Espacio afín
2º Bachillerato
Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero
a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)
IES ÉLAIOS. Zaragoza
Coordenadas en el espacio
  
 U n punto O y una base B = { i , j , k } de los vectores libres del
espacio constituyen un sistem a d e referen cia en el espacio.
  
S e escribe S = {O ; i , j , k }.
 E n lo que sigue, por com odidad, trabajarem os en la base ortonorm al.
Vector de posición de P
Origen de coordenadas




[O P ] = x . i + y . j + z . k
(x, y, z) son las coordenadas de P respecto
del sistema de referencia S.
Ejes coordenados. Planos coordenados
• Los tres vectores de la base B
determinan con el origen O
tres ejes de coordenadas
OX, OY, y OZ.
• Los planos OXY, OYZ y OZX
se denominan planos
coordenados del sistema de
referencia.
Coordenadas de un vector libre cualquiera
  L o s p u n to s P y Q d e te rm in a n e l

v e c to r fijo P Q



 O P + P Q = O Q
  
 PQ = O Q – O P



 [P Q ] = O Q – O P =
= (b – a , b ' – a ' , b " – a " )


L as co o rd en a d a s d e u n v ecto r lib re u = [ P Q ] resp ecto d e la b ase B =
  
{ i , j , k } se o b tien en restan d o las co o rd en ad as d el p u n to P d e las
  
co rresp o n d ien tes d e Q en el sistem a d e referen cia S = {O ; i , j , k }.
Coordenadas del punto medio de un segmento





1
m = a + AM = a +
AB =
2
 
 

1
1
= a +
(b– a )=
(a + b)
2
2
Elementos geométricos
Los objetos o elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los
puntos, las rectas, los planos, las curvas y las superficies.
Estos elementos geométricos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétrica. La
dimensión del elemento coincide con el número de parámetros.
Rectas y curvas
(dimensión 1)
Dimensión
Planos y superficies
(dimensión 2)
Rectas en el espacio: ecuación vectorial
 U na recta viene determ inada por un punto
y una dirección. L a dirección está

m arcada por un vector libre u llam ado
vector d irector .

 U n punto X está en la recta si y sólo si P X



y u son proporcionales: [ P X ] = t · u


 Si p es el vector de posición de P, x es
el vector de posición de X, quedará:
 

 

x – p = t · u es decir: x = p + t · u
 

L a expresión x = p + t · u con t  R es la ecu ación vectorial de la recta que

pasa por P y tal que u es un vector director de la m ism a.
Rectas en el espacio: ecuaciones paramétricas
 L a recta que pasa por P de vector director

v (v 1 , v 2 , v 3 ) se puede poner así:
(x, y, z) = (x o , y o , z o ) + t (v 1 , v 2 , v 3 )
 A l igualar coordenadas obtenem o s:
 x = x o + t.v 1

 y = y o + t.v 2

 z = z o + t.v 3
L as ecu a cio n es p a ra m étrica s d e la recta
x


p o r v ecto r d irecto r v (v 1 , v 2 , v 3 ) so n  y
 z
r q u e p asa p o r P (x o , y o , z o ) y q u e tien e
= x o + t.v 1
= y o + t.v 2
= z o + t.v 3
Rectas en el espacio: ecuación en forma continua
Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto P (x0,y0,z0) y
tienen por vector director (v1,v2,v3) son:
 x  x 0  tv 1

 y  y 0  tv 2
 z  z  tv
0
3

Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de
la recta que no dependen de ningún parámetro
Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que
tiene por vector director (v1, v2, v3) son:
x – xo y – yo z – zo
=
=
v1
v2
v3
Rectas en el espacio: ecuación implícita
L as ecu a cio n es en fo rm a co n tín u a d e la recta r q u e p asa p o r P (x o , y o , z o ) y q u e

tien e p o r v ecto r d irecto r v (v 1 , v 2 , v 3 ) so n x – xo y – yo z – zo
=
=
v1
v2
v3
De aquí obtenemos tres ecuaciones:
x  x1
v1

y  y1
z  z1
v2
v3

x  x1
y  y1
v1
v2

z  z1
v3
Como la tercera ecuación es combinación lineal de la otras dos, suprimiendo
una ellas, la tercera por ejemplo, y operando obtenemos:
 v 2 x  v1 y  y 1 v 1  x 1 v 2  0

 v 3 y  v 2 z  z1 v 2  y1 v 3  0
Este par de ecuaciones es la ecuación de la recta en forma implícita.
En general :
 Ax  By  Cz  D  0

