Modelo M/M/s/k
Teoria de Colas
Teoría modelo M/M/s/k
Teoria de modelo M/M/s/k

Se deben asignar muchas colas, cada una de un cierto
tamaño límite.

Cuando una cola es demasiado larga, un modelo de
cola infinito entrega un resultado exacto, aun quede
todas formas la cola debe ser limitada.

Cuando una cola es demasiado pequeña, se debe
estimar un límite para la fila en el modelo.

Características del sistema M/M/s/k
- La llegada de los clientes obedece a una distribución Poisson
con una esperanza l.
- Existen s servidores, para cada uno el tiempo de atención se
distribuye exponencialmente, con esperanza m.
- El número máximo de clientes que puede estar presente en
el sistema en un tiempo dado es “k”.
- Los clientes son rechazados si el sistema se encuentra
completo.

Tasa de llegada efectiva.
- Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo.
- La probabilidad de que el sistema se complete es Pk.
- La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes
en el sistema (le).
l = l(1 - P )
e
k
variación de cola finita
(M/M/s/K)

No se permite que el número de clientes supere
una cantidad específica, digamos K, por lo tanto,
la modificación que debe hacerse al modelo
(M/M/s) es cambiar los parámetros ln como se
indica a continuación:
l
l n 
0
para
n  1, 2 ,...., K
para n  K
variación de cola finita
(M/M/s/K)

Para s  1 y s  K tenemos:
 (l / m )

n!


n

  (l / m )
 s! s n - s



0
n
Cn
para
n  1, 2 ,..., s - 1
para
n  s , s  1,... K
para n  K
variación de cola finita
(M/M/s/K)

Por lo cual
 (l / m )
P0

n!


 (l / m ) n
Pn  
P0
n -s
 s! s



0
n
para
0  n  s -1
para n  s , s  1,..., K
para n  K
variación de cola finita
(M/M/s/K)

donde
P0 
1
 s (l / m )
(l / m ) K  l 

  

n 0
n  s 1 s m
n
!
s
!
 

n
s
n -s



Proceso de Nacimiento y
Muerte

Por otra parte, con r = l/(sm) (que no
necesita ser menor que 1)
P0 ( l / m ) r
s
Lq 
s! (1 - r )
s -1
2
1 - r

K -s
- ( K - s )r
s -1
L   nP n  L q  s 1 -  Pn
n 0
n 0

K -s
(1 - r ) 
variación de cola finita
(M/M/s/K)
finalmente
W 
L
l
Wq 
Lq
l
donde

l   l n Pn  l (1 - PK )
n 0
Teoría modelo M/M/s/k
CASO ESPECIAL
COMPAÑÍA DE TECHADOS RYAN

Ryan atiende a sus clientes, los cuales llaman
ordenan su servicio.

Datos
- Una secretaria recibe las llamadas desde 3 líneas telefónicas.
- Cada llamada telefónica toma tres minutos en promedio
- En promedio, diez clientes llaman a la compañía cada hora.

Cuando una línea telefónica esta disponible, pero la
secretaria esta ocupada atendiendo otra llamada,el
cliente debe esperar en línea hasta que la secretaria
este disponible.

Cuando todas las líneas están ocupadas los clientes
optan por llamar a la competencia.

El proceso de llegada de clientes tiene una
distribución Poisson, y el proceso de atención se
distribuye exponencialmente.
La gerencia desea diseñar el siguiente sistema con:
- La menor cantidad de líneas necesarias.
- A lo más el 2% de las llamadas encuentren las líneas ocupadas.
La gerencia esta interesada en la siguiente información:
El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada.
EL número promedio de clientes que están es espera.
El tiempo promedio que los clientes permanecen en línea esperando ser atendidos.
El porcentaje actual de llamadas que encuentran las líneas ocupadas.
SOLUCION
trata
deMun
sistema
M
/ M/sistema
M
/ 1/ /15/ 4 M / M / 1 / 3
 Se sistema
 Datos de entrada
l = 10 por hora.
m = 20 por hora (1/ 3 por minuto).
– WINQSB entrega:
P = 0.533, P = 0.133, P = 0.06
0
1
3
6.7% de los clientes encuentran las líneas
ocupadas.
0.508,PP ==0.258,
0.254,PP ==0.129,
0.127,PP ==0.065,
0.063,PP ==0.032
0.032
PP ==0.516,
1
2
3
4
00 Esto es 1alrededor
2de
= 30.016
la Pmeta
del 2%. 4
5 las linea ocupadas
1.6%3.2%
de los
encuentran
de cltes.
los clntes.
encuentran
las líneas ocupadas
La metaAún
del se
2%puede
puedealcanzar
ser alcanzada.
la meta del 2%
 Otros resultados de WINQSB
Con 5 líneas telefónicas
4 clientes pueden esperar
en línea
Datos de entrada para WINQSB
Descargar

Tema 4: Cadenas de Markov