t  10


 2 x  y  3 z  3t   3

 3 x  2 y  4 z  t  7
Para aplicar las operaciones
elementales, conformamos
primero la matriz de coeficientes
Y le agregamos la columna de resultados
para conformar la matriz ampliada
1
2  ( 1)
1
3
2
2 2
1
 7
3  ( 1)
1
1
32
1
1
3
1
2  10
1
4
1
 7
2 1
3
7 
3 d
3 1
1
3  10
1
1
  23
1
  23
1
1
1
2
10
0
1
1
7
 23
0
1
1
7
 23
1
0
5
 13
2
0
1
1
7
0
0
0
0
 23
0
1
 1 1
2
10 
1
2
 1  ( 7 )
 5
1
 1  (  23 )
7 
1
1  ( 7 )
1
  13
 0
1
 23 
1 1
1
 0
1  (  23 )
1
 0
El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra ó
Significa que las operaciones
ta
4 columna, pero esos elementos son 0
elementales posibles concluyeron
(no pueden ser pivote)
r( A )  2
quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas
linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0)
r( A´)  2
y en la matriz ampliada también hay dos filas linealmente
independientes (sus elementos son distintos de 0)
3 d
Si
r( A )  2
r( A´)  2
r( A )  r( A´)
r( A )  r( A´)  nº
pero
Sistema compatible
Sistema compatible
indeterminado
de incógnitas
Este sistema admite infinitas soluciones
1
0
2
5
0
1
1
7
0
0
0
0
 x  2 z  5t   13

 y  z  7t   23
 13
Para resolver el sistema “recomponemos” un sistema de
ecuaciones con las matrices coeficiente y ampliadas
halladas
0
confeccionamos una
tabla de valores para
x


13

2
z

5
t
despejamos x
encontrar diferentes
soluciones,
y   23  z  7t
despejamos y
asignándole valores a
z y t, encontramos
x e y
x
y
z
t
 23
S1
-13
-23
0
0
S2
-10
-17
1
1
S3
-8
-16
0
1
3 d
3 d) Para resolver
 x  y  3 z  5 u  2t  3

 2 x  2 y  6 z  10 u  4t  4
sistema de tres
Para aplicar las operaciones elementales,
ecuaciones con cuatro
conformamos primero la matriz de coeficientes
incógnitas
y la matriz ampliada
1
1
2
2
1
0
1
0
3
5
6
 10
3
5
0
0
2
4
2
0
3
4
3
2
Significa que las operaciones
elementales posibles concluyeron
r( A )  1
r( A´)  2
2
 10 
2  ( 1)
1
2  ( 5 )
1
 0
 0
6
4
2 3
1
2 2
1
 0
 0
4
2 3
1
 2
El próximo pivote debe elegirse en la 2da
fila 2da, 3ra, 4ta ó 5ta columna, pero esos
elementos son 0 (no pueden ser pivote)
Y queda evidenciada en la matriz de coeficientes una fila linealmente
independiente (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)
pero en la matriz ampliada hay dos filas linealmente independientes (al
menos uno de sus elementos es distinto de 0)
r( A )  r( A´)
Sistema incompatible
Este sistema no tiene solución
4 a) Para resolver un sistema homogéneo,
trabajamos como si fuera un sistema normal
Solo nos queda analizar si
admite soluciones diferentes
de la trivial (todas las
variables igual a cero)
Sabiendo que el sistema
homogéneo será siempre
compatible
 2x  y  z  0


3 x  2 y  z  0

 x  y  2 z  0
sistema de tres
ecuaciones con tres
incógnitas
Analizaremos en este caso la matriz coeficiente y la ampliada solamente para
visualizar mejor el rango de ellas
2
1
1
0
3
2
1
0
1
1
2
0
0
1
1
0
0
5
1
0
1
1
2
0
1
2
2  ( 1)
1
3  ( 1)
1
1
5
1
1
2 1
1
32
1
 1
0
 1
0
4 b
20
1
30
1
 0
 0
0
1
1
0
0
5
1
0
1
1
2
0
0
1
1
0
0
0
4
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
2
5  ( 1)
1
( 1)  ( 1)
1
0
( 1)  0
4
0
 4
50
0
1
( 1)  0
1
0
 0
 0
1
10
4
 0
 0
El rango de la matriz de coeficientes es 3
r( A )  3
r( A )  nº
Por ser el sistema homogéneo no
nos interesa analizar la matriz
ampliada (r(A) = r(A´) siempre)
de incógnitas
Este sistema homogéneo admite solamente solución trivial
x y z 0
4 b
 x  3z   2 y


