Bioestadística,2006
Teoría Elemental De Probabilidades
• Fenómenos aleatorios y determinista
• Definición de probabilidades
• Experimentos aleatorios
• Sucesos mutuamente excluyentes
• Sucesos mutuamente no excluyentes
• Sucesos independientes y dependientes
• Probabilidad Condicional
Fenómenos Aleatorios Y Deterministas
Los fenómenos de investigación se clasifican
en dos clases:
a) Deterministas => son aquellos que pueden
explicarse y predecirse con todo exactitud
b) Aleatorios => los que suponen un mayor o
menor grado de incertidumbre y por lo tanto
no pueden predecirse con toda exactitud
Incertidumbre
Incertidumbre por
ignorancia
Falta del conocimiento
del fenómeno que se
estudia
Ignorancia
Incertidumbre por
Aleatoriedad
Producto de la imposibilidad
de controlar las múltiples
causas que el fenómeno
presenta y que pueden
considerarse aleatoria
Incertidumbre
Cálculo De Probabilidades
•
Es una rama de las matemáticas que
tiene por objeto el estudio de los
sucesos o eventos aleatorios, de los
resultados posibles que pueden
obtenerse, y de la medición de la
magnitud de su incertidumbre
•
El cálculo de probabilidades nos
suministra las reglas para el estudio de
los experimentos aleatorios o de azar,
constituyendo la base para la estadística
inductiva o inferencial
Una Definición Más General:
La probabilidad de ocurrencia de un evento es
el grado de certeza con que este puede ocurrir
¿Cuál es la intención de la teoría de
probabilidades?
Es proporcionar un modelo matemático adecuado a la
descripción del comportamiento (aleatorio) de nuestro fenómeno.
A veces el comportamiento puede ser muy similar a modelos
como Binomial, Poisson, Normal etc., pero en otras ocasiones
nosotros lo formularemos
Experimento Aleatorio
Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las
siguientes condiciones:
1.
2.
3.
Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas
condiciones.
Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a
obtener.
El resultado que se obtenga, e , pertenece a un conjunto conocido
previamente de resultados posibles.
Los casos posibles de un experimento reciben además el
nombre de eventos o sucesos elementales, ya que no se
pueden descomponer en términos de otros más sencillos.
El conjunto de todos los eventos elementales recibe el nombre
de espacio de eventos o espacio muestral (U o S).
Ejemplo Nº 1 : Lanzamiento De Un Dado
Si realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado al
aire, tenemos:
Sucesos o eventos elementales: 1,2,3,4,5,6
Espacio Muestral S = { 1,2,3,4,5,6 }
Ejemplos N º 2:-
Lanzamiento de :
Eventos posibles
Dos monedas
CC, CS, SS, SC
Tres monedas
CCC, CCS, CSC, SCC, SSS,
CSS, SCS, SSC
Familia de tres hijos
HHH, HHM, HMH, MHH,
HMM, MHM, MMH, MMM
Cada evento le vamos a
asignar la letra “e” => 8
eventos en los 2 últimos casos
Espacio De Eventos
Es aquel que contienen todos los eventos de un
experimento aleatorio; por ejemplo el espacio de
eventos de lanzamientos de dos dados será:
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
36
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
eventos
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
(UoS)
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
Operaciones básicas con sucesos aleatorios
Unión
Diferencia
Intersección
Proposiciones
•
El evento que consiste en la realización de al menos uno de
los eventos A ó B lo denominamos evento unión o suma:
AUB=A+B
Σ Ai = A1 U A2 U .......U Ak
•
El evento que consiste en la realización simultánea de los
eventos A y B lo denominamos evento producto o
intersección:
A∩B=A*B
╥ Ai = A1 ∩ A2 ∩.......∩ Ak
Más proposiciones..............
• Si un suceso A puede presentarse de k formas diferentes, y
un suceso B puede presentarse de j formas diferentes, el
número total de formas diferentes en que pueden presentarse
A y B, está dado por:
k*j
Ejemplo: Una moneda y un dado
Moneda => k =2
Dado
=> j = 6
k * j = 2*6 = 12 formas diferentes
Más proposiciones.......
• Si un suceso A puede presentarse de k formas diferentes, y
un suceso B puede presentarse de j formas diferentes, el
número total de formas diferentes en que pueden presentarse
A ó B, está dado por:
k+j
Ejemplo: Una moneda y un dado
Moneda => k =2
Dado
=> j = 6
k + j = 2+6 = 8 formas diferentes
Definición De Probabilidad
La probabilidad es un idealización de la proporción de veces
que ciertos resultados ocurrirán en repetidos sucesos de un
experimento.
Se denota P(A) => probabilidad de que un evento A ocurra y
es igual a la proporción de veces que el
evento A se espera que ocurra en
repetidos eventos de un experimento.
Regla de Laplace =>Si un experimento cualquiera puede dar lugar
a un número finito de resultados posibles,y no existe ninguna
relación que privilegie unos resultados en contra de otros, se calcula
la probabilidad de un suceso aleatorio A.
