2.1 DEFINICIONES LINEAS DE ESPERA, CARACTERISTICAS Y
SUPOSICIONES
Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos
matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas.
Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud
promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta
información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la
capacidad de servicio apropiada.
Una situación de línea de espera, se genera de la siguiente manera: El cliente llega a una
instalación se forma en un línea de espera. El servidor elige a un cliente de la línea de
espera, para comenzar el servicio. Al término del servicio se repite el proceso de elegir un
nuevo cliente.
Cliente.- Unidades que entran al sistema para recibir un servicio. Pueden ser personas,
cartas, carros, incendios, ensambles intermedios en una fábrica, etc.
Servidor.- Unidades encargadas de prestar un servicio. Pueden ser las cajas en un banco,
en un supermercado, unidades de emergencias, un médico, una máquina, etc.
Disciplina de servicio.- Regla establecida para proporcionar un servicio a un cliente en la
línea de espera.
TIPOS DE LINEAS DE ESPERA.
2.2 Terminología Y Notación
Esta notación sirve para etiquetar o nombrar a los diferentes
modelos de líneas de espera que se pueden tener. La notación
consta de 6 números de la forma siguiente: a/b/c/d/e/f
Donde los símbolos representan lo siguiente:
a= La distribución de tiempo entre llegadas.
b= La distribución de tiempo de servicio.
c= El número de servidores en paralelo.
d= Tipo de disciplina en el servicio (FCFS, LCFS, SIRO,
PRIORIDAD).
e= Número máximo admitido en el sistema (línea de espera + en
servicio).
f= Tamaño de la población de donde se extrae los clientes.
Para reemplazar a los símbolos a y b se usan las siguientes iniciales:
M = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución exponencial
entrada o salida de Poisson (o Markoviana).
D= Cuando el tiempo de llegada o servicio es determinista
Ek = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución de Erlangs
con parámetro K.
G = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución general
(cualquier distribución arbitraria).
2.3 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE.
PROCESO DE NACIMIENTO PURO Y MUERTE PURA
En el primer proceso, los clientes llegan y nunca parten y en el segundo proceso los clientes
se retiran de un abasto inicial. En ambos casos los procesos de llegada y retiro ocurren de
manera aleatoria. Las dos situaciones se denominan proceso de nacimiento puro y proceso
de muerte pura.
MODELO DE NACIMIENTO PURO
Considere la situación de emitir actas de nacimiento para bebes recién nacidos. Estas actas
se guardan normalmente en una oficina central de Registro Civil. Hay razones para creer que
el nacimiento de bebes y, por ello, la emisión de las actas correspondientes es un proceso
completamente aleatorio que se puede describir por medio de una distribución de Poisson.
MODELO DE MUERTE PURA
Considere la situación de almacenar N unidades de artículo al inicio de la semana, para
satisfacer la demanda de los clientes durante la semana. Si suponemos que la demanda se
presenta a una tasa de µ unidades por día y que el proceso de demanda es completamente
aleatorio, la probabilidad asociada de tener n artículos en el almacén después de un tiempo t,
la da la siguiente distribución truncada de
2.4 MODELOS POISSON
Existen una gran variedad de modelos para los sistemas de colas, las dos
características más importantes serán :
a) Los tiempos de llegada.
b) Los tiempos de servicio.
En los sistemas de colas reales no es posible determinar con exactitud estos
dos tiempos, es decir no son determinísticos, los más comunes son los
modelos probabilísticos, donde se dan un promedio de estos tiempos, por lo
tanto tenemos que usar una distribución de probabilidad que se ajuste lo más
cercano a la realidad.
Para calcular la probabilidad de cuál será el tiempo entre llegadas se utiliza la
distribución exponencial, esta distribución tiene una función de densidad de
probabilidad: (densidad de probabilidad continua).
Donde: T es el tiempo entre los eventos (tiempo de llegadas o tiempo deservicio).
α es la tasa media que ocurra una llegada o servicio.
