1
2
Objetivos:
1. Conocer los símbolos de desigualdad.
2. Conocer las propiedades básicas de las
desigualdades.
3. Expresar una desigualdad en forma de
intervalo.
4. Expresar una desigualdad en forma gráfica.
Veremos en esta sección algunos conceptos básicos
que son de utilidad en la solución de desigualdades
lineales y compuestas.
Los símbolos de desigualdad
 Mayor
que

Menor
que

Mayor
o igual
que

Menor
o igual
que
3
Definición
Sean a y b dos números reales. Se dice
que a es menor que b, si b - a es un número
positivo. En tal caso escribimos a < b.
Esto significa que a está a la izquierda de b en
la recta numérica.
a
b
Ejemplos:
1. 3 < 5
2. -6 < -3
a < b es lo mismo que b > a
4
5
Propiedades de las desigualdades
1. La propiedad de tricotomía
Para los números reales a y b,
sólo una de las siguientes es cierta:
a<b
a=b
a>b
6
2. La Propiedad no negativa
2
Si a es un número real entonces, a  0
Todo número elevado al cuadrado es
positivo o cero.
1.  2   0
2
2.  6   0
2
3.  3  0
2
7
3. La propiedad transitiva para las desigualdades
Si a < b y b < c, entonces a < c.
Si a > b y b > c, entonces a > c.
Ejem plo :
1. 5  7
2. 65  7
7  9 entonces 5  9
y
y
7  4 entonces 6 5  4
8
4. La propiedad aditiva de las desigualdades
Si a < b, y c  R entonces a + c < b + c.
Si a > b, y c  R entonces a + c > b + c.
E je m p lo :
x 1 4
x  1 1
x  3
 4 1
9
5. La propiedad multiplicativa de las desigualdades
Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.
Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.
Si a > b y c > 0, entonces ac > bc.
Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.
Aclaración: Si se multiplica o divide en ambos lados de
una desigualdad por un número negativo el sentido o
dirección del signo de la desigualdad cambia.
10
E jem plo :
7 > 4
3 7
>
3
4
21 > 12
E jem plo :
19 < 30
 2 19

 2  30
38 >  60
11
Intervalos
1. Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se
denota el intervalo cerrado ab por [a, b] y se define
como el conjunto de todos los números reales x tal
que a < x < b.
[
a
x
]
b
[a, b]=  x  R a  x  b 
12
2. Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se
denota el intervalo abierto ab por (a, b), y se define
como el conjunto de todos los reales x tal que
a < x < b.
(
a
(a, b) =
)
b
 x R
a xb
3. Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se 13
denota el intervalo semi abierto o semi cerrado ab por
(a, b], y se define como el conjunto de todos los
números reales x tal que a < x < b.
(
a
x
]
b
(a, b] =  x  R a  x  b 
4. Sean a y b dos números reales tal que a < b.
Denotamos el intervalo semi abierto o semi cerrado ab
por [a, b), y se define como el conjunto de todos los
números reales x tal que a < x < b.
[
a
x
)
b
[a, b) =  x  R a  x  b 
14
5. Si a es un número real. Se denota el intervalo de los
números mayores o iguales que a por [ a ,  ) y se
define como el conjunto de todos los números reales x
tal que x > a.
[
a
x
[a ,  )   x  R a  x   
  x  R x  a
15
16
6. Si a es un número real. Se denota el intervalo de los
números mayores que a por ( a ,  ) y se define como
el conjunto de todos los números reales x tal que
x > a.
(
a
(a,  ) 
x
x  R
x  a
7. Si a es un número real. Se denota el intervalo de los
números menores que a por    , a  y se define
como el conjunto de todos los números reales x tal
que
x < a.
x
)
a
(   , a )  x  R x  a 
17
8. Si a es un número real. Se denota el intervalo de los
números menores o iguales que a por    , a  y se
define como el conjunto de todos los números reales x
tal que x < a.
x
]
a
(   , a ]   x  R   x  a 
  x  R x  a
18
19
9 .    ,   consiste
de todos los números
reales x tal que    x   (todos los reales, R)
R
20
Ejemplo:
Escriba el conjunto de soluciones de la
desigualdad -3 < x < 2 usando notación de
intervalo y en forma gráfica.
Intervalo =   3 , 2 
[
-3
0
)
2
21
Resumen de intervalos:
Intervalo
[a, b]
[a, b)
(a, b]
Notación de
Conjuntos
Forma gráfica

a  x  b

 x  R a  x  b


a
b


a
b
x  R
x  R
a  x  b
a
b


a
b
a , b 
a ,  
 x  R a  x  b
x  R
x  a

a ,
x  R
x  a


  , a   x  R x  a
  , a   x  R x  a
   ,    x  R   x   
a
a

a

a
22
Descargar

No Slide Title