Sistemas de Ecuaciones
2º Bachillerato
• Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir
de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)
Definición
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:
m
ecuaciones
 a11 x1  a12 x 2  a13 x 3 

 a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x 3 


a x  a x  a x 
m2 2
m3 3
 m1 1
 a1 n x n  b1
 a 2 n x n  b2
términos
independientes
 a m n x n  bm
n incógnitas
incógnitas
Coeficientes del sistema
Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales
 a11 x1  a12 x 2  a13 x 3 

a x  a 22 x 2  a 23 x 3 
El sistema  21 1

a x  a x  a x 
m3 3
m2 2
 m1 1
 a11

 a21
a
 31
 ..

 a m1
a12
a13
a22
a23
a32
a33
..
..
am 2
am 3
a1n  x1 
 
...... a2 n  x2 
...... a3 n  x3 
..
..    =
 
...... a mn  xn 
......
 a1 n x n  b1
 a 2 n x n  b2
puede ser escrito de la siguiente manera:
 a m n x n  bm
 b1 
 
 b2 
b 
 3

 
 bm 
A: matriz de los
coeficientes
X: matriz de las
incognitas
B: matriz de los términos
independientes
Expresión
matricial del
sistema
 a11 a12 a13

 a21 a22 a23
a
 31 a32 a33
*
A =  ..
..
..

 am1 am2 am3
AX=B
...... a1n
...... a2n
...... a3n
..
..
...... amn
Matriz ampliada
b1 

b2 
b3 
.. 

bm 
Expresión matricial: ejemplo



2x + 5y – 3z = 1
El sistema
x – 4y + z = –2
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A
Tiene la siguiente matriz
ampliada: A*


=

2 5 –3 
1 –4 1 




2 5 –3 1 
= 1 –4 1 –2 

 x  
2 5 –3 
  1
y
Tiene la siguiente expresión matricial:
 =  – 2
1 –4 1 
 z 












Solución de un sistema de ecuaciones
Una solución del sistema:
 a11 x1  a12 x 2  a13 x 3 

 a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x 3 


a x  a x  a x 
m2 2
m3 3
 m1 1
 a1 n x n  b1
 a 2 n x n  b2
 a m n x n  bm
es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn) tales
que se verifican todas las ecuaciones:
 a 11 s1  a 12 s 2  a 13 s 3    a 1 n s n  b1

 a 21 s1  a 22 s 2  a 23 s 3    a 2 n s n  b 2

             
a s  a s  a s    a s  b
m2 2
m3 3
mn n
m
 m1 1
Solución de un sistema de ecuaciones: ejemplo
x y z 1


Consideramos el sistema:  x  2 y  z  2
 2x  3y
3

• Los valores
x  3

 y   1 son una solución del sistema por que:
z 1

 x  3

• Los valores  y  3 son una solución del sistema por que:
 z  1


3  (1)  1  1

3  2  (1)  (1)  2
 2  3  3  (1)  3

 3  3  (1)  1


  3  2  3  (1)  2
2  (3)  3  (3)  3

Clasificación de un sistema según el número de soluciones
Incompatible
Sin solución
Sistemas de
ecuaciones lineales
Determinado
Compatible
Con solución
Solución
única
Indeterminado
Infinitas
soluciones
• Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece.
Sistemas equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las
mismas soluciones.
Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:
I. Multiplicar o dividir ambos miembros de una
ecuación por un número distinto de cero.
II. Sumar a una ecuación del sistema otra ecuación del
mismo.
III. Eliminar una ecuación que es combinación lineal de
otras dos.
Sistemas equivalentes: ejemplo
2 x  y  2 z  3

3 x  y  z  1
2 x  2 y  4 z  4

E
E
E
2
3
3

 E
 E
2 x  y  2 z  3

3 x  y  z  1
x  y  2z  2

1
2
2
3
E
3
 3E
 2E
1
1
x  y  2z  2

 2 y  5 z  5
 y  2 z  1

E
E
3
Sistemas equivalentes
3
 E
 2E
3
x  y  2z  2

3 x  y  z  1
2 x  y  2 z  3

1
 E
2
x  y  2z  2

 2 y  5 z  5
 z  3

Sistemas de ecuaciones escalonados
Un sistema de ecuaciones es escalonado cuando verifica que, reordenadas sus
ecuaciones de forma conveniente, la matriz de los coeficientes es escalonada.
Ejemplos:
2 x  3 y  4

