De Morgan
Probabilidad.
Boole
Bayes
Kolmogorov
Laplace
Sistema completo de sucesos:
• A1, A2, A3, …,An constituyen un sistema
completo de sucesos si:
• A1U A2U A3U …UAn = E
• A1, A2, A3, …,An son incompatibles dos a dos.
Frecuencia relativa de un suceso A:
nA
• nA número de veces que se repite A hn (A) 
n
n
0  hn (A)  1
hn (E)  1
n
0
hn ()   0
n

Si A y B son
incompatibles


hn (AUB )  hn (A)  hn (B)
- Ley de los grandes
números
lim
hn (A)
P(A) 
n 

•
Probabilidad
-Regla de Laplace
(si el espacio
muestral es
equiprobable)

-Definición
Axiomática,
ley que asocia
a cada suceso A
un un número
real P(A) tal que:


P(A) 
nº de casos favorables a
nº de casos posibles
P(A) 0
P(E) 1
Si A y B son
incompatibles

P(AUB)  P(A)  P(B)
A
Consecuencia de los axiomas:
P(A)  1  P(A)
ya que: 1  P(E)  P(AU A)  P(A)  P(A)  P(A)  1  P(A)
P()  P(E)  1  P(E)  1 1  0
P()  0 ya que:

Si los sucesos son compatibles

(AB  0)
P(AUB)  P(A)  P(B)  P(AB)
Si intervienen más sucesos compatibles:

 P(AUBUC)  P(A) P(B)  P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)
Probabilidad condicionada
• Cuando un suceso esta condicionado por otro.
P(A  B)
P(B)
si
P(B)  0
P(A  B)
P(B / A) 
P(A)
si
P(A)  0
P(A / B) 
Ej. Probabilidad que de las
chicas de la clase,
obtengamos una al azar
que tenga gafas, es decir,
tener gafas condicionada
a ser chica.
Suelen ser útiles las tablas de
contingencia
A: Con
gafas
4
P(A /B) 
12
AC: Sin
gafas
B: Chicas
4
8
BC:Chicos
6
9
12 
15
10
17
27
4
P(A  B) 27 4


12
P(B)
12
27

• Dos sucesos A y B son independientes si
P(B)  P(B / A)
 P(AB)  P(A) P(B)
• Dos sucesos A y B son dependientes si
P(B)  P(B / A)

Ej. Urna con 15 bolas blancas y 20 negras. ¿Prob. de que ambas bolas sean blancas?

P(B1  B2 )  P(B1) P(B2 /B1)  P(B1) P(B2 ) 
15 15 9


35 35 49
P(B1  B2 )  P(B1) P(B2 /B1) 
15 14 3


35 34 17
- Experimentos compuestos son los que están formados por
varios experimentos simples.
 Su espacio muestral será el espacio muestral compuesto.
• Ej. un experimento formado por el lanzamiento de una
moneda(C,X) y un dado cúbico (1-6).
• ¿Probabilidad de obtener cara y salir cuatro?
 Diagrama de árbol
• En general la probabilidad de la intersección de sucesos
independientes:
P(A1  A2  ... An )  P(A1 ) P(A2 ) P(An )
• Ej. Dado (1-6) y urna con 3 bolas rojas y 2 azules:
• a) 4 y bola roja
b) número par y bola azul

1 3 1
P(A  B)  P(A) P(B)   
6 5 10

3 2 1
P(C  D)  P(C) P(D)   
6 5 5

• En general la probabilidad de la intersección de sucesos
dependientes:
P(A1  A2  ... An )  P(A1 ) P(A2 / A1) P(A3 / A1  A2 ) P(An / A1  A2  ... An 1)
• Ej. Urna con 6 bolas azules y 4 naranjas. ¿Prob. De extraer tres
naranjas sin devolución?
P(A1  A2  A3 )  P(A1) P(A2 / A1) P(A3 / A1  A2 ) 
4 3 2 1
  
10 9 8 30
• Teorema de la Probabilidad Total:
Ej. Tenemos dos bolsas de caramelos. La primera contiene 15 caramelos
de naranja y 10 de limón, y la segunda, 20 de naranja y 25 de limón.
Elegimos una de las bolsas al azar y extraemos un caramelo.
Halla la probabilidad de que el caramelo sea de naranja.
1 15 1 20
P(naranja)  
 
2 25 2 45
Probabilidad de salir de la primera bolsa · Probabilidad de
ser naranja condicionada a salir de la primera bolsa +
Probabilidad de salir de la segunda bolsa · Probabilidad de
ser naranja condicionada a salir de la segunda bolsa

En general: Sean A1,A2,…,A3 un sistema completo de sucesos con
probabilidades distintas de cero, y B un suceso para el que se conocen
P(B/Ai)

P(B)  P(A1 ) P(B / A1)  P(A2 ) P(B / A2 )  ... P(An ) P(B / An )

• Teorema de Bayes
Sean A1,A2,…,A3 un sistema completo de
sucesos con probabilidades distintas de cero,
y B un suceso para el que se conocen
P(B/Ai)
P(A ) P(B / A )
 P(A /B)  P(A ) P(B / A )  P(A ) P(B / A )  ... P(A ) P(B / A )
i
i
i
1
1
2
2
n
Si seguimos con el ejemplo anterior:
 Si el caramelo elegido es de limón, ¿cuál es la probabilidad de que haya
sido extraído de la segunda bolsa?
1 25

25
2
45
P(2ª bolsa/limón) 

1 25 1 10 43

 
2 45 2 25
n
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