 A' x  B' y  C' z  D'  0
Ecuaciones de los ejes coordenados
V ecto ria l
P a ra m étrica
C o n tin u a
E je O X


x = t i
x = t
y = 0
z = 0
x y z
= =
1 0 0
E je O Y


x = t j
x = 0
y = t
z = 0
x y z
= =
0 1 0


x = t k
x = 0
y = 0
z = t
x y z
= =
0 0 1
E je O Z
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
(b1, b2, b3)
La recta r queda determinada por la siguiente
determinación lineal: r(A, AB
 ) o por(B, AB )
 
 
(a1, a2, a3)
Por tanto la ecuación de la recta será:
(x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 )
Planos: ecuación vectorial
Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente
independientes. Se dice que a (A, 
v, 
w ) es una determinación lineal del plano
alfa.
X está en a si y solo si AX es
combinación lineal de 
v y
w. Por tanto
existirán dos números reales s y t tales
que:

 
AX = s v + t w

 
Por tanto x – a = s v + t w
Y de aquí se obtiene la ecuación
vectorial del plano:
con s R y t R
x= a+ s v+ t w,
 
 
Se observa además que X a rango (AX, v, w) = 2  det (AX, v, w) = 0
Planos: ecuaciones paramétricas
P artiendo de la ecuación vectorial del plano:
(x, y , z) = (x 1 , y 1 , x 1 ) + t (a, b, c) + s (a', b', c')
obtenem os las ecuaciones param étricas utilizando las operaciones con
3
ternas de núm eros de R e igualando después. P or tanto las ecu acion es
p aram étricas d el p lan o son las siguientes:
Vector normal a un plano
Como A (x1,y1,z1) p y B (x2,y2,z2) p
tenemos que:
ax1 + by1 + cz1 + d = 0
ax2 + by2 + cz2 + d = 0
O bservam os que:

A B = (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1 )
Restando término a término obtenemos:
a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0
(a, b, c) . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = 0


n . [A B ] = 0

E l v ecto r n es p erp en d icu lar a cu alq u ier v ecto r co n ten id o en el p lan o , es
d ecir está en u n a d irecció n p erp en d icu lar al p lan o . R ecib e el n o m b re d e
v ecto r n o rm a l al p lan o . S u s co o rd en ad as so n (a,b ,c)
Planos: ecuación normal
Sea M un punto cualquiera del plano a, y
sea (A, B, C) un vector normal al plano.
Un punto X(x, y, z) está en el plano si y


sólo si n es perpendicular a MX. Por tanto:
 
  
n · MX = 0  n · ( x – m ) = 0
que es la ecuación normal del plano.
Desarrollando la expresión anterior
obtenemos:
(A, B, C) · (x – x1 , y – y1 , z – z1 ) = 0
A( x – x1 ) + B(y – y1 ) + C(z – z1 ) = 0
o bien
Ax+By+Cz+D=0
donde A, B, y C son las componentes
del vector normal al plano.
Planos: ecuaciones de los planos coordenados
V ecto ria l
P a ra m étrica
Im p lícia


P lan o O X Y 
x = t i + s j
x = t
y = s
z = 0
z= 0



x = t i + s k
x = t
y = 0
z = s
y= 0



x = t j + s k
x = 0
y = t
z = s
x = 0
P lan o O X Z
P lan o O Y Z
Ecuación del plano que pasa por tres puntos


Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no
son paralelos.
La determinación lineal de dicho plano
será:
(a", b", c") (x, y, z)
X
(a, b, c)
 
a(A , A B , A C )
Como los tres vectores están en el mismo
plano, son dependientes y por lo tanto su
ecuación se obtendrá desarrollando el
siguiente determinante:
  
d et( A X , A B , A C ) = 0
Posiciones relativas: recta y plano
Sean el plano p: ax + by + cz + d = 0 y la recta r dada como intersección de
p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0 .
Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número
de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores. Sean A y B
las matrices asociadas a dicho sistema.
1
2
3
Recta y plano
secantes
Recta contenida
en el plano
Recta y plano
paralelos
Sistema compatible
determinado
Sistema compatible
indeterminado de rango 2
Sistema incompatible
rango(A) = rango (B) = 3
rango(A) = 2; rango (B) = 2
rango(A) = 2; rango (B) = 3
Posiciones relativas: dos planos
Sean dos planos p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de
soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices
asociadas a dicho sistema.
1
3
2
Sistema compatible
indeterminado de rango 2
Sistema incompatible
Sistema compatible
indeterminado de rango 1
rango(A) = rango(B) = 2
rango(A) = 1; rango(B) = 2
rango(A) = rango(B) = 1
a
b
a
c

ó

ó
a'
b'
a'
c'
b
c

b'
c'
a
b
d
c
=
=

a'
b' c'
d'
a
b
d
c
=
=
=
a'
b' c'
d'
Posiciones relativas: tres planos (I)
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0.
Estudiar las posiciones relativas de estos planos equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
2
a
1
Triedro
2
b
Prisma
Dos planos paralelos
y un tercero secante a ellos
Los tres planos tienen
un punto en común
Los tres planos no tienen
puntos en común
Los tres planos no tienen
puntos en común
Sistema compatible
determinado
de rango 3
Sistema incompatible
Sistema incompatible
rango(A) = rango(B) = 3
rango(A) = 2; rango(B) = 3
rango(A) = 2; rango(B) = 3
Posiciones relativas: tres planos (II)
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
3a
3
b
4
Tres planos distintos
Dos planos coincidentes
y un tercero secante a ellos
Los tres planos tienen
una recta en común
Los tres planos tienen
una recta en común
Sistema compatible
indeterminado
de rango 2
Sistema compatible
indeterminado
de rango 2
Sistema compatible
indeterminado
de rango 1
rango(A) = rango(B) = 2
rango(A) = rango(B) = 2
rango(A) = rango(B) = 1
Tres planos coincidentes
Los tres planos tienen
infinitos puntos
en común
Posiciones relativas: tres planos (III)
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
5
a
5b
Tres planos paralelos
Dos planos coincidentes
y un tercero paralelo a ellos
Los tres planos no tienen
puntos en común
Los tres planos no tienen
puntos en común
Sistema incompatible
Sistema incompatible
rango(A) = 1; rango(B) = 2
rango(A) = 1; rango(B) = 2
Posiciones relativas: dos rectas (I)
Sea r dada como intersección de los planos a1x + a2y + a3z + a4 = 0 y b1x + b2y + b3z + b4 = 0.
Sea la recta s dada como intersección de c1x + c2y + c3z + c4 = 0 y d1x + d2y + d3z + d4 = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a
dicho sistema.
1
2
Rectas coincidentes
Las rectas tienen todos
sus puntos comunes
Sistema compatible
indeterminado de rango 2
rango(A) = rango(B) = 2
Rectas paralelas
Las rectas no tienen
puntos en común
Sistema incompatible
rango(A) = 2; rango(B) = 3
Posiciones relativas: dos rectas (II)
Sea r dada como intersección de los planos a1x + a2y + a3z + a4 = 0 y b1x + b2y + b3z + b4 = 0.
Sea la recta s dada como intersección de c1x + c2y + c3z + c4 = 0 y d1x + d2y + d3z + d4 = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a
dicho sistema.
3
4
Rectas secantes
Rectas que se cruzan
Las dos rectas tienen
un punto en común
Las rectas no tienen
puntos en común
Sistema compatible
determinado
Sistema incompatible
rango(A) = rango(B) = 3
rango(A) = 3; rango(B) = 4
Haces de planos
1
Haz de planos paralelos
2
Haz de planos secantes
Dados p≡Ax+By+Cz+D=0
Dado ≡Ax+By+Cz+D=0
p ≡ Ax+By+Cz+D  =0
Los haces de planos se pueden expresar
Los haces de planos se pueden expresar
como Ax+By+Cz+=0 con  є R.
como Ax+By+Cz+D+ (Ax+By+Cz+D )=0
Para que el haz quede completo hay que
añadir:
Ax+By+Cz+D  =0
Descargar

Coordenadas en el espacio