Modelo
m/m/s
Teoría de Colas
SISTEMA MULTIPLE
M/M/s
Teoría Modelo m/m/s
Teoría modelo m/m/s
Sistema de cola M/M/s

Características
- Clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una
esperanza l.
- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente.
- Existen s servidores, cada uno atiende a una tasa de m clientes.
- Existe una población infinita y la posibilidad de infinitas
filas.
Descripción del modelo



Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y s
servidores, La disciplina será FIFO
Las llegadas se producen según un proceso de
Poisson de razón l, donde l es el número medio de
llegadas por unidad de tiempo y 1/l es el tiempo
medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se
distribuirán exponencialmente, Exp(l)
Los tiempos de servicio también se distribuirán
exponencialmente, Exp(m), de tal manera que m es
el número medio de clientes que cada servidor es
capaz de atender por unidad de tiempo y 1/m es el
tiempo medio de servicio
Condición de no saturación

Se demuestra que si lsm, el sistema se satura,
es decir, el número de clientes en la cola crece
indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,
la condición de no saturación será:
  1,

donde
 
l
sm
Nosotros sólo estudiaremos las colas que no se
saturan, Cuando una cola no se satura, también
se dice que alcanza el estado estacionario,
Probabilidades

Suponiendo que el sistema no se satura, se
deducen las siguientes fórmulas para las
probabilidades pn de que haya n clientes en el
sistema, donde nN:
 c 
p0  

 s! 1   

s
s
s 1

n0
s 


n! 
n
1
  s  n
p 0 , si n  0 ,1,..., s

 n!
pn  
s
n
s


p 0 , en otro caso
 s!
Medidas de rendimiento

Número medio de clientes en cola:
s 
s
Lq 

s 1
p0
s! 1   
2
Usamos razonamientos ya vistos para obtener:
W  Wq 
Lq  lW q
1
m
L  lW
Otras medidas de rendimiento

Número medio de servidores ocupados, S, En
el estado estacionario, la razón de las salidas
será igual a la razón de las llegadas:
Sm  l  S 

l
m
 S
Probabilidad de que un trabajo tenga que
esperar para recibir su servicio (fórmula de
retraso de Erlang):
c  p0
s
q
s
s! 1   
Teoría Modelo m/m/s
M  número de canales abiertos
l  tasa promedio de arribo
m  tasa promedio de servicio en cada canal
Po  Probabilid ad de que existan CERO personas o unidades en el sistema 
Po 
1
 n  M 1 1  l  
1 l 
   
 
 
 n  0 n !  m   M !  m 
n
M
Mm
para M m  l
Mm  l
L s  número promedio de personas o unidades en el sistema :
LS 
lm  l 
 m
M
M
 1 .!.  M m  l 
2
Po 
l
m
Teoría Modelo m/m/s
W s  Tiempo promedio que una unidad permanece
en el sistema,
(en la cola y siendo servida (atendida) ) 
WS 
m  l 
 m
M
M
 1 ! M m  l 
2
Po 
1
m

LS
l
L q  Número promedio de personas o unidades en la línea o cola, en espera de servicio 
Lq  LS 
l
m
 LS  
W q  Tiempo promedio que una persona o unidad se
tar da en la cola esperando
Wq  WS 
1
m

Lq
l
por servicio 
Teoría Modelo m/m/s
1
P0 
  sm

s!  s m  l
s
 lm

 

s 1


n0
n!
s
Lq 
( s  1)! ( s m  l )
Ws  Wq 
Pn 

s! s
2
P0
1
m
n
ns
P0 , si n  k
Ls  Lq 
Pn 

n
l
m
Wq 
n
n!
P0 , si n  k
 sm
Pw   
s!  s m  l
1
s

 P0

Lq
l
Teoría Modelo m/m/s
Si s  2
Lq 

3
4
2
Si s  3
Lq 

4
( 3   )( 6  4    )
2

P0 
Medidas de performance
1
s 1

n0
1 l



m

n! 
l



m


Pn 
n!
Pn 


1 l
sm




 


m


s!
 sm  l 
n
s
n
l



 m
s! s
ns
for n  s.
P0
n
P0
for
n > s.
s
W
l  m


m


 s  1!  s m  l 
2
P0 
 sm

 sm  l

 P0

Las medidas del performance L, L , W , pueden ser obtenidas
q porq,las formulas.
Pw 
l 


s!
 m
s
1
 
l
sm
1
m
Modelo M/M/s CASO ESPECIAL
Ejemplos

Ejemplo: Usando L como medida de
rendimiento, comparar estas dos alternativas:
Alternativa 1:
l
Alternativa 2:
m
m/2
l
m/2
Ejemplos

