Departamento de Física
Universidad de Jaén
Teoría de la medida
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1- Introducción
 La Física y otras ciencias persiguen la descripción cualitativa y

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

cuantitativa de los fenómenos que ocurren en la naturaleza. Esto
implica MEDIR las magnitudes que intervienen en el fenómeno.
El resultado de una medida es un número. Si se repite la medida (en las
mismas condiciones) los resultados serán en general diferentes.
Esto indica imprecisión, debida a multitud de factores, instrumentos,
agentes físicos como la temperatura, presión atmosférica, etc.
No existe la medida perfecta.
Objetivo: buscar el intervalo de valores (margen de error cometido)
entre los que esté el valor real de la magnitud medida.
Por tanto, toda medida deberá ir acompañada de su error de forma que
sepamos su calidad y exactitud.
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1- Introducción
 El fin de un experimentador no es solo procurar que sus errores sean
mínimos, sino que sean lo suficientemente pequeños para que no
afecten a los cálculos o resultados y a las conclusiones que se puedan
inferir de las medidas experimentales.
 Definiciones:
Un aparato es exacto si las medidas que se realizan con él son
todas muy próximas al valor cierto de la magnitud medida.
Un aparato es preciso si la diferencia entre diferentes medidas de
la misma magnitud es muy pequeña.
La sensibilidad de un aparato es la división más pequeña de su
escala o la última cifra de su pantalla. Este valor se asocia con el
llamado Error Instrumental del aparato.
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1- Introducción
 Si medimos una magnitud física cuyo valor exacto es x0, obteniendo el
número x, definimos el Error Absoluto de la medida,
x  x  x0
 Y el Error Relativo como:
 r ( x )  100
x
x0
 Ahora bien, como es imposible conocer el valor cierto de la magnitud,
solo podemos tomar varias medidas repetitivas, lo que permitirá tomar
como valor exacto (x0) de la medida, la Media Aritmética de las
mismas:
N
xi
x0 
i 1 N
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2.- Medidas Directas
 En general se realizarán, como mínimo, tres medidas (x1, x2, x3). Con
ellas se calcula la media (xm).
 Se calcula la dispersión (D): diferencia entre los valores extremos de
las medidas realizadas:
D = Max [x1, x2, x3] - Min [x1, x2, x3]
D
T

100
 Y el tanto por ciento de la dispersión:
D
- Si TD < 2 %  3 Medidas;
x0  instr (unidades)
- Si 2 % < TD < 8 %  6 Medidas
xm
 x = Mayor de {D/4, instr )
(3 más)
- Si 8 % < TD < 16 %  15 Medidas 
x 
 (x
i
 xm )
2
N ( N  1)
(12 más)
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2.- Medidas Directas
 En general se realizarán, como mínimo, tres medidas (x1, x2, x3). Con
ellas se calcula la media (xm).
 Se calcula la dispersión (D): diferencia entre los valores extremos de
las medidas realizadas:
D = Max [x1, x2, x3] - Min [x1, x2, x3]
D
T

100
 Y el tanto por ciento de la dispersión:
D
- Si TD < 2 %  3 Medidas;
x0  instr (unidades)
- Si 2 % < TD < 8 %  6 Medidas
xm
 x = Mayor de {D/4, instr )
(3 más)
- Si 8 % < TD < 16 %  15 Medidas 
x 
 (x
i
 xm )
2
N ( N  1)
(12 más)
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3.- Expresión de las Medidas. Redondeo
 Número de cifras correctas para expresar el ERROR (por convenio):
- Si la primera cifra significativa del error es 1 ó 2  Dos cifras
- Si la primera cifra significativa del error es > 2
 Una cifra
 Redondeo: Para despreciar el resto de cifras del error se redondea
según el valor de la siguiente cifra que vamos a despreciar (si es mayor
de "5" se añade una unidad a la anterior).
 Por ejemplo 83 y 246 se redondean a 80 y 250.
 La medida está acotada por su error, por tanto debe tener las cifras
necesarias para que su última cifra significativa sea del mismo orden
decimal que la última del error.
 Para despreciar las restantes cifras se procederá a redondear también
su valor.
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3.- Expresión de las Medidas. Redondeo
 Por tanto toda medida se debe dar con su número correcto de cifras ±
su cota de error, seguido de las unidades de la magnitud de la medida.
 Ejemplos:
12.3401 ± 0.662
1.0 ± 0.00720
431.047 ± 97.304
0.83710 ± 0.1310
23.155 ± 1.0721
37613.01 ± 253.12