P(A) =
nº de casos favorables a A.
nº de casos posibles.
Visto de otra manera
“Al jugar nos interesa obtener ciertos resultados para ganar, de
manera que, para saber qué posibilidad tengo de ganar, debo
ver qué peso tienen mis eventos con respecto al total que se
pueden presentar en un juego dado”
Esta idea se expresa de la siguiente manera:
P (a) = a/c
; donde
P (a) => Probabilidad de obtener “a” eventos de un total de “c”
a
=> eventos favorables al jugador
c
=> total de eventos que se podrían presentar al jugador
Axiomas de la teoría de
probabilidades
1.
La probabilidad sólo puede tomar valores entre 0 y 1
0 ≤ P(a) ≤ 1
2.
La probabilidad de un suceso seguro es 1, es decir, 100%
3.
La probabilidad de un suceso imposible debe ser 0
4.
La probabilidad de la intersección de dos sucesos debe ser
menor o igual que la probabilidad de cada uno de l,os
sucesos por separado
P(A ∩ B) ≤ P(A)
P(A ∩ B) ≤ P(B)
Axiomas de la teoría de
probabilidades
5.
La probabilidad de la unión de sucesos debe ser mayor que la
de cada uno de los sucesos por separado
P(A U B) >= P(A)
6.
P(A U B) >= P(B)
Si los sucesos son disjuntos debe ocurrir que:
P(A U B) = P(A) + P(B) dado que (A ∩ B) = 0
7.
La probabilidad del suceso contrario de A, debe valer;
P ( A ) = 1 – P(A)
Sucesos mutuamente excluyentes
y no mutuamente excluyentes.
Dos eventos A y B son
mutuamente excluyentes si
no
pueden
presentarse
simultáneamente
A∩B=0
A ∩ B ≠ 0.
AUB=AóB=A+B
A
Dos eventos no son
mutuamente excluyentes,
si la ocurrencia de uno no
imposibilita la ocurrencia
del otro.
B
A U B = A + B - AB.
A
B
Sucesos independientes
y sucesos dependientes
Dos eventos A y B son
independientes cuando la
ausencia o presencia de A
es independiente de la
presencia o ausencia de B.
A ∩ B = (A) (B/A)
donde / significa dado
A ∩ B = (A) (B).
A
Dos eventos son sucesos
dependientes cuando la
ocurrencia o presencia de
A es requisito para la
presencia u ocurrencia de
B
B
A
B
Para no olvidar..............
• La probabilidad de AUB se interpreta en el sentido de que
por lo menos ocurre uno de dos eventos , en el caso de que
ocurra A pero no B, o si ocurre B pero no A; o que ocurran
ambos.
• El evento A y el evento B son mutuamente excluyentes
porque no tienen ningún evento en común, es decir, no tienen
eventos en intersección.
P (AUB) = P (A) + P (B).
La unión de dos o más eventos no excluyentes se obtiene de la
siguiente forma.
P (A U B) = P (A) + P (B) – P(A∩B).
Ejemplo....................
1.
Sucesos mutuamente excluyentes
Lanzar dos dados iguales ;
Evento A: { suma de las dos caras es igual a 6}
Evento B: { suma de las dos caras es igual a 9}
2.
Casos no mutuamente excluyentes:
Lanzar dos dados iguales ;
Evento A: {las dos caras suman un nº mayor que 8}
Evento B: {las dos caras son idénticas}
Regla del producto de probabilidades
Sean dos eventos, la probabilidad del evento intersección se usa
para eventos independientes y dependientes será:
1.P (A∩B) = P(A) * P(B)
eventos independientes
2.P (A∩B) = P(A)*P(A/B)
eventos dependientes
Probabilidad Condicional
Aquí hablamos de buscar la probabilidad de la ocurrencia de B a
condición de que acontezca A, lo cual implica que A ya ocurrió o
debe ocurrir forzosamente.
La probabilidad condicional de B en A se expresa:
P (B/A) = m (A∩B)
n(A)
esta indica que;
La probabilidad de B, a condición de A, es igual al número de
eventos en intersección de A y B entre el número de eventos en
A.
Otros conceptos
• Evento Compuesto => es aquel que está formado por
dos o más eventos elementales.
• La probabilidad de un evento compuesto es igual a la
suma de las probabilidades de los eventos elementales
que lo componen ( eventos mutuamente excluyentes)
• Ejemplo: en el caso del lanzamiento de un dado, cae
número impar o par
A = ( 1,3,5)
P (A) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6 = 1/2
B = (2,4,6)
P (B) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6 = 1/2
Que la realidad presenta sucesos compuestos, los que se
forman uniéndolos, interceptándolos y complementándolos.
Dado los sucesos A y B, se tiene:
a) A  B : sucede A y sucede B
P(A  B ) = P(A) * P(B)
b) A U B: sucede A ó B
P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A  B)
c) Ǎ = no sucede A, P(Ǎ) = 1 – P(A) ( complemento de A)
d) P(A  B )= P(A/B)P(B) probabilidad condicional
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TEORIA ELEMENTAL DE PROBABILIDADES