Alternativa 1:
L1 


1 
Alternativa 2:
l
l
2 

 
m
m
2
2
 2 


 2! 1   

2
p 02
2
2 1

n0
2  
n!
n




1
Ejemplos
 4
 
1 2
 2 1   
2
p 02
p 02




1
 4  2  2  4  4
 
2 1   

2
 2  2 

 
 2 1    
1

2
1 
1 

1 
2l
L 2  l W 2  l  W q 2  m   l W q 2 
 lWq2  2
m
2 

4  p 02
3
L2  Lq 2  2  
2 1   
2  1   
3
2
 2 
1    1   
2
 2




1
Ejemplos
L2 

2
3
2  2  2
3
1   1   
 2 
1   1   
2
3

1   1   
Para que la alternativa 1 sea mejor, ha de
cumplirse que L1<L2:

2
 

2

 
 0  1 
1   1     1  
1 
1 

 1   2    1

Como <1 siempre se cumple, tendremos que
la alternativa 1 siempre es mejor, Es decir, no
conviene dividir la capacidad de procesamiento
en dos servidores
Ejemplos

Ejemplo: Usando el número medio de clientes en el
sistema como medida de rendimiento, comparar
estas dos alternativas:
Alternativa 2:
Alternativa 1:
l/2
m/2
m/2
l
l/2
m/2
m/2
Ejemplos

Alternativa 1 (nótese que hay 2 colas):
L1  2

1
1  1

2
1 
,
donde
 
l
m
Alternativa 2 (es la alternativa 2 del ejemplo
anterior):
2 
l
l

 
m
m
2
2
L2 
2
1   1   
Ejemplos

Para que la alternativa 2 sea mejor, ha de
cumplirse que L1>L2:
2
2
 2

1

 
 0  1 
1   1     1  
1 
1 

 1   1   0

Como >0 siempre se cumple, tendremos que
la alternativa 2 siempre es mejor, Es decir, no
conviene poner dos colas, sino tener una única
cola global
Ejemplos


Ejemplo: En una copistería se dispone de 3
máquinas fotocopiadoras a disposición del público,
Cada máquina es capaz de servir, por término
medio, 8 trabajos cada hora, A la copistería llegan
como promedio 5 clientes a la hora,
Parámetros del sistema: l = 5 clientes/h, m = 8
clientes/h, s = 3 servidores, El sistema no se satura
porque <1,
 
l
sm

5
3·8

5
24
Ejemplos

¿Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas
estén libres a la vez?
 s 
p0  

 s! 1   

s
s
s 1

s 
n0


n! 
n
0
1
2
 33  3



3 
3 
3 




 3! 1   
0
!
1
!
2!






1
1
 3 


 3! 1   

3
3
2

3  
n!
n0
5
25 
 125

1 

8 128 
 2432
n
1

304




1

 0,5342706
569
¿Cuál es el número medio de clientes en la cola?
s 
s
Lq 
s 1
p0
s! 1   
2
3 
3

4 304
569
3! 1   
2

302
41791
 0,00722643
clientes
Ejemplos

¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola?
Wq 

Lq
l
52

5·41791
 0 ,00144529
h
35979
¿Cuál es el tiempo medio de espera en el sistema?
W  Wq 

302

1
m

52

35979
1
8

514
 0 ,126445
h
4065
¿Cuál es el número medio de clientes en el
sistema?
L  l W  5·
514
4065

514
813
 0.632226
clientes
Ejemplo….
OFICINA POSTAL TOWN


La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en orden a:
LaLaoficina
postal Town atiende público los Sábados
– evaluación del nivel de servicio prestado.
entre las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m.
–

El efecto de reducir el personal en un dependiente .
Datos
- En promedio, 100 clientes por hora visitan la oficina postal
durante este período. La oficina tiene tres dependientes.
- Cada atención dura 1.5 minutos en promedio.
- La distribución Poisson y exponencial describen la llegada de
los clientes y el proceso de atención de estos respectivamente.
SOLUCION


Se trata de un sistema de colas M / M / 3 .
Datos de entrada
l  100 clientes por hora.
m  40 clientes por hora (60 / 1.5).
Existe un período estacionario (l < km ?
l  100 < km  3(40) = 120.
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