MÉTODOS CUANTITATIVOS Y
SIMULACIÓN
LÍNEAS DE ESPERA
Dr. Salvador García L.
LÍNEAS DE ESPERA

La formación de líneas de espera es un fenómeno
común que ocurre siempre que la demanda por un
servicio excede la capacidad para proveer ese
servicio.

Proveer demasiado servicio involucra costos
excesivos. No proveer suficiente servicio causa
largas líneas de espera.
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2
LÍNEAS DE ESPERA

El tiempo de espera excesivo es costoso.

El objetivo primordial es lograr un balance
económico entre el costo de servicio, y el
costo asociado con la espera de ese servicio.
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3
LÍNEAS DE ESPERA

Los modelos de líneas de espera no resuelven
directamente el problema; sin embargo,
proporcionan información vital para la toma
de decisiones, al predecir varias características
de la línea de espera.
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ESTRUCTURA BÁSICA
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5
ESTRUCTURA BÁSICA
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6
ESTRUCTURA BÁSICA
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7
ESTRUCTURA BÁSICA
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8
MEDIDAS DE DESEMPEÑO DEL SISTEMA

UTILIZACIÓN DEL SERVIDOR  (% DE
TIEMPO QUE ESTÁ OCUPADO)

LONGITUD DE LINEA DE ESPERA Lq

TIEMPO PROMEDIO DE ESPERA Wq
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PARÁMETROS DE ENTRADA

RAZÓN DE LLEGADA DE CLIENTES 

RAZÓN DE SERVICIO 

NÚMERO YARREGLO DE LOS SERVIDORES
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10
EJEMPLOS DE SISTEMAS
SISTEMA
CLIENTES
SERVIDOR
Taller
Camiones
Mecánico
Hospital
Pacientes
Enfermeras
Aeropuerto
Aviones
Pista
Computadora
Programas
CPU
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SÍMBOLOS UTILIZADOS
TIEMPOS
INTERRARRIBOS
M
D
Ek
G
TIEMPO
SERVICIO
M
D
Ek
G
NÚMERO
SERVIDORES
1,2,...
1,2,..
1,2,...
1,2,...
CAPACIDAD
SISTEMA
1,2,...
1,2,...
1,2,...
1,2,...
COMPORTAM
IENTO
ABANDONAR
(BALKING)
RENEGAR
JOCKEY
DISCIPLINA
FILA
FIFO
LIFO
SIRO
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PRI
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NOTACIÓN KENDALL
(arrival process/service process/num. servers/system
capacity/population size)

EJEMPLOS




(M/M/1// ) = (M/M/1)
(M/D/3/5/5)
(G/M/1)
(G/G/3)
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13
SISTEMA (M/M/1)


Proceso de arribo aleatorio con una
distribución Poisson con razón de llegada 
clientes/unidad de tiempo.
Un sólo servidor con razón de servicio  y
tiempo de servicio aleatorio con una
distribución Exponencial con media de 1/.
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14
SISTEMA (M/M/1)


Si un cliente llega y el servidor no está
ocupado, entonces es atendido
inmediatamente. En caso contrario, el cliente
pasa a formar una fila de capacidad infinita.
El flujo de clientes a través del sistema
(fila+servidor) es un proceso estocástico: {Nt:
t0}, Nt =Num. de clientes al tiempo t
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15
SISTEMA (M/M/1)

Probabilidad de tener n clientes en el sistema
en el estado estable (t ):
Pn  lim

t
P { N t  n}
N = num. de clientes en sistema en estado
estable. N es una variable aleatoria con una
función de masa de probabilidad
{ P0 , P1 ,...}
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16
SISTEMA (M/M/1)

El objetivo es derivar una expresión para
Pn

n  0 ,1, 2 ,...
Esta derivación se realiza en dos etapas:


Obtener un sistema de ecuaciones definiendo las
probabilidades
{ P0 , P1 ,...}
Resolver el sistema
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SISTEMA (M/M/1)

DIAGRAMA DE ESTADO

0
1



2
3

CONDICIÓN DE BALANCE: RAZÓN DE
LLEGADA =RAZÓN DE SALIDA
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18
SISTEMA (M/M/1)

Nodo 0:

Nodo 1:
 P1   P0

 
P1    P0

2
λP0  μP2  λP1  μP1 

En general:
 λ
 λ
P 2    P1    P0
μ
μ
n
 
Pn    P0

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SISTEMA (M/M/1)


Intensidad de Tráfico:
Expresión para Po:



Pn  1

n

0
0
 
 
  P0 
 




 P0  1
n
0

P0 

1




;
n
 
1
n
0
1 
,  1
0

P0  1  

Pn  (1   ) 
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n
20
SISTEMA (M/M/1) EJEMPLO

Un operador de un pequeño elevador de grano tiene una sola
plataforma de descarga. Los arribos de camiones durante la
temporada forman un proceso de Poisson con tasa media de
llegadas de 4/hr. Debido a la diferencia de carga de los camiones,
el tiempo que cada camión pasa en la plataforma es aproximado
por una variable aleatoria Exponencial con media de 14 min.
Asumiendo que los sitios de estacionamiento son ilimitados, el
sistema M/M/1 describe la línea de espera que se forma.
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21
SISTEMA (M/M/1) EJEMPLO

Parámetros:
1
  4 cam / hr


1
 
14 min/ cam
 


 14 min/ cam

60 min/ hr
 4 . 2857 cam / hr
14 min/ cam
 0 . 933
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22
SISTEMA (M/M/1) EJEMPLO

Probabilidad de que la plataforma esté vacía:
P0  1  ρ  0 .0667

Porcentaje de tiempo que la plataforma está ocupada:
ρ  0 .933  93 . 3 %

Probabilidad de 3 camiones esperando:
P4  ( ρ ) P0  ( 0 . 933 ) ( 0 .0667 )  0 . 05
4
4
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23
SISTEMA (M/M/1)
MEDIDAS DE EFECTIVIDAD

Número promedio de clientes en sistema:

L  E[N ] 


nP n 
0

L  (1   )   n 
1

n (1   ) 
n
0
n 1


1

 (1   )  

2 
 (1   )  1  
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24
SISTEMA (M/M/1)
MEDIDAS DE EFECTIVIDAD

Número promedio de clientes en fila:

Lq  E [ N ] 


nP n  1 
0
2
n 1
0

L q  (1   ) 

n (1   ) 

1

1

2
 (1   )  

2 
 (1   )  1  
2
n
n 1
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25
SISTEMA (M/M/1)
MEDIDAS DE EFECTIVIDAD

Varianza del Número de clientes en sistema:
Var ( N ) 


(1   )
2
Varianza del Número de clientes en fila:
 (1     )
2
Var ( N q ) 
2
(1   )
Dr. Salvador García L.
2
26
SISTEMA (M/M/1)
MEDIDAS DE EFECTIVIDAD

Tiempo Promedio en el sistema:
W 

L

Var (W ) 
1
(   )
2
Tiempo Promedio en Fila:
Wq 
Lq

Var (W q ) 
Dr. Salvador García L.
2  
2
(   )
2
27
SISTEMA (M/M/1)
EJEMPLO

Para el problema del elevador de grano:

Número Promedio de camiones en el sistema:
L


1 
 14
Var ( N ) 

(1   )
 19 . 8
2
Número Promedio en Fila:
Lq 

2
1 
 (1     )
2
 13 . 1
Var ( N q ) 
Dr. Salvador García L.
2
(1   )
2
 14 . 4
28
SISTEMA (M/M/1)
EJEMPLO

Tiempo promedio en el sistema:
W 

L

 3 . 5 hr
Var (W )  3 . 5 hr
Tiempo Promedio en Fila:
Wq 
Lq

 3 hr 16 m
Var (W q )  3 hr 29 m
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29
SISTEMA (M/M/c)
LÍNEA DE ESPERA MULTICANAL

Sistema con c servidores idénticos, cada uno con
razón de servicio 
 

c
P0 
1
 c  1   /   n   /  c


n!
c!
 0
(  /  ) P0
c
P (L  c) 
L  ( /  ) 
c! (1   )
Lq  L  ( /  )
W 
L

Dr. Salvador García L.
Wq 
 c

 c  

 

P (L  c)
1 
Lq

30
SISTEMA (M/M/c) EJEMPLO

Una máquina copiadora es operada en una oficina. Los trabajos
requeridos varían en calidad y extensión y son modelados por un
proceso Poisson con razón media de servicio de 10/hr. Los
requerimientos de servicio mantienen una razón promedio de
llegadas de 5/hr.

