INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA TABASCO
MAESTRA:
M.C. ZINATH JAVIER GERONIMO
MATERIA :
INESTIGACION DE OPERACIONES
INTEGRANTE:
HIPOLITO SOSA MARTINEZ
En la vida diaria es frecuente enfrentar
situaciones en las que el cliente debe
esperar para recibir un servicio o una
mercancía
Como pagar la cuenta en
un supermercado la espera
en la gasolinera para recibir
el combustible etc.
Introducción
Ejemplos
Las empresas lideres
en el ámbito de los
servicios que son el
sector
que
ha
proliferado de manera
notable
en
este
comienzo del tercer
milenio ,han prestado
gran atención alas filas
de esperas
MODELOS DE LÍNEAS DE
ESPERAS
Cualquier empresa que desee que
desee tener éxito deberá vigilar
atentamente este aspecto .
Estos casos suceden debido a
que un negocio no puede tener
una capacidad ilimitada para
atender al total de sus clientes
La teoría de líneas de espera , ala que también se le conoce teoría de colas
Con el ingeniero danés A.K.Erlang quien trabajaba en
una compañía telefónica en que comenzó a estudiar
la espera de los clientes que solicitaban una llamada
para ser atendidos .
Inicio al
principio
del siglo xx
Por esta misma razón los bancos y
otras instituciones han colocado tv u
otros medios para que el cliente
pueda distraerse.
Es parte misma
de un buen
servicio, y en el
caso de la
espera la
ansiedad que
pueda
experimentar el
cliente es
sinónimo de un
mal servicio.
MODELOS DE LÍNEAS DE
ESPERAS
En fin, todo aquellos que contribuya
a que el cliente se sienta mejor
A si mismo los
hoteles han puesto
juntos a sus
elevadores espejos
en los que el cliente
puede observar
mientras espera que
el elevador este
disponible para
transportarlo.
TERMINOLOGIA
Capacidades del sistema
Patrón de llegada
Frecuencia de llegada de
los clientas el negocio, de
finido por el tiempo que
transcurre entre la llegada
de un cliente y el sig. .
Este patrón de llegada
puede ser determinístico
o probabilístico, siendo
mas frecuente en la vida
real.
Términos para la mejor
compresión del texto (Davis y
Mckeown, 1986
Patrón de servicio
Es el tiempo de
servicio , es decir, el
tiempo que ocupa un
servidor para atender
un cliente este patrón
puede ser determinista
o probabilísticos
,siendo este el mas
actual.
Disciplina de la línea de
espera
Orden en que se atiende
a los clientes la mayoría
de veces el orden
manejado es el 1r0 en
llegar , 1ro en ser
atendido, ya que es el
mas justo y sinónimo de
un buen servicio ala
vez.
Es el numero de máximo de
clientas que pueden estar
en el negocio, ya se en la
línea de espera o siendo
atendidos .
Estado del sistemas
Numero de clientes que hay
en el negocio en un
momento dado cualquier , ya
se en espera o siendo
atendido
Característica de las líneas de espera
Longitud de la línea de
espera
Numero de clientes que
hay en línea de espera
Abandono
Es cuando en cliente
que esta en ala línea de
espera sale de ella y
deja el
establecimiento
Rechazo
Situación que se
presenta cuando
un cliente que llega
al negocio no entra
Las líneas de espera suelen
caracterizarse bajo el sistema de
notación de Kendall.
V/W/X/Y/Z (13.1)
Donde:
V= Patrón de llegada de los clientes.
W= Patron de servicio.
X=Numero de servicio.
Y=Capacidad del sistema.
Z=Disciplina de la línea de espera.
TERMINOLOGIA
Características de una línea de espera respecto
de los patrones de llegada y servicio
Literal
significado
D Determinista
M Distribución
probabilística markoviana
Ek Distribución de Erlang
G general
Donde la determinista se
aplica para aquellos casos en
que se conoce con toda
precisión el tiempo de
llegada de los clientes o el
tiempo de servicio
La distribución
markoviana
llamada así por
en honor al
matemático ruso
andrei Markov
En cuanto al numero de
servidores, que es el
tercer parámetro en la
notación de Kendall, solo
se especifica por un
numero que corresponde
al de servicio del sistema
El sig. parámetro es la
capacidad del sistema,
que en la mayoría de
las ocasiones es
infinita
El ultimo parámetro se
refiere ala disciplina dela
línea de espera
DISTRIDUCION DE PROBABILIDAD DE
POISSON
La forma de estas distribuciones es la
sig.(Kaufmann,1970):
Donde:
 ; λ = (−λ)
P(n: A)= probabilidad de que haya
sucesos de una muestra cuyo
promedio es A
n= numero de sucesos
A= Numero promedio de sucesos de
la muestra
λ

