ELEMENTOS DE SEGUNDO ORDEN
Un ejemplo de este tipo de elemento es un sensor elástico de
fuerza tal como se muestra en la figura:
Resorte
kx
F
Masa
asa
m
x
x=0
Amortiguador
•
•
•
•
El sensor convierte una entrada de fuerza F en una salida de
desplazamiento x.
El sistema está inicialmente en estado de reposo al tiempo t=0-, es decir
velocidad inicial
y la aceleración inicial
.
La fuerza de entrada inicial F(0-) se equilibra por la fuerza del resorte en el
desplazamiento inicial x(0-), es decir:
.
Si la fuerza de entrada se incrementa repentinamente al tiempo t= 0,
entonces el elemento ya no se encuentra en estado estable y su
comportamiento dinámico lo describe la segunda ley de Newton:
fuerza resultante = masa x aceleración
Si se define:
La ecuación diferencial se puede expresar en la forma estándar:
Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación se tiene:
Como:
Así,
Donde: 1/k = sensibilidad K en estado estable
Función transferencia para un elemento de segundo orden
IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO
•
•
Con objeto de identificar la función de transferencia G(s) de un elemento, deben
utilizarse señales estándar de entrada.
Las dos señales estándar de uso común son la onda escalonada y la onda
sinoidal.
Respuesta escalonada de elementos de primer orden
Si un elemento de primer orden esta sujeto a una señal de entrada de escalón
unitario (µ(t) = 1), la transformación de Laplace de la señal de salida es:
Expresando la ecuación en fracciones parciales:
Al utilizar la tabla de la transformada de Laplace en sentido contrario, se tiene:
Respuesta del elemento de primer
orden a un escalón unitario
fo(t)
Para t=τ,
fo(t) = 0.63
Para t=2τ, fo(t) = 0.87
t/τ
1
2
Ejemplo: considere un sensor de temperatura, al inicio, la temperatura del
sensor es igual a la del fluido, o sea, T(0-) = TF(0-) = 25 0C. Si de repente TF se
eleva a 100 0C, entonces esto representa un cambio escalonado ∆ TF,, cuya
altura es de 75 0C.
El cambio correspondiente en la temperatura del sensor es:
Así, al tiempo t = τ, T = 25 + 75x0.63 = 72.3 0C . Y midiendo el tiempo que
tarda T en subir a 72.3 0C, puede obtenerse la constante de tiempo τ del
elemento.
Respuesta escalonada de elementos de segundo orden
Si un elemento de segundo orden, está sujeto a una señal de entrada de escalón
unitario, entonces la transformada de Laplace de la señal de salida del elemento
es:
Al expresar la ecuación en fracciones parciales, se tiene:
Existen tres casos por considerar:
1. Amortiguamiento excesivo o sobreamortiguado ( > 1)
fo(t)
ωnt
Resulta aparente que la forma de la respuesta se asemeja a una de primer orden
pero con un cierto retardo.
2. Amortiguamiento crítico ( = 1)
Al utilizar la transformada inversa de Laplace se tiene:
Respuesta del elemento de
segundo
orden
a
un
amortiguamiento crítico de
escalón unitario
cuya representación gráfica es prácticamente idéntica a la indicada en la
gráfica anterior para  prácticamente 1.
3. Amortiguamiento insuficiente o subamortiguado ( < 1)
fo(t)
ωnt
En la gráfica se observa el comportamiento general, según
cambia el coeficiente de amortiguamiento ( ).
•
Las respuestas subamortiguadas son más rápidas, en
su arranque a tiempo = 0, que todas las otras formas
de respuesta de segundo orden.
•
Aún cuando la respuesta parte rápido y llega pronto a
su valor final, luego sigue creciendo y oscila con una
amplitud que decrece en el tiempo.
•
El comportamiento oscilatorio es tan pronunciado como
pequeño sea el coeficiente de amortiguamiento.
Ejemplo: Considérese la respuesta escalonada de un sensor de fuerza con rigidez
k= 103 Nm-1, masa m= 0.1 kg y constante de amortiguamiento λ= 10 Nsm-1. La
sensibilidad de estado estable K=1/k= 10-3 mN-1, la frecuencia natural ωn= √(k/m) =
100 rad/s y el coeficiente de amortiguamiento  = λ/(2√(km)) = 0.5. Inicialmente, al
tiempo t = 0-, una fuerza constante F(0-) = 10 N causa un desplazamiento sostenido de
10 mm.
Supóngase que al tiempo t = 0 la fuerza se incrementa repentinamente de 10 a 12 N, o
sea hay un cambio escalonado ∆F de 2 N. El cambio resultante ∆x(t) en el
desplazamiento se determina utilizando:
∆x(t) = sensibilidad en estado estable x altura del escalón x respuesta f o(t) de escalón unitario
Respuesta a un escalón unitario para un  = 0.5
fo(t)
1
2
3
4
ωnt
Al final, conforme t se agranda, ∆x tiende a valer 2 mm, esto es , x se coloca en
un nuevo valor estable de 12 mm. La figura anterior muestra que para  = 0.5,
fo(t) tiene un valor máximo
en la cresta de la primera oscilación; así,
∆x(t) tiene un valor máximo de 2.34 mm. La cresta de la primera oscilación
ocurre al tiempo tP, donde ωntP = 1.8; es decir, tP = 36 ms.
EXCEDENTE MÁXIMO:
Con esta ecuación se
puede hallar 
Y luego se puede hallar ωn a partir de la medición de tP , con la siguiente
ecuación:
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