Capítulo 7
Estimación de
Parámetros
Estadística Computacional
Algunas consideraciones
previas
Conceptos básicos
Distribuciones usadas en Inferencia
Teoremas relevantes
Estimación puntual
Estimación por intervalos
Distribuciones usadas en Inferencia
1.- Ji-Cuadrado con “n” grados de libertad.
Sea X1, X2,...,Xn n v.a. continuas independientes
tal que Xi ~ N (0,1) i = 1,n (i.i.d.)
n
Y   Xi
2
~
2
(n)
i 1
n
fY ( y ) 
1
y2 e
n

y
2
n
2  
2
2
I R ( y)
donde
donde

  1   y e dy

y
TABLA
0
OBS:
1. EY   n
VarY   2n
n 
2
2.  ( n )   ;2 
 2 n

3. Y (t )  (1  2t ) 2
fY ( y )
VarY   2n
EY   n
y
Distribuciones usadas en Inferencia
2.- t-Student
Sea X v.a.c. tal que X ~ N (0,1)
Y v.a.c. tal que Y ~ 2(n)
Sea
t
X
Y
n
~
t  Student (n)
2
t 
 n  1 


1




2
n



f T (t ) 
n
n 
2

n 1
2
I R (t )
OBS:
1. Et   0 Var t  
2. FT (t )  PT  t 
3. T (t )
no
n
n2
TABLA
existe
fT ( y )
t
Distribuciones usadas en Inferencia
3.- F-de Fisher
Sea X v.a.c. tal que X ~ 2(n)
Y v.a.c. tal que Y ~ 2(m)
independientes
X
Sea
Z n
Y
~
F (n, m)
n
m
fZ ( z) 
Kz
1
2
nm
n 

z
1 
m 

2
I R ( z )
siendo
nm
n


2
 2   n
K 


n
mm
   

2
 2
OBS:
1. E Z  
n
m2
V Z  
2. FZ ( z )  PZ  z 
2m ( n  m  2)
2
n( m  2) ( m  4)
2
TABLA
f Z (z )
E Z  
n
m2
z
Teoremas Límites
•Convergencia en Distribución:
Xn 
 X
D
ssi
limn FX n ( x)  FX ( x)
x pto. continuidad
•Convergencia en Probabilidad:
Xn 
 X
P
ssi
limn P X n  X     0
>0
•Nota:
Xn 
 X
P

Xn 
 X
D
Desigualdad de Chebyshev:
Sea X v.a. / EX    ; V X   
Entonces P X  E X     
V X 

2
Ley débil de los grandes números:
X n nN
suc. de v.a.i.i.d. / EX     R
V X      entonces:
2


limn P X n      0
Teorema Central de Límite:
Sea {X} suc. de v.a.i.i.d / EX    ;V X    2
finitas. Entonces:


Xn  

Yn 



n



D

 N (0,1)



Estimación de Parámetros
El objetivo de la estimación de parámetros es proveer de
métodos que permitan determinar con cierta precisión, el
valor de los parámetros desconocidos de un modelo
estadístico a partir de una muestra extraída al azar de una
Población.
1. Método de estimación Puntual
2. Método de estimación por Intervalos
Definición de Estimador
Un estimador es una regla que nos indica cómo obtener un
parámetro de un modelo, basándose en la información
contenida en una muestra ( M={ f ( x ,  ) :     modelo )
T :
 
x
T (x) = T (X1, X2,...., Xn)
T (x) : Estimador de , variable aleatoria, función de la
muestra, que no depende del parámetro .
(Estadística basada en la Información )

={x : x es una muestra aleatoria} Espacio de Información
 En lo que sigue ˆ = T (X1, X2,...., Xn) estimador de .
Propiedades de los estimadores puntuales
Un estimador es una v.a. y todo juicio sobre él, se basará
en su ley de Probabilidad, y más específicamente sobre su
Esperanza y Varianza.

1. E ˆ  ET  X 1 ,..., X n    se dice que ˆ es insesgado
se llama sesgo de ˆ

3. ECM ˆ   Varˆ   B ˆ  se llama error cuadrático
2. B   E ˆ  
2


4. lim n P ˆ      1
medio del estimador
se dice que es ˆ
W
consistente ˆ 

Propiedades de los estimadores puntuales

5. Si E ˆ   , decimos que ˆ es un estimador insesgado
de varianza mínima para  . Si todo otro estimador
insesgado de  , digamos ~ , se verifica que:
~
ˆ
Var    Var  
6. Sea X1, X2,..., Xn m.a.  f ( x ,  ). Si ˆ es:

  ln f ( x, ) 

E ˆ    Var ˆ  nE 






 



  ln f ( x, ) 

Nota: Si Var ˆ  nE 









2
1
2



 

1


   ˆ es eficiente
 

Propiedades de los estimadores puntuales
7. Sean ˆ1
~ dos estimadores de . Se llama

y 2
eficiencia relativa de ~2
ef  2 ,ˆ1  
~
c/r
ˆ1 a:
ECM  2 
ECM ˆ 
~
1
8.
es un estimador suficiente si usa toda la información
ˆcontenida en la muestra.
Métodos de estimación puntual
 Método de Momentos
 Método de Máxima Verosimilitud
 Método de Mínimos Cuadrados
Momentos (K. Pearson)
La idea es simple. Consiste en
igualar los momentos de la
población y de la muestra
  m
E X
r
r

1
x

n
i
r
Máxima Verosimilitud
Consideremos X = (X1, X2,..., Xn ) m.a.  f ( x ,  ). Se
llama función de verosimilitud a:
n
   f  x 0 ,    f  xi , 
i 1
Además se define:
 función soporte: L   ln 
L  
 función score:

