CATEDRATICA: M.C. ZINATH JAVIER
GERONIMO
INVESTIGACION DE OPERACIONES
UNIDAD II: LINEAS DE ESPERA
GENRY RICARDEZ GARCIA
El problema es determinar que capacidad o tasa de servicio
proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el
cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con
exactitud en que momento llegarán los clientes. También el
tiempo de servicio no tiene un horario fijo.
Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una
colección de modelos matemáticos que describen sistemas de
líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los
modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado
estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de
espera promedio para un sistema dado. Esta información,
junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para
determinar la capacidad de servicio apropiada.
Un sistema de colas puede dividirse en sus dos componentes
de mayor importancia, la cola y la instalación de servicio . Las
llegadas son las unidades que entran en el sistema para
recibir el servicio. Siempre se unen primero a la cola; si no hay
línea de espera se dice que la cola esta vacía . De la cola, las
llegadas van a la instalación de servicio de acuerdo con la
disciplina de la cola, es decir, de acuerdo con la regla para
decidir cuál de las llegadas se sirve después. El primero en
llegar primero en ser servido es una regla común, pero podría
servir con prioridades o siguiendo alguna otra regla. Una vez
que se completa el servicio, las llegadas se convierten en
salidas.
Ambas componentes del sistema tienen costos
asociados que deben de considerarse.
Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien
se puede aprovechar en otra cosa y esta dado por :
Costo total de espera = CwL
Donde Cw = costo de espera por hora (en dólares) por llegada
por unidad de tiempo y L= longitud promedio de la línea.
Este en la mayoría se trata de comprar varias instalaciones de
servicio , en estos casos solo se ocupan los costos
comparativos o diferenciales.
Aquí hay que tomar en cuenta que para tasas bajas de
servicio, se experimenta largas colas y costos de espera muy
altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de
espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total
disminuye, sin embargo , finalmente se llega a un punto de
disminución en el rendimiento. Entonces el propósito es
encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el
mínimo.
Las llegadas pueden ser personas, cartas, carros, incendios,
ensambles intermedios en una fábrica, etc. En la siguiente
tabla se muestran algunos ejemplos de varios sistemas de
colas.
Esta notación sirve para etiquetar o nombrar a los diferentes
modelos de líneas de espera que se pueden tener. La notación
consta de 6 números de la forma siguiente: a/b/c/d/e/f
Donde los símbolos representan lo siguiente:
a= La distribución de tiempo entre llegadas.
b= La distribución de tiempo de servicio.
c= El número de servidores en paralelo.
d= Tipo de disciplina en el servicio (FCFS, LCFS, SIRO,
PRIORIDAD).
e= Número máximo admitido en el sistema (línea de espera + en
servicio).
f= Tamaño de la población de donde se extrae los clientes.
Para reemplazar a los símbolos a y b se usan las siguientes
iniciales:
M = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución
exponencial entrada o salida de Poisson (o Markoviana).
D= Cuando el tiempo de llegada o servicio es determinista
Ek = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución
de Erlangs con parámetro K.
G = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución
general (cualquier distribución arbitraria).
Como observamos los elementos básicos para crear un modelo de
línea de espera, dependerá de los siguientes factores:
Distribución de llegadas. (Individuales o en grupo).
Distribución de servicio. (Individuales o en grupo).
Diseño de la instalación (estaciones en serie, paralelo, o en red)
Disciplina de servicio
Tamaño de la línea (finita o infinita)
Fuente de los clientes (finita o infinita)
La mayoría de los modelos de colas suponen que las
entradas y salidas al sistema de colas, ocurren de
acuerdo al proceso de nacimiento y muerte.
En este caso un nacimiento se refiere a la entrada de un
nuevo cliente y una muerte a la salida de un cliente
servido.
Este proceso nos sirve para calcular el número de
clientes probables que habrá en un sistema en un
tiempo determinado t. N(t) número de clientes que hay
en el momento t.
Este proceso de nacimiento y muerte describe en
términos probabilísticos como cambia N (t) al aumentar
t.