 4 x  5 y  6z  0

 7 x  8 y   9 z
4 b) Para resolver un sistema homogéneo,
trabajamos como si fuera un sistema normal
ordenamos el sistema
1
2
3
0
4
5
6
0
7
8
9
0
1
2
3
0
0
3
 6
0
0
 6
 12
0
1
0
1
0
0
1
2
0
0
0
0
0
5
8
3
 x  2 y  3z  0


 4 x  5 y  6z  0

 7 x  8 y  9 z  0
4 2
1
7 2
1
2  ( 6)
3
 12 
 3
6
 6
9
3
1
7 3
1
0
 1
( 6)  ( 6)
4 3
 6
0
  12
0
20
12

 12 
36
3
1
7 0
1
0
 0
3
40
 0
El próximo pivote debe elegirse en la 3ra
fila 3ra columna, pero esos elementos son 0
(no pueden ser pivote)
 0
 0
 60
3
 0
las operaciones
elementales
posibles
concluyeron
1
0
1
0
0
1
2
0
0
0
0
0
El rango de la matriz de coeficientes es 2
r( A )  2
por ser el sistema homogéneo no
nos interesa analizar la matriz
ampliada (r(A) = r(A´) siempre)
r( A )  nº
de incógnitas
Este sistema homogéneo admite soluciones diferentes de la trivial
Este sistema admite infinitas soluciones
x z  0




 y  2z  0
Recomponemos el sistema de ecuaciones,
proponiendo un sistema de ecuaciones
equivalente del “nuevo” sistema podemos despejar x en función de z e y en función de z
Y confeccionamos una tabla de valores para encontrar diferentes
soluciones; asignándole valores a z , encontramos x e y
x
y
z
S1
1
-2
1
S2
-1
2
-1
S3
0
0
0
x  z
y   2z
5) Para determinar, si existen los valores de m  R, tales que el
sistema sea : a) compatible determinado, b)Incompatible y c)
Compatible indeterminado
 x y z 1
Efectuamos

1
1
1
transformaciones
 x  y  mz   1
elementales por

1
m
1
Gauss-Jordan
 mx  y  z  0
1
1
m
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
m 1
1m 1m
0
1m
1
0
0
1
0
1
2
m
1
1m
2m
m
1m
1 1
1
1
1
 0
m 
1m
1
1
m 1
1
(1  m )  1
1m
0
1
1
(1  m )  ( m  1 )
2
 m  (m  1)
(1  m )
1
m 1
 0
(1  m )
1 1
 m 1
1
1m
0
 m 1
1m

1m m
1m
1 1
m 1
1

m  (1  m )
(1  m )
 m
1
1m
1m
 2 
 2
1
 2  m
Transcribimos el resultado de la última transformación
1
0
0
0
1m
0
0
1
1
1
Podemos apreciar claramente que:
1m
2m
m
Si m = 1, el elemento de la 2º fila, 2º columna de
la matriz de coeficientes es 0, con ese elemento
se hace 0 toda la 2º fila de la matriz de
coeficientes
1m
Pero m = 1 no hace cero el elemento de la 4º columna (matriz ampliada) y 2º fila
Por lo que si m = 1
r( A )  r( A ´)
Para cualquier otro valor de m
Sistema incompatible
r( A )  r( A ´)  n º de
incógnitas
Sistema compatible determinado
6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de
18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5.
¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad
de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de
las de 19 y 20 años ?
Tengo tres informaciones que relacionan los datos conocidos
Si la cantidad de
estudiantes que 1) Hay 32 estudiantes cuyas edades son 18, 19 y 20 años
tiene
x  y  z  32
multiplicamos cada una de las
edades por la cantidad de
18 años es x 2) El promedio de sus edades es 18,5.
estudiantes que tienen esas
edades y sumamos los productos
19 años es y
18 x  19 y  20 z
 18 , 5
y dividimos por el total de estudiantes para
32
hallar el promedio de las edades
20 años es z
3) la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado
de las de 19 y 20 años
Con las tres ecuaciones planteadas,
puedo conformar un sistema de tres
x y z 6
ecuaciones con tres incógnitas
que ordenado queda :
x  y  z  32