El valor (vector) de  que maximiza  L  se llama
estimador máximo verosimil, i.e.
L 

 L 
2
0


2
0
(caso univariado)
Propiedades de los Estimadores
Máximo Verosímiles
Los estimadores máximo verosímiles son:
Asintóticamente insesgados
Asintóticamente normales
Asintóticamente eficientes
Invariantes bajo transformaciones biunívocas
Si  estimador suficiente, ˆMV es suficiente
Sea X1, X2,..., Xn m.a.  N (  , 2 ).
Encontrar el EMV de    ,  2 

 X  ,

LX  , 
2
2
   
2 n 2
 


2
LX  ,   0

n

H X,S
2
ln  
2



e
1



2
 2
1
2
2
2
  Xn
 n 2

S

 0

2


X


 i


 X
 
2
i
   Sn
2



n

4
2S 
0
2
En general:

H  ,
2


 2L

2








E  H  ,
2


 H X,S
2
2
 L   n
 
2
    2

2

 L

 
2 2 

 


 n X   
4
n 1
2
4
X


 
2
i
6






 := Matriz de Información de Fisher
esperada. IE  
:= Matriz de Información observada
en la muestra. IO 
OBS: Caso  escalar
V    C .R.
~
   L 
 E 
2 
    
2
1
 C .R.
~
Se dice que  es un
estimador eficiente de 
Estimación por Intervalos
En la práctica, interesa no sólo dar una estimación
de un parámetro, sino que además, un intervalo
que permita precisar la incertidumbre existente en
la estimación.
Definición: Sea x m.a.  f ( x ,  ). Sean 1=T1(x),
2=T2(x) dos estadísticas de  : T1  T2  x  ;
P 1    2 = 1 -  = 
Entonces el I = 1 ; 2 se llama intervalo aleatorio
de confianza del 100  % para  ( 0 <  < 1 ).
Estimación por Intervalos
Fijado , el problema de determinar 1 y 2 puede
resolverse encontrando una variable aleatoria
Q(x,) cuya distribución esté totalmente definida,
que sea independiente de .
La variable Q(x,) se denomina “Cantidad Pivotal”
Ejemplo: X1, X2,..., Xn1  N ( 1 ,21)
Q(x,)=
X 1  1
1
n1
~
N (0,1)
Q(x,)=
X 1  1
S1
n1
~ t( n 1)
Método de la Cantidad Pivotal
1. Encontrar una cantidad Q.
2. P q1  Q  q2 = 1 -  = 
3. Invertir P 1    2 =  , obteniendo así un
intervalo I=1 ; 2 de confianza para  de nivel
100  %.
Observación: Para muestras grandes la v.a. Q

 ˆMV
ˆ
siempre existe, ya que si  MV , entonces
 ˆMV 
tiene distribución asintóticamente normal estándar.
Intervalo de Confianza para diferencia
de medias
Supuesto: Poblaciones Normales
P1:
P2:
X 1  1
1
n1
n1  1S1
1
2


X1, X2,..., Xn1
Y1, Y2,..., Yn2
~
N (0,1)
2
~

2
( n1 1)
N ( 1 ,21)
N ( 2 ,22)
Y 2  2
2
~
n2
n2  1S 2
2
2
N (0,1)
2
~
 2( n
2 1)
Asumiendo independencia de las muestras :
n1  1S1
1
2
2
n1  n2  2S P

Q

n2  1S 2
2
2
2
 2( n n
~
1
2 2)
2
2
~

2
 X 1  X 2   1   2 
SP
1
n1

Si
( n1  n2  2 )
1
n2
~
1   2
2
tn1  n2  2 
2
Finalmente:

I  ( 1   2 )   X 1  X 2   t  ,n  n  2 S P
2 1 2

1 


n1 n2 
1
Es un Intervalo de confianza de nivel  para 1 - 2
Supongamos que  1   2
2
2
2
2 

S1
S2
I  ( 1   2 )   X 1  X 2   t , g 


2
n1
n2 


Siendo g = n1 + n2 - 2 - 

n

2
 1S  n1  1S
n2  1S
'
1
' 2
1

2
'
 n1  1S
grados de libertad
2
' 2
2
Si 
'
Si
ni
i  1,2
Intervalo de Confianza para 12/22
Recordemos que:
n1  1S1
1
2
n2  1S 2
2

~
2
S1  1
2
F
( n1 1)
S2
  22
I  2

 1
2
2




2
2
2
~
2
2
~
 2( n
2 1)
Fn1 1,n2 1 g .l .
2
2
2

S2
2
S2 

 Fb
 Fa
2
2
2 
S1
1
S1 

donde PFa  F  Fb     1  
Se obtiene el intervalo
Si Fa  F 2 Fb  F 2
;
de iguales colas
Resumen: Intervalos de Confianza
Poblaciones Normales
Poblaciones no Normales
Parámetro
Estadística
,
conocido
n X 
,
desconocido
n X 


1 - 2
1  2
muestra grande

t n 1

 n  1 S 2

X 1 
X
1
SP
X 1 
   1   2 
2
1

n1
X
2
S1
2
n 1
2
X  z
2
X  t
2

n
S
n
2

S2
 X 1  X 2   t 2 S P
1

n1



2
1
n2
2
t n1  n 2    2
 X 1  X 2   t 2
S1
2

n1

N (0,1)
ˆ MV  z  2 ˆ MV
S2
2
n2
n2
  ˆ MV
 ˆ MV
t n1  n 2  2
  n  1 S 2  n  1 S
;

2
2


1


2
 2

n2
   1   2 
n1

N (0,1)
Intervalo
S
2
1 - 2
1 = 2



Distribución

Descargar

Cap7.2001