Ocasionalmente se forma una línea de espera, lo que ha
cuestionado el uso de 2 copiadoras. Los datos son los siguientes:
Dr. Salvador García L.
31
SISTEMA (M/M/c) EJEMPLO

Tipo de copiadora
Razón de servicio
Costo/día
Std (actual)
10
5
Más grande
15
10
Si el tiempo de una secretaria es valorado en $3.50/hr, convendría
tener 2 copiadoras como la actual o una sola copiadora grande?
Dr. Salvador García L.
32
SISTEMA (M/M/c)
EJEMPLO


Costo/día = Renta + Costo tiempo perdido.
1 copiadora actual:
 


 5/10  0.5
W 
1
 
 0 . 2 hr
Costo  ( 8 hr / día )(  W sec)($ 3 . 5 / hr  sec)  $ 5  $ 33 / día

1 copiadora grande:
W 
1
 
 0 . 1hr
Costo  ( 8 hr / día )(  W sec)($ 3 . 5 / hr  sec)  $ 10  $ 24 / día
Dr. Salvador García L.
33
SISTEMA (M/M/c)
EJEMPLO

P0 
2 copiadoras como la actual:
1
 c 1   /   n   /  c


n!
c!
 0
 c

 c  

 


1
1  (1 / 2 )  (1 / 2 )(1 / 2 )
2
( 20 /( 20  5 )

P0  0 . 6
(  /  ) P0
c
P (L  c) 
W 
L

c! (1   )

(1/4)(0.6)
 0.1
2(1 - 0.25)
L  ( /  ) 
P (L  c)
1 
 0 . 533
 0 . 107 hr
Dr. Salvador García L.
34
SISTEMA (M/M/c)
EJEMPLO

Costo/día de 2 copiadoras como la actual:
Costo  ( 8 hr / día )(  W sec)($ 3 . 5 / hr  sec)  ( 2 )($ 5 )  $ 24 . 98 / día

1 copiadora grande es ligeramente una mejor opción.
Dr. Salvador García L.
35
SISTEMA (M/M/1/N)
CAPACIDAD FINITA

Sistema con 1 servidor y capacidad finita.
 


  n (1   )

N 1
1


Pn  
1

 N  1
  (1  N  N  1  ( N  1)  N )

N 1
(
1


)( 1   )
L 
N


2
Dr. Salvador García L.
 1
 1
 1
L q   eW q
 1
36
SISTEMA (M/M/1/N)
CAPACIDAD FINITA

La intensidad de tráfico puede ser igual a 1 sin que la
fila llegue a infinito, ya que la capacidad es sólo N.
W 
L
Wq  W 
e
 e   (1  PN )
Dr. Salvador García L.
e 
e

1

 1  P0
37
SISTEMA (M/M/1/N)
CAPACIDAD FINITA

Una sala de belleza es atendida por una sola persona
y tiene un total de 10 asientos. Los tiempos entre
llegadas están exponencialmente distribuidos y un
promedio de 20 clientes potenciales por hora arriban
a la sala. Aquellos clientes que encuentran la sala
llena, no entran. La persona que atiende la sala tarda
en promedio 12 min para cortar el pelo del cliente.
Los tiempos están exponencialmente distribuidos.
Dr. Salvador García L.
38
SISTEMA (M/M/1/N)
CAPACIDAD FINITA

En promedio, cuántos cortes de pelo se completan en
una hora?
N  10 ,
  20 ,
  5 / hr ,
 


4
P0 
1 
1 
N 1

1 4
1 4
11

P10  4 P0  0 . 75
10

 e   (1  PN )  5 / hr
Dr. Salvador García L.
39
SISTEMA (M/M/1/N)
CAPACIDAD FINITA

En promedio, cuánto tiempo pasa en la sala de
belleza un cliente que entra?
4[1  11 ( 4 )  10 ( 4 )]
10
L
(1  4 )( 1  4 )
11
11
 9.67

W 
L
λe
 1 . 93 hr
Dr. Salvador García L.
40
SISTEMA (M/G/1)

Considere un sistema con llegadas de acuerdo a una
distribución de Poisson con parámetro . El tiempo
de servicio puede tener cualquier distribución de
probabilidad con media y varianza conocidas.
 


L  Lq  
 
2
P0  1  
Wq 
Lq 
Lq

Dr. Salvador García L.
2
2
2 (1   )
W  Wq 
1

41
SISTEMA (M/G/1)
EJEMPLO

Máquinas de un proceso de manufactura se
descomponen aleatoriamente requiriendo servicio
mecánico. Se asume que las fallas ocurren de
acuerdo a una distribución Poisson con razón de
1.5/hr. Observaciones a lo largo de varios meses
muestran que los tiempos de reparación por parte de
un mecánico, tienen una media de 30 min con una
desviación std de 20 min.
Dr. Salvador García L.
42
SISTEMA (M/G/1)
EJEMPLO

Calcular el número promedio de máquinas en
reparación.
 



1.5
 
2
 0.75
Lq 
2
2
2 (1   )
2
 1 . 625
L  L q    2 . 375 maq
Dr. Salvador García L.
43
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