 3y  5

2 x  3 y  5 z  4

3y  2z  2

4 x  2 y  3z  5

4 y  2z  3


3z  2

 2x  3z  4

z 4

x  y  z  1

Resolución de sistemas de ecuaciones
Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene
ninguna.
Métodos de resolución:
1. Método de Gauss.
2. Método de Cramer.
3. Método de la matriz inversa.
Resolución de un sistema escalonado: ejemplo
Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles:
x  y  2z  9

  3 y  8 z   14

2 z  5

z  
x 952  6
5
2
y
 14  20
3
 2
Resolución de sistemas: método de Gauss
El método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en obtener
de un sistema:
a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1 ;

a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2 ;
 a x  a x  a x b ,
 31 1 32 2
33 3
3
un sistema equivalente y escalonado, mediante transformaciones adecuadas.
Se pueden dar los siguientes pasos:
I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.
II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para
eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.
III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii).
IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.
Método de Gauss: posibilidades
En el método de Gauss, una vez obtenida la matriz se pueden dar las siguientes
posibilidades:
x  y  2z  9

 3 y  8 z  14

05

• Si alguna de las filas está formada por todos
ceros menos el término independiente.
Incompatible
• Si no es incompatible, se considera el número
de filas e incógnitas que quedan:
x  y  2z  9

 3 y  8 z  14

2z  5

x  y  2 z 9
3 y  8 z 14
nº de ecuaciones = nº de incógnitas
compatible determinado
3x  y  2 z  1
nº de ecuaciones < nº de incógnitas
compatible indeterminado
Método de Gauss: sistema compatible determinado
x  y  2z  9

2 x  y  4 z  4
2 x  y  6 z  1


x  y  2z  9

  3 y  8 z   14
  3 y  10 z   19

(1ª ec) (–2) + 2ª ec
(1ª ec) (–2) + 3ª ec
Se despejan incógnitas
hacia arriba


x  y  2z  9

  3 y  8 z   14

2 z  5

(2ª ec) (–1) + 3ª ec
x 925 6
20  14
y
 2
3
5
z
2

Método de Gauss: sistema incompatible
x  y  2z  9

2 x  y  4 z  4
2 x  y  4 z  1

x  y  2z  9

  3 y  8 z   14
  3 y  8 z   19

(1ª ec) (–2) + 2ª ec
(1ª ec) (–2) + 3ª ec


(2ª ec) (–1) + 3ª ec
x  y  2z  9

  3 y  8 z   14

0 z  5

La última ecuación no tiene solución y por lo tanto el sistema es incompatible.
Método de Gauss: sistema compatible indeterminado
x  y  2z  9
x  y  2z  9


2
x

y

4
z

4

  3 y  8 z   14
4 x  2 y  8 z  8

0  0


(1ª ec) (–2) + 2ª ec
(1ª ec) (–2) + 3ª ec


x  y  2z  9

  3 y  8 z   14
Se despejan incógnitas hacia arriba, después de hacer z = t


x


 y




 9  2t 

 8 t  14
zt
3
 8 t  14
3

13 2

x

 t

3
3

14 8

 t
y 
3
3

z  t



Regla de Cramer: sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas
a11 x1  a12 x2  b1
El sistema 
al ser resuelto por reducción se llega a:


a
x
a
x
b
 21 1
22 2
2
x1 
b1a22  a12b2
a11a22  a12a21
x2 
a11b2  b1a21
a11a22  a12a21
b1 a12
b a22
Esta solución puede ser expresada de la siguiente forma: x1  2
; x2 
a11 a12
a21 a22
a11 b1
a21 b2
a11 a12
a21 a22
Se observa que:
• El denominador de las soluciones es el determinante de la matriz de los coeficientes.
• Cada numerador es el determinante de la matriz obtenida al sustituir la correspondiente
columna de coeficientes por la los de términos independientes.
Regla de Cramer: sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas
Si | A |  0, el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas A · x = B tiene solución única
dada por:
x1 =
b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
;
x2 =
a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
;
x3=
a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Esta regla es válida para cualquier sistema de igual número de ecuaciones que de
incógnitas y se llama regla de Cramer.
Regla de Cramer (demostración)
Sea S un sistema de Cramer (por definición es sistema compatible determinado).
La solución se obtiene como un cociente entre el determinante de la incógnita
correspondiente (el que se obtiene sustituyendo la columna de dicha incógnita por
los términos independientes) y el determinante de la matriz de coeficientes.
si 
det( C 1 , C 2 ,... B ,... C n )
1 i  n
det( C 1 , C 2 ,... C i ,... C n )
D./ Como el sistema es compatible,  (s1,s2,....sn) que es solución del sistema, es
decir
B= s1C1+s2C2+....+snCn
det(C1,C2,.....B,....Cn) = det(C1,C2,........, s1C1+s2C2+....+snCn,.........Cn) =
det(C1,C2,...., s1C1....Cn) + det(C1,C2,..., s2C2,....Cn) +......+ det(C1,C2,....., snCn,....Cn)
Todos los determinantes, excepto el que tiene todas las columnas distintas
son cero por tener dos columnas proporcionales. Luego
= det(C1,C2,....., siCi,,....Cn) = si det(C1,C2,....., Ci,....Cn) y despejando si se obtiene lo
que queríamos.
Resolución de sistemas: método de la matriz
inversa
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
El sistema a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 tiene la siguiente expresión matricial:
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
 a11 a12 a13   x1   b1 
 a21 a22 a23   x2  =  b2 
 a31 a32 a33   x3   b3 
A
.
X
= B
Si | A |  0 la matriz A es inversible.
Multiplicamos por la izquierda a ambos miembros por A-1.
A-1 . A . X = A-1 . B
I
.
X = A-1 . B
X = A-1 . B
Y esta última igualdad nos resuelve el sistema.
Compatibilidad de sistemas. Teorema de Rouché
Dado el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
 a11 x1  a12 x 2  a13 x 3  ...  a1n x n  b1

 a 21 x1  a 22 x 2  a 23 x 3  ...  a 2 n x n  b2
 a 31 x1  a 32 x 2  a 33 x 3  ...  a 3n x n  b3


a m1 x1  a m 2 x 2  a m3 x 3  ...  a mn x n  bm
siendo A y A* la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada:
 a11 a12

 a21 a22
A   a31 a32
 ... ...

 am1 am 2
a13
a23
a33
...
am 3
...
...
...
...
...
a1n 

a2 n 
a3n 
... 

amn 
 a11 a12

 a21 a22
A*   a31 a32
 ... ...

 am1 am 2
a13
a23
a33
...
am 3
...
...
...
...
...
a1n
a2 n
a3n
...
amn
b1 

b2 
b3 
... 

bm 
Enunciado: Un sistema de m ecuaciones con n incognitas, es compatible si y
sólo si, los rangos de las dos matrices son iguales.
rg(A) = rg (A*)
Teorema de Rouché: demostración
•
Escribimos el sistema en forma vectorial (con las columnas)
C1x1+ C2x2+.........+Cnxn= B
[Sistema S]
Demostración
Cond. necesaria) Si S es compatible, existe al menos una solución (s1,s2,s3,....sn)tal que
C1s1+ C2s2+.........+Cnsn= B
Por tanto B es combinación lineal de las columnas C1,C2,....Cn y el rango de la matriz
ampliada con esa columna B no varía. Luego rg(A) = rg(A*)
Cond. suficiente) Si rg (A ) = rg (A+) una fila o columna es combinación lineal de las
demás. Sólo puede ser B porque el resto son iguales que las de A, luego:
C1s1+ C2s2+.........+Cnsn= B
Lo que quiere decir que los coeficientes (s1,s2,s3,....sn) son una solución del sistema por
lo que el sistema es compatible.
Consecuencias: El rango indica el nº de ecuaciones linealmente independientes.
SI el nº de incógnitas es mayor que el rango, el sistema tiene infinitas soluciones. Para
resolverlo se eligen r ecuaciones independientes y se pasan al segundo miembro las
n – r últimas incógnitas, obteniéndose un sistema de r ecuaciones y r incógnitas que
ya se puede resolver y que dependerá de n-r parámetros (grados de libertad)
Discusión de un sistema mediante el
Teorema de Rouché
Sea un sistema de m ecuaciones con n incógnitas.
• Sea A la matriz de los coeficientes y sea p su rango.
• Sea A* la matriz ampliada y sea q su rango.
Incompatible
pq
Sin solución
Sistemas de
ecuaciones lineales
Determinado
Compatible
Con solución
p=q
p=q=n
Solución
única
Indeterminado
Infinitas
soluciones
p=q<n
Discusión y resolución de un sistema dependiente
de un parámetro
• En ocasiones, alguno de los coeficientes o términos independientes pueden tomar
cualquier valor: es un parámetro de sistema de forma que al darle valores obtenemos
sistemas de ecuaciones diferentes.
• Discutir el sistema según los valores de dicho parámetro es averiguar según sus
valores cuándo el sistema es compatible o incompatible, y en caso de compatibilidad si
es determinado o indeterminado.
Los siguientes pasos pueden ser útiles para discutir un sistema:
Hallar los valores del parámetro que
anulan al determinante de la matriz de
los coeficientes
Para dichos valores estudiar la
naturaleza del sistema
Para los valores que hacen que el
determinante de la matriz de los
coeficientes no sea nulo, estudiar la
naturaleza del sistema
Sistema dependiente de parámetro: ejemplo
 x  my  3 z  2

