Determinantes
Dr. Rogerio
Liga con vectores
• El producto vectorial o cruz nos lleva a una representación
de determinantes
i
j
k
b × c  b1
b2
b3
c1
c2
c3
• Se generaliza con el triple producto vectorial
a1
a2
a3
a   b × c   b1
b2
b3
c1
c2
c3
• Se calcula por menores
• Hasta llegar al determinante básico de 2x2
Vectores y Matrices
• Vemos que el uso de los determinantes facilita las
operaciones con vectores y nos lleva a pensar si pudiéramos
usar entidades parecidas en otras operaciones
• Ejemplo
Sea el vector v  ( x , y ) y form em os el arreglo num érico equivalente
x
y
y llam ém osle vector renglón.
x
Form ém os el vector colum na   .
 y
 i  1
C on la intención de generalizar podém os entonces form ar el arreglo n um érico    
 j  0
0

1
denom inada M A T R IZ.
Y definam os una operación con m atrices d e m anera logica de acuerdo con los conociem ientos anteriores
1

0
0   x  1 x  0 y   x 
   
 
1   y  0 x  1y   y 
lo cual no s da en form a com pleta las com ponentes d el vector v en term inos de i y j.
Matriz
• Es un arreglo numérico formado por renglones
y columnas (siempre refiérase en ese órden)


renglones 









C olum nas
y se generaliza a una m atriz de m xn con esa escritura siem pre.
m xn





.
.


......
......
......
.
.
.
.
......





. 
. 


A
Matrices y Vectores
E l vector renglón v   x
y   o m atriz de 1x2
x
y su correspondiente vector colum na    o m a triz de 2x1
 y
se puede describir en térm inos de las co m ponentes
de los vectores ortonorm ales i y j
1

0
0  x   x 
    
1  y  y
generalice a vectores no ortogonales y n o triviales a   a1
 a1

 b1
a 2  y b   b1
a 2   x   a1 x  a 2 y 
   

b 2   y   a1 x  a 2 y 
que nos daría las com ponentes en térm ino s de esos vectores
b2 
Matrices y Determinantes
¿ Q ué pasa si calculam os el determ inante de la m atriz de los ejem plos?
A la prim era m atriz se le puede asociar su determ inante y calcularlo
1

0
0
1


1
0
0
1
1
y ahora para la segunda
 a1

 b1
a2 
a1


b2 
b1
a2
b2
 a1b 2  a 2 b1  0
¿Q ué concluye para vectores ortonorm ales ?
¿Q ué concluye para vectores no ortogonales?
¿Q ué concluye para vectores ortogonales no unitarios?
Matrices y Determinantes
¿ Q ué pasa si calculam os el determ inante de la m atriz de los ejem plos?
A la prim era m atriz se le puede asociar su determ inante y calcularlo
1

0
0
1


1
0
0
1
1
y ahora m ientras que la segunda
 a1

 b1
a2 
a1

b2 
b1
a2
b2
 a1b 2  a 2 b1  0
¿Q ué concluye para vectores ortonorm ales ?
Q ue el determ inante es 1
¿Q ué concluye para vectores no ortogonales?
Q ue el determ inante es  0 y en general tiene dos term inos (binom io)
¿ Q ué concluye para vectores ortogonales n o unitarios?
 a1

0
0
a1

b1 
0
0
b1
 a1b1
Q ue el determ inante es  0 y en general tiene un term ino (m onom io)
Ortogonalidad e independencia
¿P odem os form ar un vector a partir de o tro ortogonal?
D el ejem plo m as sim ple, veam os com ponent es de i en j
1

0
0  1  1 
       no tiene com ponente en j
1  0 0
sim ilarm ente
1

0
0 0 0
       n o tiene com ponente en i
1  1  1 
y entonces se dice que son independiente s
y ahora en vectores ortogonales no unitar ios
 a1

 b1
a 2   b1   a1b1  a 2 b 2   0 
2 
   
 
2
2
b 2   b 2   b1  b 2   b 


y ahora en vectores no ortogonale s y no unitarios
 a1

 b1
a 2   b1   a1b1  a 2 b 2 
   
  solo es m as laborioso
2
2
b 2   b 2   b1  b 2 
Propiedades de los determinantes
¿ Q ué pasa si intercam biam os dos renglones?
1
A  
0
0
0



1
1
1
B
0

A 
1
0
0
1
1
m ientras que
B 
0
1
1
0
 1
 B  A
¿ Q ué pasa si intercam biam os dos colum nas?
1
A  
0