!
(13.2)
Si los sucesos son las llegada de los
clientes a un negocio, cuando el promedio
de llegadas λ es de 10 por hora, entonces
la probabilidad de que lleguen cuatro
clientes por hora será conforme a la
formula 13.2
 4; 10 =  −10 104 /4! = (4.54  10−5 )(104 )/24 =
0.0189
Figura 13.2 grafica de la distribución e probabilidad de poisson para λ = 2
DISTRIDUCION DE PROBABILIDAD
DE POISSON
Esta distribución de
probabilidad es discreta
y una representación
grafica de la misma se
muestra en la figura 13.2
c)
Para casos A=2 estas
distribución es muy
utilizada para
representar llegadas
aleatorias de clientes a
un sistema de línea de
espera .
Supone 4 situaciones:
a) Las llegada de los clientes son independiente entre so
b) Las llegadas son independientes del estado del sistema
Las llegadas son sucesos sin memoria, es decir, no depende de eventos
anteriores
d) Las llegada solo dependen del lapso de tiempo una y otra
DISTRIDUCION DE PROBABILIDAD DE EXPPNENCIAL
NEGATIVA
Se utilizan cuando los tiempos de servicios son aleatorios para
una línea de espera cuyas llegadas se representan por una
distribución de poisson
La distribución exponencial
negativo es al igual que la anterior
para eventos sin memoria. A
diferencia de la distribución de
poisson, la exponencial negativa es
continua, siendo su ecuación la
sig.
f(t)=µ Exp ( -µt)
Valor de la
función
exponencial
negativa
f(t)=
(13.3)
t
Tiempo de servicio
µ
Esta relación entre
llegada se representa por
una distribución de
probabilidad hace
llamarles distribuciones
duales ( hillier y
Lieberman, 1991)
Tasa de servicio
(inversión del
tiempo promedio
de servicio).
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE EXPPNENCIAL
NEGATIVA
si esta ecuación se integra entre los limites de tiempo de cero a T, se observa la
probabilidad de que el servicio sea dado en lapso de tiempo menor o igual a T ,
que viene dada por la sig. Expresión.
  ≤  = 1 −  −
(13.4)
Por tanto, la probabilidad de que el servicio se brinde en un tiempo mayor que T
será el complemento de esta ultima probabilidad. Es decir:
  >  = 1 − p t ≤  = (−)
(13.5)
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE EXPPNENCIAL
NEGATIVA
EJEMPLO
Por ejemplo, para el caso de una tasa de servicio de ocho clientes por hora, la
probabilidad de que el tiempo de servicio sea mayor de 6 min, es decir, 0.10h, será
conforme a la ecuación 13.5
  > 0.10 =  − 8 0.10
= 0.4493
Que
Que en
en la
la gran
gran mayoría
mayoría de
de las
las
ocasiones
es
muy
difícil
de
ser
ocasiones es muy difícil de ser
cuantificado
cuantificado
Que
Que puede
puede ser
ser fácilmente
fácilmente
obtenido
por
el
departamento
obtenido por el departamento
contable
contable del
del negocio
negocio
Costo de la espera
Costo del servicio
El
El costo
costo de
de cualquier
cualquier sistema
sistema de
de líneas
líneas de
de espera
espera se
se
compone
compone de
de dos
dos partes
partes
COSTO DE UN SISTEMA DE
LINEAS DE ESPERA
La representación grafica de estos costos se muestra
en la figura donde puede apreciarse que el costo de
espera disminuye al aumentar la tasa de servicio,
mientras que el costo del servicio aumenta de modo
lineal (Gallagher y Watson, 1992).
Que son el D/D/1, D/D/S, M/M/S,M/G/1,
Y EL M/D/1.
En esta sección se representan algunos de los
modelos mas usuales de líneas de espera
Modelo D/D/1
En este modelo
tanto el patrón
de llegadas como
el de servicio se
conocen
exactamente y
hay solo un
servidor.
Este tipo de situación se
representa en raras
ocasiones, como en el de
revisiones medicas,
departamentos de
inspecciones de la calidad
en las empresas y otros
(Ackoff y Sasienni, 1979)
MODELOS DE LINEAS DE
ESPERA
Modelo D/D/S
Es muy parecido
al anterior con la
variante de que
ahora hay varios
servidores ,cada
uno de los cuales
da el servicio a
los clientes .
Modelo M/M/S
Este modelo es
igual al anterior
excepto en el
tercer parámetro,
ya que ahora se
tendrá S.
Modelo M/M/S
Modelo D/D/1
FORMULA
 =