x  y  2z  3
 mx  y  z  5

Consideramos el sistema de
ecuaciones lineales:
Las matriz de coeficientes y la matriz ampliada asociadas al sistema son:
1

A1
m

m
1
1
3 

 2
1 
1

A*   1
m

m
3
1
2
1
1
2

3
5 
A   1  3  2 m  3m  2  m   2 m  2 m  4
2
2
A  0  2m  2m  4  0  m  1 m  2
2
..... continuación .....
Sistema dependiente de parámetro (continuación) :
ejemplo
CASO II. Cuando m = 2:Las matrices son
CASO I. Cuando m = −1: Las matrices son
 1

A 1
1

1
1
1
3 

 2
1 
 1

A*   1
1

1
3
1
2
1
1
2

3
5 
1

A  1
2

1

A*   1
2

3 

 2
1 
2
1
1
El sistema es incompatible
 x  2 y  2  3t
z  t, 
 x  y  3  2t
CASO III. Cuando m   1, 2
rg(A) = rg(A*) = 3 = número de incógnitas
x
2
m
3
3
1
2
5
1
1

A
Compatible determinado
Su única solución se puede obtener
mediante la regla de Cramer:
y

y
m
2
1
3
2
1
1
3
m
5
1
m
1
5
A
 2m  2m  4
1
1  5t
, x
8t
3
2
1
z
1
 2m  2m  4
3
2
2
 13 m  26
2

1
2

3
5 
3
1
 13 m  26
3
Compatible indeterminado
rg(A) = 2 =rg(A*)
rg(A) = 2
rg(A*) = 3
2
A
3m  3m  6
2

 2m  2m  4
2

3
2
Sistemas homogéneos
Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes
son 0.
a11 x1  a12 x2    a1n xn  0

a21 x1  a22 x2    a2 n xn  0

K
K K K
 K
a x  a x    a x  0
m1 1
m2 2
mn n
Compatibles
x1  x 2    x n  0
es siempre solución del sistema
Los sistemas homogéneos pueden tener, pues, una o infinitas soluciones:
Si el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo,el sistema es compatible
determinado y tiene como única solución la solución trivial.
Si el determinante de la matriz de los coeficientes es nulo, el sistema es compatible
indeterminado. Entre sus infinitas soluciones se encuentra la solución trivial.
Interpretación geométrica de una ecuación lineal
con dos incógnitas
Los puntos (x, y) que verifican la ecuación lineal a1x + a2y = b forman una recta; se
dice que a1x + a2y = b es la ecuación de una recta en el plano.
Interpretación geométrica de un sistema
con dos incógnitas
Las dos rectas sólo tienen un punto en común: el sistema es
compatible determinado.
Las dos rectas no tienen puntos en común: el sistema es
incompatible.
Las dos rectas tienen infinitos puntos en común: el sistema
es compatible indeterminado.
Para resolver un problema mediante un sistema
de ecuaciones
1. Se identifican las incógnitas.
2. Se expresa el enunciado del problema mediante sistemas de
ecuaciones.
3. Se resuelve el sistema.
4. Se comprueba que las soluciones del sistema tienen sentido con
respecto al enunciado del problema.
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sistemas de ecuaciones