 18 x  19 y  20 z
 18 , 5

32


x  y z 6
x  y  z  32



18 x  19 y  20 z  592


x y z 6
1
1
1
32
18
19
20
592
1
1
1
6
1
0
0
1
1
2
1
32
2
2
1
16
0
1
2
16
2
0
0
19
0
1
0
10
0
6
1
2
3
1
16 
18  1
1
1
6
1
0
1
20 
 26
0
0
18  1
19 
16
1
0
x  y  z  32



18 x  19 y  20 z  592


x y z 6
16
2
 19
1 1
1
1
2
 2
1  32
1
 1
 2 2
1
16 
1
1 1
1
18  32
1
 16
 2
  26
1
12
592 
32 
2
26
2
 10
 26 
1  16
1
 16
 2  16
1
 6
Las matrices coeficientes y ampliada equivalentes luego
de las transformaciones elementales resultan:
1
0
0
19
0
1
0
10
0
0
1
3
r( A )  r( A´)
r( A )  r( A´)  nº
El rango de la matriz de coeficientes es 3
r( A´)  3
r( A )  3
El rango de la matriz ampliada también es 3
el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices
incógnitas
Sistema compatible determinado
(admite un solo conjunto solución)
Resolvemos el sistema de ecuaciones, recomponiendo un sistema equivalente con la matriz
de coeficientes y ampliada encontradas luego de las transformaciones elementales
 x  0 y  0 z  19


 0 x  y  0 z  10

 0 x  0 y  z  3
x  19
y  10
z 3
Te sugerimos que
verifiques estos
resultados . . .
7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de
ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?.
b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en
a), si es homogéneo ?
c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible
determinado ? ¿Porqué ?
Al analizar los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz amplidas de
cualquier sistema, en principio, pueden suceder dos cosas :
que sean iguales
r( A )  r( A´)
Si los rangos no son iguales, lo que puede
suceder en un sistema cuyo número de
ecuaciones es menor que el de incógnitas
Si los rangos son iguales, con seguridad, al
ser menor el número de ecuaciones que el
número de incógnitas
que no sean iguales
r( A )  r( A ´)
El sistema es incompatible
no tiene solución
r( A )  r( A ´)  n º de
incógnitas
El sistema es compatible indeterminado
tiene múltiples soluciones
7 b
7 b) Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas y
además es homogéneo
Por ser homogéneo, sabemos que los
rangos no pueden ser diferentes,
luego los rangos son iguales
r( A )  r( A ´)
Por la condición de la consigna, al ser el número de ecuaciones menor que
el número de incógnitas, necesariamente el rango es menor que el número
de incógnitas
r( A )  r( A ´)  n º de
incógnitas
Entonces el sistema es compatible determinado, al ser
homogéneo, admite múltiples soluciones diferentes de la trivial
8 a) Para resolver inecuaciones, en general, las tratamos a cada
inecuación como una ecuación y la representamos gráficamente
Trazamos primero un par de ejes coordenados
Luego analizamos la inecuación y > x como si se tratar de y = x
y  x

x  0
y  3

Pero con trazos punteados
porque no están incluidos los
valores de y = x entre los que
buscamos sino los de y > x
sombreamos el semiplano que verifica
y>x
luego graficamos la región que verifica
x>0
Se aprecian cuatro regiones con diferentes
sombras:
El sombreado verde representa la primera
inecuación
El sombreado claro representa la segunda
inecuación
Se verifican ambas
condiciones donde hay
sombreado doble
No se verifican ninguna de las condiciones
donde no hay sombreado
8 b
8 c
8 d
Finalmente representamos la tercera inecuación y < 3
Queda determinada una región con triple sombreado, y es
precisamente esa la zona del conjunto solución del sistema
Tengamos presente que esta es una
región “abierta” porque las líneas que
delimitan la región no están incluidas en
el conjunto solución
Por ejemplo el punto (1; 2) es una solución del sistema
y  x


