UNIDAD 2
EMMANUEL VAQUERO FLORES
INVESTIGACION DE OPERACIONES
• Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una
colección de modelos matemáticos que describen sistemas de
líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos
sirven para encontrar el comportamiento de estado estable,
como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera
promedio para un sistema dado. Esta información, junto con los
costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la
capacidad de servicio apropiada.
El modelo simple de teoría de colas que se ha definido en la literatura, se basa en las siguientes
suposiciones:
a). Un solo prestador del servicio y una sola fase.
b). Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas.
c). Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio.
d). Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas las llegadas esperan en
línea hasta que se les da servicio y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola.
• A partir de estas suposiciones se pueden derivar las siguientes estadísticas de desempeño:
r=l/m
P0 = 1- l / m
Pn = P0(l / m)n
Lq =
l2
m(m-l)
Ls = l / ( m - l )
Wq =
l
m(m-l)
Ws = 1 / ( m - l )
Los modelos de línea de espera consisten en fórmulas y relaciones
matemáticas que pueden usarse para determinar las características
operativas (medidas de desempeño) para una cola.
Las características operativas de interés incluyen las siguientes:
Probabilidad de que no haya unidades o clientes en el sistema
Cantidad promedio de unidades en la línea de espera
Cantidad promedio de unidades en el sistema (la cantidad de unidades
en la línea de espera más la cantidad de unidades que se están
atendiendo)
Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera
Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema (el tiempo de
espera más el tiempo de servicio)
Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el
servicio.
• Si λn = cte. -> λn= λ
• Si μn = cte. -> μn= μ
• 1/λ = tiempo de llegada
• 1/μ = tiempo de servicio
• ρ = λ/sμ = fracción de tiempo que los servidores individuales
están ocupados.
• sμ= capacidad de servicio del sistema.
• En el contexto de teoria de colas, se refiere al modelo
probabilístico que describe las llegadas (nacimientos)
y salidas (muertes) de clientes, en un sistema de colas.
• El estado del sistema en el tiempo t, que se denota
N(t), es el número de clientes que hay en el sistema de
colas en el tiempo t
• SUPOSICIÓN 1. Dado N (t) = n, la distribución de
probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo
nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro
(n=0,1,2,….).
• SUPOSICIÓN 2. Dado N (t) = n, la distribución de
probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima
muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro
(n=1,2,….).
• SUPOSICIÓN 3. La variable aleatoria de la suposición 1 (el
tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable
aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la
siguiente muerte) son mutuamente independientes.
l0
0
l1
1
m1
l2
2
m2
ln-2
3
m3
...
n-2
ln
ln-1
n-1
mn-1
n
mn
n+1
mn+1
...
• Esta distribución es muy frecuente en los problemas
relacionados con la investigación operativa, sobre todo en el
área de la gestión de colas. Suele describir, por ejemplo, la
llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una
central telefónica, la llegada de coches a un túnel de lavado,
etc. Todos estos casos pueden ser descritos por una variable
aleatoria discreta que tiene valores no-negativos enteros.
• Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia
para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas
• Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se
hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de
llegadas altas.
• Su forma algebraica es:
l e
k
P (k ) 
l
k!
• Donde:
•P(k) : probabilidad de k llegadas por
unidad de tiempo
•l : tasa media de llegadas
•e = 2,7182818…
P
Llegadas por unidad de tiempo
Según el tipo de sistema de colas, tenemos varios tipos de éstas, las
cuales son:
a) Una línea, un servidor:
El primer sistema que se muestra se llama un sistema de un servidor y
una cola o puede describir una consulta de un médico.
b) Una línea, múltiples servidores
El segundo, una línea con múltiples servidores, es típico de una
peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al
entrar y se les sirve cuando les llega el turno.
c) Varias líneas, múltiples servidores
El tercer sistema, en que cada servidor tiene una línea separada, es
característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo
de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas
independientes de un servidor y una cola. Esto sería válido sólo si
hubiera muy pocos intercambios entre las colas. Cuando el intercambio
es sencillo y ocurre con frecuencia, como dentro de un banco, la
separación no sería válida.
• Costos del Sistemas de Colas
Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio;
estos elementos se unen primero a la cola; si no hay línea de espera se dice que la cola
esta vacía.
• Costo de Espera
Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede
aprovechar en otra cosa y esta dado por:
Costo total de espera = Cw * L
Donde Cw = costo de espera por llegada y por unidad de tiempo, y
L = a longitud promedio de la cola.
• Sistema de Costo Mínimo
Aquí hay que tomar en cuenta (ver Figura 2), que para tasas bajas de servicio se
experimenta largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio
disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total
disminuye, sin embargo, finalmente se llega a un punto de disminución en el
rendimiento. Por lo tanto, se debe encontrar el balance adecuado para que el costo total
sea el mínimo.
• http://www.gestiopolis.com/recursos4/docs/mkt/teoriacola.htm
• http://www.slideshare.net/AnaCGuzman/teora-decolasterminologa-y-notacin
• www1.uprh.edu/wlopez/.../Parte%203%20Teoría%20de%20C
olas.doc.
• exa.unne.edu.ar/informatica/evalua/.../teoria_de_colas.pdf
• www.oaplo.com.ar/Articulos/Proceso-0101.pdf
• Teoría de Colas.
Ninoscka Zencovich B.
Universidad Arturo Prat Sede Victoria (Chile).
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