Si se grafica esta distribución de probabilidad nos da lo siguiente:
La media de esta función esta dado por:
La varianza de esta función es:
Aquí se puede observar las siguientes propiedades de esta distribución:1) La
probabilidad de que ocurra un evento siempre es positiva pero menor que
12) fT(t) es una función decreciente respecto a t, es decir es más probable
que el valor de T este cercano a la media.3) La distribución de probabilidad
del tiempo para que ocurra un evento, no depende del tiempo en que ocurrió
el evento anterior, es decir es independiente.
2.4.1 Un servidor.
Este modelo puede aplicarse a personas esperando en una cola para comprar
boletos para el cine, a mecánicos que esperan obtener herramientas de un
expendio o a trabajos de computadora que esperan tiempo de procesador.
Llegadas.
Consiste en la entrada al sistema que se supone es aleatoria. No
tienen horario, es impredicible en que momento llegarán . El modelo también
supone que las llegadas vienen de una población infinita y llegan una a la vez .
Cola. En este modelo se considera que el tamaño de la cola es infinito. La
disciplina de la cola es primero en llegar, primero en ser servido sin prioridades
especiales. También se supone que las llegadas no pueden cambiar lugares en
la línea (cola) o dejar la cola antes de ser servidas.
Instalación de Servicio. Se supone que un solo servidor proporciona el
servicio que varía aleatoriamente.
Salidas. No se permite que las unidades que salgan entren inmediatamente
al servicio.
Características de operación . Un servidor y una cola. Llegada Poisson. Cola
infinita, primero en llegar primero en ser servido. Tiempos de servicio
exponenciales.
Ejemplo : (Un supermercado ) Supóngase un supermercado grande con muchas
cajas de salida, en donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con
una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio
entre las lìneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de
una sola lìnea, cada uno con
una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora :
Dados A = 9 clientes por hora S = 12 clientes por hora
Entonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes de
ser servido. En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres
en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja
está ocupada el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32 % del tiempo habrá cuatro
personas o más en el sistema ( o tres o más esperando en la cola).
2.4.2 Modelos de varios servidores
Supóngase que las llegadas son Poisson, los tiempos de servicio son
exponenciales, hay una sola línea, varios servidores y una cola infinita que
opera con la disciplina de primero en llegar primero en ser servido. Las
ecuaciones para las características de operación se vuelven un poco más
complicadas. Sea : N = número de servidores. A = tasa promedio de llegadas
(llegadas por unidad de tiempo). S = tasa promedio de servicio por cada
servidor (llegadas por unidad de tiempo).
La cantidad P0 es la probabilidad de que no haya llegadas en una unidad de
tiempo, lo cual no lo hace más fácil de calcular. Para dos o tres servidores
pueden combinarse y simplificar las dos ecuaciones para obtener, para N=2
2.5 ANÁLISIS DE COSTOS
Costos Históricos.- Medida del valor de mercado de un activo al momento de su
compra para efectos de impuestos.
• Costos Corrientes.- Medida del valor de mercado de un activo en el presente
relevante para la toma de decisiones gerenciales.
• Determinantes de los costos corrientes
• A) Costo de reemplazo.- Costos de duplicar la capacidad productiva usando
tecnología del momento actual.
• B) Costo de oportunidad.- Valor al que se renuncia asociado con el uso actual
del activo en lugar de su uso en la mejor alternativa. En el Largo Plazo todos los
factores son variables por tanto no hay costos fijos. En especial, el tamaño de
planta es
variable.
• Suponga que los precios de los factores no cambian con el
nivel de producción, existe una relación directa entre las
funciones de costos y de producción.
BIBLIOGRAFIA
http://es.scribd.com/doc/59249705/5-Lineas-de-espera
http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/tema33.htm
http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/tema37.htm
Introducción a la Inv. Operaciones (Hillier-Lieberman) McGrawHill Octava edición 2007.
Investigación de operaciones Shamblin, J. y Stevens . México: McGraw-Hill. 1975
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