x  0

 y  3
2  1


1  0

 2  3
6  2


2  0

 6  3
Pero (2 ; 6) no es solución porque verifica solo dos
de las condiciones pero no la tercera
Te queda para practicar proponer la ubicación
de los puntos que verifiquen dos de las
inecuaciones ó solo una ó ninguna
como también encontrar otros
puntos que verifiquen el
sistema de inecuaciones
8 b
8 c
8 d
8 b) Para resolver inecuaciones, en general, las tratamos a cada
inecuación como una ecuación y la representamos gráficamente
Trazamos primero un par de ejes coordenados
Luego analizamos la inecuación y < 5 - x como si se tratara de
y=5-x
con trazos punteados
y  5  x
porque no están incluidos


los valores de y = 5 - x
y  x  3
entre los que buscamos

sino los de y < 5 - x
 y  1
sombreamos el semiplano que verifica y < 5 - x
luego graficamos la región que verifica y  x + 3
Se aprecian cuatro regiones con diferentes
sombras:
El sombreado verde representa la primera
inecuación
El sombreado marrón representa la
segunda inecuación
Se verifican ambas
condiciones donde hay
sombreado doble
No se verifican ninguna de las condiciones
donde no hay sombreado
8 c
8 d
Finalmente representamos la tercera inecuación y  1
Queda determinada una región con triple sombreado, y es
precisamente esa la zona del conjunto solución del sistema
esta es una región “abierta” en la línea
verde pero “cerrada” en las otras dos
Por ejemplo el punto (1; 3) es una solución del sistema
y  5  x


y  x  3

 y  1
3  5  1


3  1  3

 3  1
6  5  2


6  2  3

 6  1
Pero (2 ; 6) no es solución porque verifica solo la
tercera condición pero no las otras dos
Te queda para practicar proponer la ubicación
de los puntos que verifiquen dos de las
inecuaciones ó solo una ó ninguna
como también encontrar otros
puntos que verifiquen el
sistema de inecuaciones
8 c
8 d
8 c) tenemos un sistema formado por una inecuación y una
ecuación
que ordenada queda
y  x  x  4


x
y

2

2
y  2x  4


x
y

2

2
Trazamos primero un par de ejes
coordenados
Luego analizamos la inecuación y  2x - 4 como
si se tratara de
y = 2x - 4
sombreamos todo el semiplano que verifica la
condición y  2x - 4
Representamos gráficamente
y 
x
2
2
Las soluciones de este sistema deben verificar
ambas condiciones:
Pertenecer al semiplano sombreado
Pertenecer a la recta
Verifican ambas condiciones los puntos de la recta que
están en la región del semiplano
Por ejemplo el punto (6, 5)
8 d
8 d) tenemos un sistema formado por dos ecuaciones y
una inecuación
que ordenada queda
 3x 1  2 x 2  3


6x 1  4 x 2  8

 7 x 1  14
3
3

x2   x1 

2
2

3
x2   x1  2
2

x1  7


Trazamos primero un par de ejes coordenados
Representamos gráficamente
x2  
Representamos gráficamente
x2  
3
2
3
2
x1 
3
2
x1  2
Luego analizamos la inecuación x1  7 como si
se tratara de
x1 = 7
sombreamos todo el semiplano que verifica la
condición x1  7
Las soluciones de este sistema deben verificar
las tres condiciones
Pero las rectas paralelas no tienen puntos en común,
luego este sistema NO TIENE SOLUCION
Yo creo bastante en la suerte. He constatado que
cuanto más trabajo, mas suerte tengo.
Thomas Jefferson
Lograremos
cosas
importantes
Algún día en cualquier parte, en cualquier lugar
indefectiblemente te encontrarás a ti mismo, y esa, sólo
esa, puede ser la más feliz ó la mas amarga de tus horas.
Pablo Neruda
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trabajo Práctico Nº 7