B  A
0
0



1
1
1
B
0
Propiedades de los determinantes
I ) B se obtiene si intercam biam os dos reng lones o colum nas de A , B   A
Propiedades de los determinantes
¿ Q ué pasa si m ultiplicam os por una constante escalar k cada elem ento de un renglón?
1
A  
0
0
8



1
0

B 
8
0
0
1
 B k A
8
0
B
1
Propiedades de los determinantes
¿ Q ué pasa si m ultiplicam os por una constante escalar k cada elem ento de un renglón?
8

0
0
8

B

C



1
0

C 
8
0
0
4
 32
 C  4 B  4x8 A
0

4
Propiedades de los determinantes
I ) B se obtiene si intercam biam os dos reng lones o colum nas de A , B   A
II ) B se obtiene al m ultiplicar por una k 
B k A
cad a elem ento de un renglon o colum na de A ,
Propiedades de los determinantes
¿ Q ué pasa si dos renglones son idénticos?
 a1
A  
 a1
a2 
 A 0
a2 
¿ Q ué pasa si dos colum nas son idénticas?
 a1
A  
 a1
a2 
 A 0
a2 
P roblem as con la notación
 a 1   a11
  
a  a
 2   21
 a 3   a 31
a12
a 22
a 32
a13 

a 23   a ij 

a 33 
i es el renglón y j es la colum na
generalizando a una m atriz de orden nxm
A n x m  i  1......n
y j  1...... m
Propiedades de los determinantes
¿ Q ué pasa si dos colum nas son idénticas?
 a1 1
A  
 a 21
a1 1 
 A 0
a 21 
o de plano m as sim ple
a

b
a
 A 0
b
o
1

0

 0
1

0

 0
0
1
1
0
1
0
0 1

0  0

0  0
0 1

1  0

0  0
0
0
1
0 
1
0
0
0
1
1 
0
0
Propiedades de los determinantes
I ) B se obtiene si intercam biam os dos reng lones o colum nas de A , B   A
II ) B se obtiene al m ultiplicar por una k 
cad a elem ento de un renglon o colum na de A ,
B k A
III ) Si dos renglones o dos colum nas son idénticas, el determ inante de la m atriz es cero
Si dos renglones o dos colum nas de A son id énticas, A  0
Propiedades de los determinantes
recuerde
o
1

0

 0
1

0

 0
0
1
1
0
1
0
0 1

0  0

0  0
0 1

1  0

0  0
0
0
1
0 
1
0
0
0
1
1 
0
0
S i el determ inante es cero entonces los vectores no son independientes
incluso si se no se tienen vectores norm alizados o unitari os.
Generalice las reglas a cualquier
determinante
I ) B se obtiene si intercam biam os dos reng lones o colum nas de A , B   A
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
II ) B se obtiene al m ultiplicar por una k 
cad a elem ento de un renglon o colum na de A ,
B k A
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
III ) Si dos renglones o dos colum nas son idént icas, el determ inante de la m atriz es ce ro
Si dos renglones o dos colum nas de A son id énticas, A  0
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
Ejemplos con matrices con “unos”
I)
1

0

 0
0
1
0
0 1

0  0

1  0
0
0
1
0 
1
0
0
0
1
1 
0
0
II )
1

0

 0
0
1
0
0 1

1  0

0  0
III )
1

0

 0
0
1
0
0

0

1 
S i el determ inante es cero entonces los vectores no son independientes
incluso si no se tienen vectores norm a lizados o unitarios.
Nomenclatura
•
•
•
•
•
Diagonales de una matriz
Diagonal principal de una matriz
Matriz Diagonal
Traza
Matriz Triangular
– Superior
– Inferior
Propiedades de los determinantes
recuerde
o
1

0

 0
1

0

 0
0
1
1
0
1
0
0 1

0  0

0  0
0 1

1  0

0  0
0
0
1
0 
1
0
0
0
1
1 
0
0
S i el determ inante es cero entonces los vectores no son independientes
incluso si no se tienen vectores norm alizados o unitarios.
Propiedades de los determinantes
recuerde
o
1

0

 0
1

0

 0
0
1
1
0
1
0
0 1

0  0

0  0
0 1

1  0

0  0
0
0
1
0 
1
0
0
0
1
1 
0
0
S i el determ inante es cero entonces los vectores no son independientes
incluso si no se tienen vectores norm alizados o unitarios.
Dimensión del Espacio Vectorial
En
2
 dos vectores independientes y una m a triz cuadrada de 2x2
En
3
 tres vectores independientes y una m atriz cuadrada de 3x3
Descargar

Dterminantes