PLANOS EN EL ESPACIO
Algebra lineal (Ing.Sist.)
Cálculo IV(G,B)
Semestre 99-00 B
Planos en el espacio
Planos en el espacio
Tres puntos no alineados P, Q, R
Eje Z
Q
P
Eje X
R
Eje Y
Planos en el espacio
Un punto P y direcciones no paralelas u, v
Eje Z
u
P
v
Eje Y
Eje X
Planos en el espacio
Un punto P y un vector ortogonal 
Eje Z

P
Eje Y
Eje X
Planos en el espacio
¿Cuál es la condición
geométrica que debe
satisfacer un punto P para
estar en el plano  que pasa
por P0 y es ortogonal a ?
Planos en el espacio
Eje Z

P0
P (x,y,z)
P-Po
Eje Y
Eje X
P(x,y,z)  
si y sólo si
  P-Po
Planos en el espacio
Ecuación del plano  que pasa por
P0(xo,yo,zo) y es ortogonal a
=(a,b,c)
El punto P(x,y,z)  si y sólo si   P-Po, es decir
si .(P-Po)=0  (a,b,c).(x-xo, y-yo, z-zo)=0.
a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0  ax+by+cz=axo+byo+czo
Si d= axo+byo+czo
Ecuación normal
del plano 
ax+by+cz=d
Planos en el espacio
¿Cuál es la condición
geométrica que debe
satisfacer un punto P para
estar en el plano 
determinado por las
direcciones no paralelas u, v y
el punto P0?
Planos en el espacio
P
Eje Z
Po
tu
O
Eje X
v
sv
u
tu+sv
PoP
Eje Y
PoP  tu  sv
OP  OPo  tu  sv
Planos en el espacio
Ecuación del plano  que pasa por
P0(xo,yo,zo) con vectores directores
u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3)
P(x,y,z)  si y sólo si OP  OPo  tu  sv
(x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(u1,u2,u3)+s(v1,v2,v3) 
Ecuaciones
paramétricas del
plano 
 x  x o  tu1  sv1

 y  y o  tu 2  sv 2
 z  z  tu  sv
o
3
3

Planos en el espacio
¿Cuál es la condición
geométrica que debe
satisfacer un punto para estar
en el plano  que pasa por los
puntos no alineados P,Q, R?
Planos en el espacio

P
Q
R
Pasa por P con normal
=(Q-P)x(R-P)
Pasa por P con vectores directores
u=(Q-P) y v=(R-P)
Planos en el espacio
Ecuación del plano  que pasa por
los tres puntos no alineados
P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3)
ax+by+cz=d
(a,b,c)=
Ecuación normal
i
j
k
q1  p1
q2  p 2
q3  p 3
r1  p1
r2  p 2
r3  p3
Planos en el espacio
Ecuación del plano  que pasa por
los tres puntos no alineados
P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3)
Ecuaciones paramétricas
 x  p1  t(q1  p1)  s(r1  p1)

 y  p 2  t(q2  p 2 )  s(r2  p 2 )
 z  p  t(q  p )  s(r  p )
3
3
3
3
3

Planos en el espacio
Ejercicio Nº1
Encuentre el plano que pasa por los
puntos P(2,0,1), Q(1,2,0), R(-3,2,1)
de tres maneras distintas
Planos en el espacio
Ejercicio Nº2
Encuentre el plano que pasa por el
punto P(-2,3,4) y es perpendicular a
la recta que pasa por (4,-2,5) y
(0,2,4)
Planos en el espacio
Ejercicio Nº3
Sea L:
93 x
6

1 y
2

z2
4
y
: 3x-2y+6z=-5
Hallar la ecuación de la recta perpendicular
al plano , que pasa por el origen.
Hallar la ecuación del plano que contiene a
la recta L y pasa por el origen.
Planos en el espacio
Ejercicio Nº4
x  1 t

Sea L:  y  2  2 t
z  3  t

y
: x-y+z=1
Hallar la distancia de la recta L al plano .
Planos en el espacio
Solución Nº1:
PQ=(-1,2,-1) y PR=(-5,2,0)
i
j
k
  1
2
 1 =(2,5,8)
5
2
0
2x+5y+8z= 2.2+5.0+8.1
2x+5y+8z=12
Planos en el espacio
Solución Nº1:
Vectores directores del plano:
u=(-1,2,-1) y v=(-5,2,0)
 x  2  t  5s

 y  2 t  2s
z  1  t

Ecuaciones
paramétricas
Planos en el espacio
Pasar de las ecuaciones paramétricas
a la ecuación normal
 x  2  t  5s

 y  2 t  2s 
z  1  t

1 5

2 2

1 0

 t  5s  2  x

2 t  2s  y
t  1  z

2  x
1  z
1 0


y  2  2z 
y  0 1



2
0 0 2 x  5 y  8 z  12 
1  z 


Planos en el espacio
Solución Nº1:
Un punto (x,y,z) en el plano debe satisfacer la
ecuación: ax+by+cz-d=0
Como (2,0,1), (1,2,0) y (-3,2,1) están en el plano,
se debe cumplir:
 ax  by  cz  d  0

