VECTORES
Vector fijo, AB, es un segmento orientado determinado por un
punto origen A(a1, a2) y un punto extremo, B(b1, b2).
 Componentes de AB: (b1 – a1, b2 – a2)
 Dirección: recta determinada por A y B
 Sentido
 Módulo: longitud del vector: |AB| =
(b1 – a1 )2 + (b2 – a2 )2
Dos vectores fijos son equipolentes si tienen la misma dirección,
sentido y módulo. El conjunto de vectores equipolentes definen un
vector libre v, que tiene las mismas componentes que sus
equipolentes.
Módulo de v = (v1, v2) es |v| =
v12 + v22
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OPERACIONES CON VECTORES
Suma de vectores libres
v = (v1, v2) y w = (w1, w2) v + w = (v1 + w1, v2 + w2)
Multiplicación de un vector por un número real
v = (v1, v2) y k real
k · v = (kv1 , kv2)
• Si k = 0
k·v=0
• Si k > 0
k · v mismo dirección y sentido que v
módulo = k|v|
k · v mismo dirección que v y sentido contrario
módulo = k|v|
• Si k < 0
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COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Base
w es combinación lineal de un conjunto de vectores, u1, u2, …, un si
w = k1·u1 + k2·u2 + ………+ knun
donde los ki son números reales
Un conjunto de vectores son linealmente independientes si ninguno
de ellos puede expresarse como combinación lineal de los demás.
Si dos vectores en el plano son linealmente independientes, cualquier
otro vector se expresa como combinación lineal suya. Estos vectores
se denominan base.
Base canónica
i = (1,0)
j = (0,1)
v = (v1, v2) = v1i + v2j
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PRODUCTO ESCALAR (I)
Producto escalar de dos vectores
u · v = |u|·|v|· cos (u, v)
• Si u o v es 0
u·v=0
• Si (u, v) = 90°
u·v=0
• u · u = |u|·|u|· cos 0° = |u|2
|u| = u·u
Propiedades del producto escalar
• u · u ≥ 0 (u · u = 0 si y sólo si u = 0)
• Propiedad conmutativa u · v = v · u
• Propiedad asociativa mixta (au) · v = u · (av) = a(u · v)
• Propieda distributiva (u + v) · w = u · w + v · w
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PRODUCTO ESCALAR (II)
Vector unitario u: |u| = 1
Si v = (v1, v2) no es unitario podemos obtener:
u=
v
v1 v2
=
,
|v| |v| |v|
donde u es unitario y tiene la misma dirección y sentido que v
Ángulo que forman dos vectores
cos (u, v) =
u.v
|u| . |v|
Expresión analítica del producto escalar
a · b = a1b1 + a2b2
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ECUACIONES DE LA RECTA
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POSICIÓN RELATIVA ENTRE RECTAS
Dos rectas son paralelas o coincidentes
sus vectores directores son proporcionales
Dos rectas son secantes
sus vectores directores son linealmente independientes
Para determinar la posición de dos rectas, nos fijamos en sus ecuaciones y
analizamos el sistema que forman:
• Si el sistema tiene una única solución, las rectas son secantes (z y t; z y r; z y s)
• Si el sistema no tiene solución, las rectas son paralelas (s y t)
• Si el sistema tiene infinitas soluciones, las rectas son coincidentes (r y s)
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores lo son. Su producto
escalar tiene se ser 0.
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DISTANCIAS EN EL PLANO
Distancia entre dos puntos
A(a1, a2) y B(b1, b2)
d(A, B) = |AB| = (b1 - a1 )2 + (b2 - a2 )2
Distancia entre un punto y una recta
A(a1, a2) y la recta r
d(A, r) = |AA0|
Usando la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 se puede usar:
Aa1 + Ba2 + C
d(A, r) = |
|
2
2
A +B
Distancia entre dos rectas paralelas
Es la longitud del segmento
perpendicular a las dos rectas que
les une. Esto se reduce a calcular la
distancia entre un punto cualquiera de
ellas y la otra.
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