Este proceso hace las siguientes suposiciones:
1) Dado N (t)=n, la distribución de probabilidad para la
próxima llegada es
exponencial. Con un parámetro λn (n= 1, 2, 3,….)
2) Dado N (t)=n, la distribución de probabilidad para la
próxima muerte es
exponencial. Con un parámetro μn (n= 1, 2, 3,….)
3) Solo un nacimiento o una muerte puede ocurrir a la vez.
En la aplicación de problemas λn representa la tasa media de
llegadas y μn
tasa media de salidas.
Existen una gran variedad de modelos para los sistemas de
colas, las dos características más importantes serán:
a) Los tiempos de llegada.
b) Los tiempos de servicio.
En los sistemas de colas reales no es posible determinar con
exactitud estos dos tiempos, es decir no son determinísticos,
los más comunes son los modelos probabilísticos, donde se
dan un promedio de estos tiempos, por lo tanto tenemos que
usar una distribución de probabilidad que se ajuste lo más
cercano a la realidad.
Para calcular la probabilidad de cuál será el tiempo entre
llegadas se utiliza la distribución exponencial, esta distribución
tiene una función de densidad de probabilidad: (densidad de
probabilidad continua)
Donde: T es el tiempo entre los eventos (tiempo de llegadas
o tiempo de servicio)
α es la tasa media que ocurra una llegada o servicio.
Si se grafica esta distribución de probabilidad nos da lo
siguiente:
La media de esta función esta dado por:
La varianza de esta función es:
Aquí se puede observar las siguientes propiedades de esta
distribución:
1) La probabilidad de que ocurra un evento siempre es
positiva pero menor que 1
2) fT(t) es una función decreciente respecto a t, es decir es
más probable que el valor de T este cercano a la media.
3) La distribución de probabilidad del tiempo para que ocurra
un evento, no depende del tiempo en que ocurrió el evento
anterior, es decir es independiente.
Cálculos en los modelos de colas
Pn = probabilidad que en el estado estable haya n clientes en el
sistema
Ls = número de clientes que espera halla en el sistema
Lq = número de clientes que espera halla en la línea de espera.
Ws = Tiempo de espera en el sistema (línea mas servicio)
Wq = Tiempo de espera en la línea de espera.
(M/M/S) S=1 Y S>1
(M/M/S) VARIACION DE COLA FINITA S=1 Y S>1(COLA
FINITA)
(M/M/S) VARIACION DE FUENTE DE ENTRADA FINITA S=1
Y S>1
REPARACION DE MAQUINAS
(M/M/1)(GD/∞/∞), (M/M/C)(GD/∞/∞)
(M/M/1)(GD/N/∞), (M/M/C)(GD/N/∞) VARIACION DE COLA
FINITA (COLA
FINITA)
(M/M/R)(GD/K/K) MODELO DE SERV A MAQ. ORIGEN
FINITO
(M/M/∞)(GD/∞/∞) MODELO DE AUTOSERVICIO.
FORMULARIO DE ACUERDO AL MODELO:
En estos modelos utilizaremos las siguientes literales:
λ = Tasa de llegadas por unidad de tiempo.
μ = Tasa de servicio por unidad de tiempo.
ρ = Intensidad de tráfico del sistema.
π0 = Probabilidad que sistema este ocioso.
πj = Probabilidad que haya j clientes en el sistema
L = Cantidad de personas en el sistema.
Lq = Cantidad de personas en la cola.
Ls = Cantidad de personas en servicio.
W = Tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema.
Wq = Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola.
Ws = Tiempo promedio que un cliente pasa en el servidor.
En este modelo las llegadas son de forma exponencial, el
tiempo de servicio también es exponencial, solo hay un
servidor, el número de clientes que se pueden formar en la
cola es infinito, y el tamaño de la población también es infinito.
Si ρ > 1 no existe estado estable.
En este modelo las llegadas son de forma exponencial, el
tiempo de servicio también es exponencial, existen S números
de servidores que dan los mismos servicios, el número de
clientes que se pueden formar en una sola cola es infinito, y el
tamaño de la población también es infinito.
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Unidad II Lineas de Espera