Medidas de Desempeño
Teoría de Colas
Investigación de Operaciones 2
Medida del performance de los sistemas
de colas
El performance puede ser medido concentrándose
- Los clientes en la cola
- Los clientes en el sistema
 Los períodos transitorios y estáticos complican el
análisis del tiempo de atención.
 Un período transitorio ocurre al inicio de la operación.
- Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largo período
de ejecución.
 Un período estacionario sigue al período transitorio.
- En un período estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el sistema
no cambia a medida que transcurre el tiempo.
- De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor que suma de las
tasas de atención efectiva.
l< m
l< m1 +m2+…+mk
Para un servidor
Para k servidores
l< km
Para k servidores
con tasa se serv. m
cada uno
Estado del sistema de colas
En principio el sistema está en un estado
inicial
Se supone que el sistema de colas llega a
una condición de estado estable (nivel
normal de operación)
Existen otras condiciones anormales
(horas pico, etc.)
Lo que interesa es el estado estable
Desempeño del sistema de colas
Para evaluar el desempeño se busca
conocer dos factores principales:
1. El número de clientes que esperan
en la cola
2. El tiempo que los clientes esperan
en la cola y en el sistema
Medición del Rendimiento de las
Colas
Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar
decisiones para balancear los costos de servicio deseables con
los costos de espera en la línea.
Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:
1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en
la cola
2. Longitud de cola promedio
3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el
sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio).
4. Número de clientes promedio en el sistema.
5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío
6. Factor de utilización del sistema
7. Probabilidad de la presencia de un específico número de
clientes en el sistema.
Medida del performance en
.
periodos estacionarios
P0 = Probabilidad de que no existan clientes en el sist.
Pn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.
L = número de clientes promedio en el sistema.
Lq = número de clientes promedio en la cola.
W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en
el sistema.
Wq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en
la cola.
Pw = Probabilidad de que un cliente que llega deba
esperar para ser atendido.
r = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del tiempo
que cada servidor es ocupado).
Medidas del desempeño del sistema de
colas
1. Número esperado de clientes en la cola
Lq
2. Número esperado de clientes en el
sistema Ls
3. Tiempo esperado de espera en la cola
Wq
4. Tiempo esperado de espera en el
sistema Ws
Medidas del desempeño del sistema de colas:
fórmulas generales
1
Ws  Wq +
m
Ls  l W s
Lq  l W q
Ls  Lq +
l
m
 Formulas
- Las fórmulas representan las relaciones entre L, Lq, W, y Wq.
- Estas fórmulas se aplican a sistemas que cumplen con las siguientes
condiciones:
* Sistemas de colas simples
* Los clientes llegan según una tasa finita de llegada
* El sistema opera bajo las condiciones de períodos
estacionarios.
L=lW
Lq = l Wq
Para el caso de una población infinita.
L = Lq + l / m
Medidas del desempeño del sistema de
colas: ejemplo
Suponga una estación de gasolina a la
cual llegan en promedio 45 clientes por
hora
Se tiene capacidad para atender en
promedio a 60 clientes por hora
Se sabe que los clientes esperan en
promedio 3 minutos en la cola
Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejemplo
La tasa media de llegadas l es 45 clientes
por hora o 45/60 = 0.75 clientes por
minuto
La tasa media de servicio m es 60 clientes
por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto
Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejemplo
W q  3 min
Ws  Wq +
1
m
 3+
1
 4 min
1
L s  l W s  0 . 75  4  3 clientes
L q  l W q  0 . 75  3  2 . 25 clientes
Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejercicio
Suponga un restaurant de comidas
rápidas al cual llegan en promedio 100
clientes por hora
Se tiene capacidad para atender en
promedio a 150 clientes por hora
Se sabe que los clientes esperan en
promedio 2 minutos en la cola
Calcule las medidas de desempeño del
sistema
Probabilidades como medidas del
desempeño
Beneficios:
– Permiten evaluar escenarios
– Permite establecer metas
Notación:
– Pn : probabilidad de tener n clientes en
el sistema
– P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un
cliente no espere en el sistema más
de t horas
Factor de utilización del sistema
Dada la tasa media de llegadas l y la tasa
media de servicio m, se define el factor de
utilización del sistema r.
Generalmente se requiere que r < 1
Su fórmula, con un servidor y con s
servidores, respectivamente, es:
r 
l
m
r 
l
sm
Factor de utilización del sistema ejemplo
Con base en los datos del ejemplo
anterior, l = 0.75, m = 1
El factor de utilización del sistema si
se mantuviera un servidor es
r = l/m = 0.75/1 = 0.75 = 75%
Con dos servidores (s = 2):
r = l/sm = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%
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