Capítulo 2:
Distribución de frecuencias
unidimensionales
Introducción
Descripción numérica
Representación gráfica
Frecuencia
• Frecuencia absoluta: ( n i ) El número de
veces que se repite cada valor o dato de
la variable.
• Frecuencia relativa: ( f i ) La frecuencia
absoluta dividida por el número de datos.
fi 
donde
N
ni
N
es el número de datos.
Frecuencia
• Frecuencia absoluta acumuladas: ( N i ).
Es el número de datos que hay igual al
considerado o inferiores a él.
• Frecuencia relativa acumuladas: ( F i ).
Es cada frecuencia acumulada dividida
por el número de datos.
Frecuencia
• Frecuencia absoluta:
n
n1  n 2    n i    n n  n 
n
i 1
• Frecuencia absoluta
acumulada:
fi 
n
................
..................
n

N 2  n1  n 2
N k  n1  n 2  ...  n k
• Frecuencia relativa:
ni
N 1  n1
fi  1
N n  n1  n 2  ...  n k  ...  n n  N
1
• Frecuencia relativa
acumulada.
Fi  f 1    f i
i
Intervalos
• Intervalos: ( L ; L ). Se puede agrupar
valores en clases o intervalos. Esto ayuda
cuando existe un gran número de
observaciones, pero se pierde
información. L es el extremo inferior y
L i su extremo superior.
i 1
i 1
i
Intervalos
x i  mín x i ; la
• Recorrido de variable: Re  máx
i
i
diferencia entre el mayor y el menor valor.
• Amplitud de intervalo:
c i  Li  Li  1
.
• Los intervalos pueden ser de amplitud constante
o variable. Si la amplitud es constante;
Re  N º
de intervalos  c i .
Intervalos
• ¿Como podemos tratar un valor que
coincide exactamente con un extremo de
intervalo?
• Lo normal es los intervalos abiertos por la
izquierda y cerrados por la derecha. ( a , b ] .
El intervalo incluye todos los puntos entre
a y b , incluido b , excluido a .
Intervalos
L i  L i 1
• Marca de clase:
; su punto
2
medio usamos como representante de
cada intervalo.
xi 
di 
ni
• Densidad de frecuencia:
; se
c
utiliza cuando los intervalos no son de la
misma amplitud.
i
Tabla de frecuencias
Valor
Frecuencia
absoluta
xi
x1
x2
x3
ni
n1
n2
n3
ni=N
Con Intervalos:
I i  [ e i 1 , e i )
I i  ( e i 1 , e i ]
Marca de clase:
xi 
Frecuencia
absoluta accum.
e i 1  e i
Frecuencia
relativa
Ni
N1
N2
N
Frecuencia
relativa accum.
fi
f1
f2
f3
1
Fi
F1
F2
1
Ii
xi
ni
fi
Ni
Fi
ci
I1= ( e0, e1]
x1
n1
f1
N1
F1
c1
I2= (e1,e2]
x2
n2
f2
N2
F2
c2
Ii=(ei-1,ei]
xi
ni
fi
Ni
Fi
ci
In=(ek-1,ek]
xn
nn
fn
Nn
Fn
cn
2
Ejemplo
Número de hijos
•
¿Cuántos individuos tienen
menos de 2 hijos?
Frec.
– frecuencia individuos sin hijos
+
frecuencia individuos con 1 hijo
= 419 + 255= 674 individuos
•
¿Qué porcentaje de individuos
tiene 6 hijos o menos?
– 97,3%
•
¿Qué cantidad de hijos es tal
que al menos el 50% de la
población tiene una cantidad
inferior o igual?
– 2 hijos
Porcent.
(válido)
Porcent.
acum.
0
419
27,8
27,8
1
255
16,9
44,7
2
375
24,9
69,5
3
215
14,2
83,8
4
127
8,4
92,2
5
54
3,6
95,8
6
24
1,6
97,3
7
23
1,5
98,9
Ocho+
17
1,1
100,0
1509
100,0
Total
≥50%
Representaciones gráficas
A) para fenómenos cualitativos:
• Diagramas sectoriales
• Cartogramas
• Pictogramas
B) para fenómenos cuantitativos:
1) Diagrama de barras (distribuciones no
agrupadas)
2) Histograma de frecuencias (distribuciones
agrupadas en intervalos)
Representaciones gráficas
• A1: Diagramas sectorales
• Diagramas sectoriales, circulares;
• Tienen un ángulo central proporcional a las
frecuencias absolutas o relativas, y un área
proporcional a la frecuencia absoluta o relativa.