12.3 ± 0.7
1.000 ± 0.007
430 ± 100
0.84 ± 0.13
23.2 ± 1
37610 ± 300
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4.- Medidas Indirectas
 Las Magnitudes Indirectas son aquellas que se obtienen a través de
ecuaciones que las relacionan con Magnitudes Directas.
 Supongamos que una magnitud física "y", depende de un conjunto
de magnitudes directas x1, x2, x3, …, xn, es decir:
y = f (x1, x2, x3, …, xn)
 donde conocemos:
xi = x0i  xi
i = 1, …. N
 Por tanto y0 viene dado por:
y0 = f (x01, x02, x03, …, x0n)
n
 y su error absoluto:
y

i 1
f
 xi
 xi
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4.- Medidas Indirectas
 Ejemplos:
1) y = a x
y = a x
2) y = x/z
y
1
z
x 
x
z
2
z
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5.- Representación Gráfica
 Ventajas de la Representación Gráfica de resultados experimentales:
• Una gráfica permite destacar el conjunto del fenómeno en el
intervalo en que se han hecho las medidas.
• Permite conocer otros valores de la variable dependiente sin
necesidad de determinación experimental.
• Pone de manifiesto medidas afectadas de un error anormal.
 Para que de la representación gráfica se obtenga la máxima
información ha de ajustarse a ciertas normas:
- En papel milimetrado o logarítmico.
- Llevar un título suficientemente explícito en la parte superior y,
sobre los extremos de los ejes la indicación de la magnitud
representada en cada uno de ellos, así como sus unidades.
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5.- Representación Gráfica
- También puede anotarse una tabla de valores de las variables
obtenidos en la experiencia
- Deben escogerse las escalas de ambos ejes, de forma que
comprendan solo los intervalos en los cuales están las medidas
realizadas. Por tanto, puede ocurrir que las escalas no comiencen en
cero o no sean iguales en los dos ejes.
- Sobre los ejes sólo se indican los valores correspondientes a las
divisiones enteras de la escala. No deben escribirse sobre ellos los
valores correspondientes a las medidas realizadas.
- Los valores medidos se representan por un punto, correspondiente a
sus coordenadas y rodeados por el llamado rectángulo de error cuya
base abarca desde (x0 - x) hasta (x0 + x) y cuya altura va desde
(y0 - y) hasta (y0 + y).
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5.- Representación Gráfica
 Si la representación de N puntos experimentales (xi , yi) se ajusta a una
línea recta, se trazará la RECTA DE REGRESIÓN LINEAL por el
método de Mínimos Cuadrados.
Y=aX+b
 donde a y b son la pendiente de la recta y la ordenada en el origen,
respectivamente; parámetros que se determinan con la condición de
que se ajuste la recta lo mejor posible a los datos experimentales.
a=
N  x i yi -  x i  yi
Nx
2
i
- ( x i )
2
b=
 x i2  y i -  x i  x i y i
N  x i2 - (  x i )
2
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5.- Representación Gráfica
 Y se define el factor de correlación
r=
N  x
N  yi x i   x i  yi
2
i
 ( x i )
 N  y
2 1/ 2
2
i
 ( yi )
2

1/ 2
este parámetro proporciona información sobre la validez del ajuste;
cuanto más se aproxime (en valor absoluto) a la unidad, tanto mejor
se ajusta la recta al conjunto de puntos experimentales.
Simulación de Min. Cuadrados.
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5.- Representación Gráfica
 Los errores cometidos en la determinación de estos parámetros son:
  (yi - a x i  b) 

a = 
 ( N  2)  ( - x 2 
) 
xi

2
 1

x

b = 

 N  ( x - x )2 
i


2
1/ 2
1/ 2
  ( yi - a x i  b )
·

( N  2)

2




1/ 2
 Con el análisis de regresión ya no es necesario trazar la recta de la
gráfica de forma aproximada:
Se eligen dos valores de abscisas (eje x) dentro del intervalo de valores
experimentales, y con la expresión (Y = a X + b), con los valores
obtenidos de a y b, se calculan sus correspondientes ordenadas (eje y).
Con estos dos puntos se traza la recta que mejor ajusta al experimento.
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Mecánica Ondulatoria - Universidad de Jaén