23 Cálculo Diferencial e Integral de Una
Variable.
Extremos de una función.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Habilidades
1. Explica con sus palabras los conceptos básicos de
la optimización.
2. Explica con sus palabras el significado y el
alcance del teorema de Fermat y el método del
intervalo cerrado para hallar extremos absolutos.
3. Determina los números críticos de una función.
4. Halla los extremos absolutos de una función
continua en un intervalo cerrado.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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Ejemplo 1:
Ubique los puntos de máximo y mínimo absoluto
de f :
y
E
H
B
G
F
C
x
A
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Integral de Una Variable
D
3
Valores máximos y mínimos absolutos
Definición
Sea D el dominio de f.
Se dice que f tiene un punto de máximo absoluto
en cD, si f(c)≥f(x) para todo x en D.
El número f(c) se llama valor máximo absoluto
de f en D y c es el valor de xD donde se alcanza el
máximo absoluto.
Luego el par ordenado (c;f(c)) se llama punto de
máximo absoluto.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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Valores máximos y mínimos absolutos
Definición
Sea D el dominio de f.
Se dice que f tiene un punto de mínimo absoluto
en cD, si f(c)≤f(x) para todo x en D.
El número f(c) se llama valor mínimo absoluto de
f en D y c es el valor de xD donde se alcanza el
mínimo absoluto.
Luego el par ordenado (c;f(c)) se llama punto de
mínimo absoluto.
Los valores máximos y mínimos se conocen como
valores extremos de f.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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Ejemplo 2:
Ubique los puntos de máximo y mínimo local de f :
y
a
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
b
c
d h
k
x
6
Valores máximos y mínimos locales
Definición
Sea D el dominio de f.
Se dice que f tiene un punto de máximo relativo o
local en cD, si f(c)≥f(x) para todo x en algún
intervalo abierto dentro del dominio de f que
contiene a c.
Se dice que f tiene un punto de mínimo relativo o
local en cD, si f(c)≤f(x) para todo x en algún
intervalo abierto dentro del dominio de f que
contiene a c.
Los valores máximos y mínimos locales se conocen
como valores extremos locales de f.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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Ejemplo 3:
¿Tiene f extremos
absolutos?
locales?,
¿tiene
extremos
y
f (x) 
1
x
x  0
x
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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Teorema del valor extremo
Teorema
Si f es continua en [a, b] entonces:
f alcanza un máximo absoluto f(c) y un mínimo
absoluto f(d) en algunos números c y d de [a,
b].
¿Se dan las condiciones para que se cumpla el teorema?
y
a
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
y
bx
a
y
bx
a
bx
9
Teorema de Fermat
Teorema
Si f tiene un extremo local en c y si f ’ (c) existe
entonces: f ' ( c )  0
y
y  f(x)
c1
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
c2 c3
x
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Puntos críticos
Definición
Un número crítico de una función f es un
número c en su dominio tal que:
f ( c )  0
o
f ( c ) no existe
Si c es número (o valor) crítico de f entonces
(c;f(c)) se llama punto crítico.
Teorema
Si f tiene un extremo local en c entonces c es
un número crítico de f.
Cálculo Diferencial e
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Ejemplo 4:
Dada la gráfica de una función f, señale (si lo hay)
los puntos críticos.
y
a
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
c1
c2 c3 c4
c5
c6
c7
x
12
Ejemplo 5:
Encuentre los números críticos de la función:
f (x)  x
3 /5
(4  x )
Pág. 274
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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Extremos absolutos
Método del intervalo cerrado
Para hallar los extremos absolutos de una
función f continua en [a, b]:
1
Encuentre los valores de f
números críticos de f en ]a, b[.
2
Encuentre f(a) y f(b).
3
El mayor de los valores obtenidos en 1 y
2 es el máximo absoluto de f en [a, b].
El más pequeño es el mínimo absoluto.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
en
los
14
Ejemplo 6:
Encuentre los valores máximo
absolutos de las funciones:
3
 3x
2
1.
f (x)  x
1, 
2.
f ( x )  x  2 sen x , 0  x  2 
1
2
y
mínimo
 x  4
Pág. 275
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
15
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Sexta edición
James Stewart
Ejercicios 4.1 – Pág. 277.
Ejercicios: 14, 28, 30, 34, 40, 48, 54, 56, 58,
60, 62, 70 y 73.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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