3 puntos no
colineales
determinan
un Plano
EL PLANO
 ≠ 
∦
(1,2, −1)

2
0
1
(3,2,2)

(2,1,1)
, ,  =  + +
3
1 2 −1
=(
2 1 1
Ecuación Vectorial del Plano
, ,  = , ,  +  , , − + (, , )
 =  +  + 
 =  +  + 
Ecuación Paramétrica del Plano
= −+
No existe Ecuación Simétrica del Plano
NORMAL AL PLANO
1 2 −1
= (3,−,−)
2 1 1
NORMAL AL PLANO


∎

{ , ,  = , ,  +  , , − + (, , ) } (, −, −)
, ,  (, −, −) = , ,  (, −, −) +  , , − (, −, −) + (, , )(, −, −)
 −  −  = −
 −  −  = −
ECUACIÓN GENERAL
DEL PLANO
 −  −  +  = 
, ,  =  +  + 
, ,  −  =  + 
{ , ,  −  } = { + }
{ , ,  −  } = 
, ,  − , , 
ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO
, −,  = 
DISTANCIA DE UN PUNTO AL PLANO
Halle la distancia del punto Q(3,2,3) al plano: (x,y,z) = (2,-1,1) + α(4,2,2) +β(1,-2,3)
normal
(1,3,2)
=
(3,2,3) = (2,-1,1) + α(4,2,2) +β(1,-2,3)

(1,3,2) = α(4,2,2) +β(1,-2,3)

4 1
2 −2
2 3
=
1
3
2
  
= (, −, −)
 − 
Comp
(1,3,2)
(10,−10,−10)
=
=
(1,3,2)(10, −10, −10)
300
−40
10 3
4 1
4 −4
4 6
1
6
4
4 1
0 −5
0 5
1
5
3
4
0
0
1
−5
0
1
5
8
El punto Q(3,2,3) no pertenece al plano
 −  −  = 
 −  −  =   = (, −, −)
(3) (2) (3)
−−−=

−
=


Paralelismo entre Planos

 ∥ 
⇒  ∥ 
 :  −  −  = −
 :  −  −  = 
 =  = 

Distancia
 : , ,  = , , − +  , ,  + (, , )
2 0
= (2,−, −)
1 1
   = (, , )
¿El punto (1,2,-2) pertenece al Plano (2)?
()
() (−)
 : − +  +  −  = 
 = (−, , )
2 −1 −3
= (,, )
−4 2
6
⇒  ∥ 
¿La Distancia del punto (1,2,-2) al Plano (2)?
− +  +  − 
− + − −  = 
− ≠  El punto no pertenece al Plano
−
1
2
−
 =
 : − +  +  −  = 
(−) +() +()
=


Planos no Paralelos
 :  −  −  = 

 :  −  −  = 

 :  −  −  = 


Ángulo Diedro =  − 


Intercepción de Planos
 :  −  −  = 
 = (, −, −)
 :  −  −  = 
 = (, −, −)
 −  =  + 
 −  =  +  ⇒
− = − − 
=+
=
Ángulo entre Planos
 =
 . 
 
 = 
 − ( + ) =  + 
 =  +  +  + 
 =  + 


=


 = 10 + 3
Ecuación Paramétrica  = 2 + 
=
Descargar

Descarga