=0 

=0 
las formula descriptiva de las
características del sistema son mas
complicadas que las del modelo anterior el
factor de utilización del sistema , vendrá
dada por :
(13.6)
 = Numero promedio de clientes en
espera
Xi = Numero individual de clientes en
espera
Ti = Tiempo que hubo Xi clientes en
espera
n = Numero máximo de clientes en
espera
Por su parte el numero
promedio de clientes en
el sistema L vendrá dado
por:
L= +  (13.21)
Por su parte la probabilidad
de que el sistema este vacío
0 será;
La probabilidad de que
el sistema este
ocupado, Ps0, ocurrirá
cuando elnumero de
clientes en el sistema
n, sea mayor o igual
que s, y se puede
obtener con la sig.
formula
El numero promedio
de clientes en la línea
de espera  , será;
la probabilidad de
que un cliente pase
un tiempo que t en
el sistema será:
λ
=
0 =
 =

(13.17)
1
()
() 

=0 ! + !(1−)
()
1

!
1− 0
(13.18)
(13.19)
1
 = 1 −  0 (13.20)
 = 0 [−! 1 −  ]
(13.22)
Y la probabilidad de que el cliente pase un tiempo igual o
mayor que t en el sistema será
 = (−)[ 1 +  ]
[1−[− −1− ]
−1−
(13.23)
ELEMPLO M/M/S
Un banco cuenta con 3 cajas en servicio, atendidas cada una de ellas por un servidor. Cada caja tiene su propia
línea de espera, pero un ingeniero que es amigo del gerente del banco le ha sugerido que seria mejor si hubiese una
sola línea de espera, en la que se formasen todas los clientes que van al banco, para de allí ser atendidos luego por
alguno de los 3 cajeros, quienes atenderán a la línea de espera. Si la tasa promedio de llegada de los clientes en
días normales es de 36 por hora y la tasa media de servicio de cada servicio es de 15 clientes por hora, lo que hace
un tiempo promedio del servicio de 4 min por clientes, ¿será razonable lo que el ingeniero propone al gerente?
Solución: como el banco funciona hoy puede considerarse como tres sistemas idénticos de la líneas de espera del
tipo M/M/1 en paralelo, con λ = 36/3=12 clientes/h en cada fila. Entonces las características de cada uno de estos
sistemas se calcula con las ecuaciones 13.7 a 13.14 para obtener:
λ 12
=
= 0.80
 15
0 = 1 −  = 0.20

0.80
L=
=
=
1−
0.20
4    
=
 =  −  = 4 − 0.80 = 3.20   
=

λ
=
4
= 0.333 ℎ = 20 
14
 =
 3.20
=
= 0.267 ℎ = 16 
λ
12
=
0 =
3
=0
λ
12
=
= 0.80
 (3)(15)
1