 2a  0b  c  d  0

 a  2b  0c  d  0
 3a  2b  c  d  0

Sistema homogéneo en
la variables a,b,c,d
que debe tener
infinitas soluciones.
Planos en el espacio
Por lo tanto, el
determinante de la
matriz del sistema debe
ser nulo
x
y
z
1
2
0
1
1
1
2
0
1
3
2
1
1
x
y
z
1
2
0
1
1
1
2
0
1
3
2
1
1
0
0
1
1
2
1
1
2
0
1
2
0
1
 x2
0
1 y 1
0
1 z 1
2
 1  ( 1) 1
2
0
2
1
1
1
1
2
1
2
1
3
3
2x+5y+8z-12=0
3
Planos en el espacio
Solución Nº2:
El vector director de la recta es el vector
normal al plano.
Como la recta pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)
Su vector director es: (4,-4,1)
=(4,-4,1)
4(x+2)-4(y-3)+(z-4)=0
Ecuación del plano: 4x-4y+z+16=0
Planos en el espacio
Solución Nº3:
El vector director de la recta debe ser paralelo al
vector normal al plano, por lo tanto =(3,-2,6). Como
además debe pasar por el (0,0,0), la ecuación de la
recta buscada es:
x  0  3 t

 y  0  2t 
 z  0  6t

x  3 t

 y  2 t , t  
 z  6t

Planos en el espacio
Solución Nº3:
Para encontrar el vector normal al plano tomamos
primero dos vectores en el plano y como el (0,0,0)
queremos que esté en el plano, esto equivale a tomar
dos puntos cualesquiera sobre la recta, por ejemplo,
para valores de t=0, 1 obtenemos
u=(3,1,2) y v =(1,-1,6)
v
u
i
j
k
 3
1
2 =(8,-16,-4)
1
1 6
Ecuación normal: 2x-4y-z=0
Planos en el espacio
Solución Nº3:
Otra forma es tomar u=(3,1,2) y v =(1,-1,6)
como los vectores directores del plano y
hallar las ecuaciones paramétricas
v
u
x  3 t  s

y  t  s
 z  2 t  6s

Ecuación paramétricas del Plano
Planos en el espacio
Solución Nº4:
Vector director de la recta u=(1,2,1)
Vector normal del plano =(1,-1,1)
(1,2,1).(1,-1,1)=0  u    L y  son paralelos

Sustituimos las ecuaciones
de L en la del plano y
obtenemos:
d
¿(1+t)-(2+2t)+(3+t)=1?
21
La recta y el plano no se
cortan
Planos en el espacio
Solución Nº4:
Un punto de la recta Q=(1,2,3)
Un punto del plano P=(1,1,1)
PQ=(1,2,3)-(1,1,1)=(0,1,2)  d  Pr oy PQ
Q

d
d
P
( 1, 1,1).( 0 ,1, 2 )
( 1, 1,1)

1
3
Planos en el espacio
POSICIONES RELATIVAS ENTRE
DOS PLANOS
 Paralelos:
 Sus vectores normales son paralelos
 Ortogonales:

Sus vectores normales son ortogonales
Planos en el espacio
La intersección de dos planos
puede ser:
 Un plano
 Son paralelos
 Una recta:
 Son secantes
 El conjunto vacío
 Son paralelos
Planos en el espacio
La intersección de un plano y una
recta puede ser:
 Una recta
 La recta está incluida en el plano
 Un punto:
 Son secantes
 El conjunto vacío
 El vector director de la recta es ortogonal al
normal del plano
Planos en el espacio
ANGULOS ENTRE PLANOS Y
RECTAS
 El ángulo entre dos rectas es el
formado por sus vectores directores
 El ángulo entre dos planos es el
formado entre sus vectores normales
 El ángulo entre una recta y un
plano es el complementario del
formado entre el vector director de la
recta y el vector normal al plano
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