VECTORES EN TRES DIMENSIONES
Triadas
Ordenadas
ℝ  ℝ  ℝ = { 1,2,3 1,4, −3 … … … }

 
(, , )





−


 =  − = 1,4, −3 − 1,2,3 = ( 0, 2, −6)
ó   
( 0 ) + ( 2) + (−6)
 
 ó
 = (, , )

 =
 = (, 
ó   
 = (, , )
)
 = (,  )
 =

  
=( , , )

  
  ∥ 
 = 


:
=


Á  
  =
. 
 
,
,
 
 = (, , )
  ⊥ 
 = (, , )
.  = 
.  =  +  +  = 
ó 
 
Proy  =

. 

2.

 
Comp  =

. 

PRODUCTO VECTORIAL

 = (, , )
 = ⊥
⊥
 = (, , )









= (− −,  ,  )
2,3,3 . −3, −1,3 = 0
−
1,3,2 . −3, −1,3 = 0

 = 





 = ( , − , − )

   = −(  )
IDENTIDAD DE LAGRANGE


 =   .  −(. )
Angulo entre vectores:
 =
. 
. 
⇒
Establece una
relación entre el
producto escalar y el
Producto Vectorial
 .   = . 

  .    = (. )

 = 


.


 −   .   

=   .  ( −  )


=   .  ( )


   =  .  
 =

. 
Establece otra
relación para
calcular un ángulo
entre Vectores
AREA DE UN FIGURA EN 3 DIMENSIONES
 =  . 

 =  .  
 =
h  = 

   á =

 = (, , )
 = (, , )
 = (, −, )
 = (−, , −)
 = (, , )


− 
 −
⇒
  = 


 = (, , )




 
 −
 = (−, , )

− = (−,−,  )


pueden ser
cualquier
vector

 = (, −, −)


 =



 = (−, , )  
− 

 = (−,−,)

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
. ()
 = (, , )
 = (, , )

 = 


. .  = 

 = (, , )
 = (, , )
 = (, , )
. ( )
[. . ] = [. . ] = [. . ]
PROPIEDAD:
 = (, , )
[. . ] =  . ()







. .  = 





 = (0,−, )

(−,− , −)






⇒
, ,  . , −,  = −
⇒ − + − = −
(−,−, −) ⇒
−− − = −
INTERPRETACIÓN DEL TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
 ∥ 








Volumen de un sólido =      
 . 
 

  =

 . 
. ()

=
Volumen de un sólido =

.
Triple Producto escalar = . ()
VOLUMEN DE UN PARALELEPIPEDO
. ()

Prisma de base triangular
Volumen= [. . ]
Volumen=
Tetraedro
Volumen=
[..]

[..]

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