3
3 [ 3 0.8 ] + [ 3 0.80 ] (0.80)
=0
!
3!(1−0.8)
Donde la sumatoria será;
(2.4) (2.4)0 (2.4)1 (2.4)2 (2.4)3
=
+
+
+
= 1 + 2.4 + 2.88 + 2.304 = 8.584
!
0!
1!
2!
3!
Con lo cual Po será;
1
0 =
= 0.05618
8.584 + 9.216
Entonces Ps0 es:
(2.4)3
1
0 =
0.05618 = 0.6472
3! 1 − 0.80
Por su parte, los restante parámetros son :
1
 =
0.6472 =   
1 − 0.8
L=3.236+2.4 clientes en el sistema
 3.236
 =
=
= 0.0899 ℎ = 5.39 
λ
36
 45.636
= =
= 0.1566 ℎ = 9.39 
λ
36
Por su parte , L será :
L=Lq +p=1.60+0.80=2.40 clientes
 1.60
 =
=
= 0.40ℎ = 24 
λ
4
Mientras el tiempo
 2.40
= =
= 0.6 ℎ = 36 
λ
4
LINEÁS DE ESPERA DE COSTO MINIMO
Cuando en un sistema de líneas
de espera se conoce el costo de
la espera, es posible minimizar
el costo total, que estará
integrando por el costo de la
espera mas el del servicio a los
clientes.
Buscando con esto
optimizar las operaciones
de la empresa, o sea,
encontrar la tas optima de
servicio para la cual se
minimiza el costo del
sistema(Davis y Mckeown.
1986).
Estos casos suceden en realidad
en los sistemas de carga de
mercancía, como puede ser el
caso de barcos, aviones ,
contenedores, etc. ya que el costo
que representa el que este tipo
de transformación se incluyen
clausulas de cobro tarifarios por
la demora de la carga
La compañía de naranjas de rio verde produce naranjas de alta calidad mediante un proceso de
maduración, Lavado y pintada de la fruta, para luego enviarla a diferentes partes del país. El servicio de
transporte de la fruta lo tiene contratado con flotes potosinos. Los servicios que hacen son aleatorias, por
lo que se considera se programan envíos de naranja bajo una función poissoniana de probabilidad con
una media de tres camiones por día. La empresa solo tiene estación de carga, que la lleva a cabo
estibadores que son empleados de la propia compañía, quienes ganan $ 150 por turno de 8h y cada uno
tarda en cargar un camión 6h. El tiempo de carga de los camiones se considera que sigue una
distribución normal con madia de 6h y desviación estándar de 1h. El contrato con la compañía
transportista señala que la empresa debe pagar a esta por la demora en la carga $800 diario por cada
camión.
¿Cuántos estibadores deben utilizar la empresa si trabaja un solo turno diariamente, a fin de
minimizar su costo total de pago a los estibadores mas el pago por demora
Solución : el sistema de la línea de espera es la estación de carga, los camiones son las clientes, los
estibadores son los servidores y se supone que cada estibador carga un camión por las
características del sistema, puede aplicarse el modelo M/G/1, ya que el tiempo de servicio se
comporta conforme a la curva normal de probabilidad.
El costo total se compondrá por el costo de carga, que es el pago de los estibadores mas el de
demostrar, que se le paga a la compañía transportista, es decir:
Costo total=costo de estibadores +costo por demoras
A su vez el costo de estibado será:
Costo de estibado =150N$/días
Siendo n el numero de estibadores asignado alas
maniobras de carga
Costo por demoras = 800L$/Día
Donde l es el numero de camiones en el sistema
dado por la ecuacion13.25
Con fines ilustrativos se efectuara este
procedimiento de calculo para el caso
particular de n=3
Si N es 3, u es 1.33N, en este caso 4, ya que cada
estibador carga en promedio 1.33 camiones por
turno
Entonces el factor de
utilizacion del sistema(p)
será:
λ 3
 = = = 0.75
 4
La desviación estándar p es 1 h, es decir, 1 8 de día, pues solo hay
un turno diario, por tanto al aplicar la ecuación 13.24, se obtendrá:
2
λ  2 + 2 32 0.1252 + . 752
 =
=
= 1.406 
2(1 − )
2(1 − )
 =  +  = 1.406 + 0.75 = 2.156
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Modelo de lineas de espera