X i º  ( 360º  n i ( abs )) / n
Representaciones gráficas
• Diagramas sectoriales, rectángulos;
Tienen una base constante y una altura
proporcional a la frecuencia absoluta. Su
superficie es proporcional a la frecuencia
absoluta.
Representaciones gráficas
• B1: Diagramas de barra
• Diagramas de barra tienen las alturas
proporcionales a las frecuencias absolutas (o
relativas). Se pueden también aplicar para
variables discretas.
• Las frecuencias acumuladas dan lugar a un
diagrama de escalera o escalonado.
Representaciones gráficas
• B2: Histograma de frecuencia
• intervalos de amplitud constante: Las alturas de los
rectángulos serán iguales a las frecuencias absolutas
respectivas. (Las áreas sólo dependerían de la altura).
• Intervalos de amplitud variable: Las alturas de los
rectángulos deben calcularse dividiendo la frecuencia
absoluta por la longitud del intervalo.
ni
- La altura del intervalo es la densidad de frecuencia, d i 
ni
ci
- El área del rectángulo será
S i  ci
 ni
ci
Intervalos de clase
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Amplitud del intervalo
7.0  x 9.0
3
0.10
2.0
Densidad de
frecuencias (Y)
0.10/2.0= 0.05
9.0  x 10.0
7
0.23
1.0
0.23/1.0= 0.23
10.0  x 11.0
9
0.30
1.0
0.30/1.0= 0.30
11.0  x 12.0
8
0.27
1.0
0.27/1.0= 0.27
12.0  x 13.0
3
0.10
1.0
0.10/1.0= 0.10
Totales
30
1.00
0,35
0,35
0,30
0,30
0,25
0,25
0,20
0,15
Correcto
0,10
Frec. Relativa
Densidad de frecuencia
Ejemplo :Distribución de frecuencias para la variable X:
Incorrecto
0,20
0,15
0,10
0,05
0,05
0,00
0,00
7.0
7.0
9.0
10.0 11.0 12.0 13.0
Hemoglobinemia en grs/dl
Histograma en densidad de frecuencias
9.0 10.0 11.0 12.0 13.0
Hemoglobinemia en grs/dl
Histograma de frecuencias relativas,posterior a la fusión del primer y
segundo intervalo
Representaciones gráficas
• Polígono de frecuencias, usando frecuencia absolutas
acumuladas. Se levanta en el extremo superior de cada intervalo
una ordenada igual a la frecuencia acumulada correspondiente,
uniendo a continuación dichas ordenadas. La primera ordenada se
une al extremo inferior del primer intervalo y prolongando la
ordenada del extremo superior del último intervalo.
• La altura al extremo superior del último intervalo = N si hemos
usado frecuencias absolutas acumuladas y = 1 si hemos usado
frecuencias relativas acumuladas.
• También se puede hacer un polígono de frecuencias, pero no
cumuladas. Para construir el gráfico hay que unir marcas de clase a
una altura proporcional a la frecuencia (intervalos constantes). Se
puede comparar esto tipo de gráfico para grupos distintos.
Polígono de frecuencias o
densidad
• Gráfico de líneas que se construye a partir de un histograma de
densidad o de frecuencias.
• Útil para la comparación de dos o más distribuciones
0,35
0,35
0,30
Densidad de frecuencias (Y)
Densidad de frecuencias (Y)
0,30
0,25
0,20
0,15
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,10
0,00
7.0
0,05
8.0
9.0
10.0
11.0
Hemoglobinemia en grs/dl
Polígono de densidad de frecuencias
0,00
7.0
8.0
9.0
10.0
11.0
Hemoglobinemia en grs/dl
Polígono de densidad de frecuencias
12.0
13.0
12.0
13.0
[EJERCICIOS]
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Capitulo 2: Distribución de frecuencias unidimensionales