Aplicación de la Derivada
Extremos locales.
Teorema del valor medio
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Habilidades
1. Define el concepto de extremos locales
2. Define el Teorema del valor extremo. Ilustra su
significado geométricamente.
3. Define e interpreta el Teorema de Fermat.
4. Define el teorema de Rolle y generaliza al
teorema del valor medio.
5. Calcula puntos críticos analizando premisas.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
2
Ejemplo
Ubique los puntos de máximo y mínimo absoluto
de f :
y
E
H
B
G
F
C
x
A
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
D
3
Valores máximos y mínimos
Definición
Sea D el dominio de f.
Se dice que cD es un punto de máximo
absoluto de f si f (c )  f ( x ) para todo xD.
El número f(c) se llama valor máximo absoluto
de f en D.
Se dice que cD es un punto de mínimo
absoluto de f si f (c )  f ( x ) para todo xD.
El número f(c) se llama valor mínimo absoluto
de f en D.
Los valores máximo y mínimo se conocen
genéricamente como valores extremos
Cálculo
Diferencial e
absolutos
de f.
Integral de Una Variable
4
Ejemplo
Ubique los puntos de máximo y mínimo local de f :
y
a
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
b
c
d h
k
x
5
Valores máximos y mínimos locales
Definición
Se dice que c es un punto de máximo relativo
o local de f si
f (c )  f ( x )
para todo x en algún intervalo abierto dentro del
dominio de f que contiene a c.
Se dice que c es un punto de mínimo relativo
o local de f si
f (c )  f ( x )
para todo x en algún intervalo abierto dentro del
dominio de f que contiene a c.
Los valores máximo y mínimo locales se
conocen genéricamente como valores
Cálculo
Diferencial e
extremos
locales de f.
Integral de Una Variable
6
Ejemplo
y
máximo absoluto
puntos de mínimo local
a
c1
d1
c2
d2 c3 d3 c4
b
x
puntos de máximo absoluto
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
7
Ejemplo
¿Tiene f extremos locales?, ¿tiene extremos
absolutos?
y
f (x) 
1
x
x  0
x
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
8
Teorema del valor extremo
Teorema
Si f es continua en [a, b] entonces:
f alcanza un máximo absoluto f (c) y un
mínimo absoluto f (d) en algunos números c y
d de [a, b].
¿Se dan las condiciones para que se cumpla el
teorema?
y
y
y
a
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
bx
a
bx
a
bx
9
Teorema de Fermat
Teorema
Si f tiene un extremo local en c y si f ’ (c) existe
entonces:
f ' (c )  0
y
y  f(x)
c1
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
c2 c3
x
10
Teorema del valor medio
Teorema
Sea f:
1 Continua en [a, b] .
2 Derivable en (a, b) .
Entonces
Existe c (a, b) tal f ( c ) 
que
m 
f (b )  f ( a)
f (b )  f ( a)
b  a
y
b  a
a c1
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
c2
b
x
11
Teorema de Rolle
Teorema
Sea f : 1 Continua en [a, b] .
2 Derivable en (a, b) .
3 f (a)=f (b) .
Entonces
Existe c (a, b) tal
que
y
a c1
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
c2
f ' (c )  0
b
x
12
Ejemplos
1. Muestre que 5 es un número critico de la
3
función g ( x )  2   x  5  pero g no tiene un
extremo local en 5.
2. Utilizando el resultado del teorema del valor
medio, determine la recta tangente a f,
paralela a la recta secante que une los
extremos del intervalo.
f (x)  x
3
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
 x;
x  0,2 
13
Puntos críticos
Definición
Un punto crítico de una función f es un número c
en su dominio tal que:
f ( c )  0
o
f ( c ) no existe
Teorema
Si f tiene un extremo local en c entonces c
es un punto crítico de f.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
14
Ejemplo
y
a
c1
c2 c3 c4
c5
c6
c7
x
puntos críticos
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
15
Ejemplo
y
a
c1
c2 c3 c4
c5
c6
c7
x
puntos de extremo
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
16
Ejemplo
Encuentre los puntos críticos de la función:
f (x)  x
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
3 /5
(4  x )
17
Extremos absolutos
Método del intervalo cerrado
Para hallar los extremos absolutos de una
función f continua en [a, b]:
1
2
3
Halle los valores de f en los puntos
críticos de f en <a, b>.
Halle f(a) y f(b).
El mayor de los valores obtenidos en 1 y
2 es el máximo absoluto de f en [a, b].
El más pequeño es el mínimo absoluto.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
18
Ejemplo
Encuentre los valores máximo y mínimo
absolutos de la función:
f (x)  x
3
 3x
2
1, 
1
2
 x  4
Valor máximo
absoluto: 17
Se alcanza en x=4
Valor mínimo
absoluto: -3
Se alcanza en x=2
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
19
Ejemplo
Encuentre los valores máximo y mínimo
absolutos de la función:
f ( x )  x  2 sen x , 0  x  2 
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
20
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Cuarta edición
James Stewart
Secciones 4.1 y 4.2
Ejercicios 4.1 pág 284:
4, 6, 8, 12, 16, 23, 24, 26, 30, 51, 53, 60, 63, 73, 80.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
21
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