Análisis Fourier
Capitulo 6
Tarea
• Usa un sismograma de cualquier parte del mundo
del terremoto de Chile. Muéstramelo el jueves 6 de
mayo.
• Aplica la transformada de Fourier.
• Identificar unos modos normales.
• Deconvoluir el componente vertical de un
componente horizontal.
• Identificar el Moho en la señal.
El concepto básico
• Filtros ~ multiplicación o división en el dominio del
tiempo
• Convolución
– Señal → FFT → multiplicar → IFFT
• Deconvolución
– Señal → FFT → dividir → IFFT
La Serie de Fourier
• La suma de muchas
ondas para crear una
señal
 2 nt 
f t   a 0   a n cos 

 T 
n 1

 2 nt 
b
sin


 n
 T 
n 1

La solución para los componentes
 2 nt 
f t   a 0   a n cos 

 T 
n 1

 2 nt 
b
sin


 n
T


n 1

 2 nt 
 2 m t 
cos
sin



 dt  0

T
 T



-T 2
T 2
 2 nt 
 2 kt
 f t dt   cos 
 cos 
 T 
 T
-T 2
-T 2
T 2
T 2



 2 nt 
 2 nt
  a 0   a n cos 
   b n sin 

 T  n 1
 T
n 1
T
 2 nt 


cos
f
t
dt

a k 1   k 0 



2
 T 
-T 2
T 2
ak 
2   k0
T
 2 kt 
 f t dt
 cos 
 T 
-T 2
T 2
bk 
 2 kt 
sin

 f t dt

T -T 2
 T 
2
T 2

  dt

La Serie de Fourier complejo
f t   a 0 
a n
a n
a n
1
2


n 1
 ib n  2 
 ib n  2 
 ib n  2 
Fn  a 0

i t
- i t
  a n  ib n e n   a n  ib n e n
1
T
1
T
1
T
T 2
 cos  n t  i sin  n t  f t dt
-T 2
T 2
 e
 i n t
f t dt
i n t
f t dt
-T 2
T 2
 e
-T 2
F n  a n  ib n  2
F- n  a n  ib n  2
La solución de la serie de Fourier complejo
f t   F 0 

 Fn e
i n t
n 1
f t  


- i t
 F- n e n
n 1

i t
 Fn e n
n  
a n
 ib n  2 
1
T
T 2
 e
-T 2
 i n t
f t dt
→
Fn 
1
T
T 2
 i n t
f t dt
 e
-T 2
La transformada de Fourier
f t  

 Fn e
→
i n t
n
f t  
Fn 
T
T 2
 e
-T 2
 i n t
f t dt
→
i t
 F n T 2  e n  
n  
f t  
1


1
2
F   


 F n  e
i n t

f t e

¡Qué chido!
 i n t
dt
d
La utilidad de la transformada
Función de transferencia
• Una señal, x( t ), está afectada por otra señal, f( t )
• La otra señal, f( t ), se llama la respuesta de impulso
• La señal final, y( t ), se determina en frecuencia
– Y(ω) = X(ω) F(ω)
• O en el dominio de tiempo
y t  
1
2



X  F  e
i t
d
Convolución
y t  
1
2

 X  F  e
i t
d

En el libro
y t  

 x   f t   dt
Convolución

Y   / F    X  
Deconvolución
Filtros, Señales, Transformada, Convolución
Funciones de Green
u  x, t    G  x , t ; x' , t' S  x' , t' dt ' dV '
U    G  S  
• G puede ser la respuesta de instrumento, efectos
por el medio (i.e. reflectores o interfaces), efecto de
sitio, cualquier efecto que cambia por frecuencia
Función de receptor
• U(ω) se considera el componente
horizontal.
• G(ω) es la función de Green, en
este caso se considera un
componente vertical
• S(ω) es la función de receptor o la
serie de los reflectores que
convierte las ondas P a ondas S.
U    G  S  
Señales de tiempo finito
• La frecuencia de Nyquist
– La mitad de la frecuencia de
muestras
– El limite (arriba) de frecuencia
que se puede medir adentro
de una señal
• O en periodo: Hay que
muestrear el doble del
periodo de la señal para
observarla
• Entonces, si quiero medir
un modo normal, ¿cuánto
tiempo tengo que
observarlo?
El tiempo de muestra es un filtro de la señal
G   

 b t  f t e

i t
dt
• G es la señal en el espacio
de frecuencia que se
muestra.
– El rango de frecuencias es
limitado por el tiempo de
muestras, b.
• f es la señal completa sin
limites en el tiempo de
muestra.
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Seismology – G-GAP