Antiderivada e Integral definida
Integral
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Habilidades
1. Define la antiderivada de una función.
2. Define la antiderivada más general y su
Interpretación geométrica.
3. Encuentra la antiderivada más general.
5. Define la integral definida.
6. Evalúa una integral definida y la interpreta en
términos de áreas ede regiones.
7. Explica y aplica las propiedades de la integral
definida.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
2
Antiderivada
Definición:
Una función F recibe el nombre de
antiderivada de f en un intervalo I si:
F ( x )  f ( x )
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
para todo x  I
Antiderivada
Notación:
Si F es una antiderivada de f se escribe:
F (x) 
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
 f ( x )dx
Antiderivada
Interpretación geométrica:
Miembros de la familia de antiderivadas de f  x   x 2
x
3
3
x
3
3
x
x
2
3
3
x
-1
3
3
-2
3
3
x
3
x
1
3
3
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
5
Teorema
Si F y G son dos antiderivadas de f en un
intervalo I entonces:
G(x)  F (x)  C
para todo x  I
donde C es una constante.
Conclusión:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo
I entonces, la antiderivada más general de f
en I es:
F (x)  C
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Fórmulas de antiderivadas


n
x dx 
1
x
x
n 1
n 1
C
dx  ln x  C
x
x

e dx  e

cos xdx  sen x  C
 sen xdx
 C
  cos x  C
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
n  1

2
sec
 sec

xdx  tan x  C
x tan xdx  sec x  C
1
1 x
1
1
x
2
2
dx  sen
dx  tan
1
1
x  C
x  C
Linealidad de la antiderivada
 f ( x )  g ( x )dx
 cf ( x )dx
 af ( x )  bg ( x ) dx
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable

 f ( x )dx

 g ( x )dx

 c f ( x )dx


 a f ( x )dx  b g ( x )dx
La integral definida
f: continua en [a, b]
y
n: entero positivo
x 
b  a
n
x0 = a
x0 x 1 x2 x 3
a
x1 = a + Δx
x4 x5
xn
b
Δx
x2 = a + 2Δx
x3 = a + 3Δx
f(xi*
)
xn = a + nΔx = b
xi-1
*
x i 1  x i  x i
n

*
f ( x i )  x Suma de
i 1
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Riemann
*
xi
xi
x
La integral definida
f: continua en [a, b]
y
n: entero positivo
x 
b  a
n
x0 = a
x 0 x 1 x2 x3
x1 = a + Δx
x4 x5
xn
b
a
x2 = a + 2Δx
x3 = a + 3Δx
n
xn = a + nΔx = b
*
x i 1  x i  x i
n

*
f ( x i )  x Suma de
i 1
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Riemann
lim
n 
f
i 1
*
( x i ) x

b
 f ( x )dx
a
Integral
definida de f
en [a, b]
x
La integral definida
Notas:
1
Notación de Leibniz: signo de integral

f(x): integrando
b
 f  x dx
a, b: límites de integración inferior y superior
a
dx: indica la variable de integración
Procedimiento para calcular la integral: integración
b
2
 f  x dx
es un número, no depende de x, es decir:
a
b
 f  x dx
a
Cálculo Diferencial e
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b

 f t dt
a
b

 f u du
a
11
La integral definida
3
Como f es continua, la integral definida siempre existe.
También existe si f tiene un número finito de
discontinuidades removibles o por salto, pero no infinitas.
b
4
Si f es positiva, la integral definida
 f  x dx nos da el área de
a
la región comprendida entre la curva y=f(x) y el eje X, en el
intervalo [a, b].
y
y = f (x)
b
 f  x dx
R
0
Cálculo Diferencial e
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a
x
 A R 
a
b
12
La integral definida
En cambio, si f toma tanto valores positivos como negativos,
dicha integral nos da la diferencia del área de todas las
regiones comprendidas entre la curva y=f(x) y el eje X, las
de arriba menos las de debajo del eje X, en el intervalo
[a, b].
y
y = f (x)
T
R
a
0
b
 f  x dx
S
b
x
 A R   A T   A  S 
a
Cálculo Diferencial e
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13
Propiedades de la integral definida
b
1  cdx
 c (b  a)
c: constante
a
b
2  f ( x ) 
g ( x ) dx 
a
 c
a
 g ( x )dx
a
a
g ( x ) dx 
5  f ( x )dx
b
b
 f ( x )dx
a
b
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable

 f ( x )dx
a
a
 f ( x )dx
b
3  cf ( x )dx
4  f ( x ) 
b
a
b
b
b
c

 f ( x )dx
a

 g ( x )dx
a
b

 f ( x )dx ;
c
 a, b , c
Propiedades de la integral definida
6
Si f ( x ) 
b
0 para a  x  b
entonces  f ( x )dx
 0
a
7 Si f ( x ) 
b
g ( x ) para
a  x  b
entonces  f ( x )dx
a
8
Si
m  f ( x )  M para a  x  b
entonces
b
m ( b  a) 
 f ( x )dx
a
a
9a  f  x dx
b
b
   f  x dx
a
a
9b  f  x dx
a
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
 0
 M ( b  a)
b

 g ( x )dx
a
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Cuarta edición
James Stewart
Secciones 4.10, 5.1 y 5.2
Ejercicios 4.10 pág 356:
11, 12, 18, 35, 60, 62, 65, 66, 68, 70, 76, 77.
Ejercicios 5.2 pág 388:
15-18, 29 - 58, 63 - 65.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
16
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