Espacio vectorial
Es un conjunto constituido por un número infinito de
vectores para los cuales se han definido las operaciones
de adición y multiplicación por un escalar, y además están
definidos sobre un determinado campo k.
Esquemáticamente puede representarse como:
V1, V2,…,Vn
+
k
El campo k puede referirse a alguno de los siguientes
números:
• Complejos
• Reales
• Racionales
• Irracionales
• Enteros
• Naturales
Sea V un conjunto de elementos en el que se definen
las operaciones de suma de vectores y producto por un
escalar. Entonces se dice que V es un espacio vectorial si
se cumple lo siguiente:
1. Si x y y son de V, entonces x + y es de V.
2. Para todo x, y de V, x + y = y + x
3. Para todo x, y, z de V, x + (y + z) = (x + y) + z
Existe un único vector 0 de V, tal que 0 + x = x + 0
4. Para cada x de V, existe un vector −x de V, tal que
x + (−x) = (−x) + x = 0
6. Si k es un escalar y x es de V, entonces kx es de V.
7. k(x + y) = kx + ky
8. (k1+k2)x = k1x+ k2x
9. k1(k2x) = (k1k2)x
10. 1x = x
Ejemplo 1:
Determinar si cada uno de los conjuntos:
a. V = {1}
b. V = {0}
bajo la suma y producto por un escalar son espacios vectoriales.
Entonces:
a. V = {1}, viola muchos de los axiomas.
b. V = {0}, es fácil de comprobar que es un espacio vectorial.
Además, se denomina el espacio vectorial nulo o trivial.
Ejemplo 2:
Considere el conjunto V de todos los números reales positivos.
Si X y Y denotan números reales positivos, entonces escribimos
vectores como x = x, y = y. Ahora la suma de vectores se define
como x + y = xy, además el producto por un escalar como kx =
xk. Determinar si el conjunto es un espacio vectorial.
1. Para x = x > 0, y = y > 0 de V, x + y = x + y > 0
2. Para todo x = x, y = y de V,
x+y=x+y=y+x= y+x
3. Para x = x , y = y, z = z de V
x + (y + z) = x(yz) = (xy) = (x + y) + z
4. Como 1 + x = 1x = x = x, x + 1 = x1 = x = x
El vector nulo 0 es 1 = 1
Subespacio vectorial
Si un subconjunto W de un espacio vectorial V es en sí mismo
un espacio vectorial con las mismas operaciones de suma de
vectores y producto por un escalar definidas en V, entonces W
se denomina un subespacio de V.
Un conjunto no vacío W es un subespacio de V si y sólo si W es
cerrado frente las operaciones de suma de vectores y producto
por un escalar definidas en V:
1. Si x y y son de W, entonces x + y es de W.
2. Si x es de W y k un escalar cualquiera, entonces kx es de W.
Ejemplo 3:
Suponemos que f y g son funciones continuas y de valor real definidas en (−, ).
Sabemos que f + g y kf, para cualquier número real k, son continuas y de
valor real.
Por lo cual, llegamos a la conclusión de que C(−, ) es un subespacio del
espacio vectorial de funciones de valores reales definidas en (−, ).
Vectores linealmente independientes
Un conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} de un espacio vectorial V,
se dice que son linealmente independientes si la única
combinación lineal de ellos es igual a cero, es en la que los
escalares son cero y satisfacen:
k1v1 + k2v2 + …+ knvn = 0
Son k1= k2 = … = kn = 0.
Si el conjunto de vectores no es linealmente independiente, es
linealmente dependiente.
Vectores linealmente dependientes
Un conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} de un espacio vectorial V,
se dice que son linealmente independientes si la única
combinación lineal de ellos es igual a cero es en la que los
escalares no todos son cero y satisfacen:
k1v1 + k2v2 + …+ knvn = 0
Son k1= k2 = …  kn = 0.
Si el conjunto de vectores no es linealmente independiente, es
linealmente dependiente.
Independencia lineal
Un conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} se dice que es linealmente
independiente; las únicas constantes que satisfacen:
k1v1 + k2v2 + …+ knvn = 0
Son k1= k2 = … = kn = 0.
Si el conjunto de vectores no es linealmente independiente, es
linealmente dependiente.
Ejemplo 4:
Sean u = (-1,2), v =(1,2) y w (2,3) vectores en IR3. Exprese si es posible u como
combinación lineal de v y w.
Se tienen que determinar dos números reales los cuales denotamos por k
y m, tales que:
(-1, 2) = k (1,2) + m (2,3)
De la igualdad anterior se tiene que: (-1, 2) = (k +2m,2k +3m)
Se forma el sistema de ecuaciones:
k + 2 m = -1
2k + 3m = 2
Resolviendo el sistema, se tiene las soluciones k = 7 y m = - 4, por lo tanto:
(-1, 2) = 7 (1,2) -4 (2,3)
Ejemplo 4:
Determinar si los vectores de IR3 v = ( 1, 3, 0), u = (3, 0, 4) y w =
(11, -6, 12) son linealmente independientes o dependientes.
Hacemos la combinación lineal de ellos igual a cero:
k( 1, 3, 0) + m(3, 0, 4) + n(11, -6, 12) = (0, 0, 0)
Por lo que se forma el sistema de ecuaciones de 3 x 3:
k + 3 m + 11 n = 0
3k+0m–6n=0
0 k + 4 m + 12 n =0
Resolviendo el sistema, se tienen las soluciones k = 1, m = - 3 y n
= - 2, por lo tanto: son linealmente dependientes.
(-1, 2) = 7 (1,2) -4 (2,3)
Base de un espacio vectorial
Considere un conjunto de vectores B = {v1, v2, …, vn} de un
espacio vectorial V. Si el conjunto es linealmente
independiente y si todo vector de V puede expresarse
como combinación lineal de estos vectores, entonces se
dice que B es una base de V.
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en
Rn es una base de Rn.
Dimensión de un espacio vectorial
Se dice que el número de vectores de una base B del
espacio vectorial V es la dimensión del espacio.
Ejemplo 5:
Consideremos el espacio vectorial formado por:
A = {(x, y, z) en R3 tales que 4x – y -2z = 0}
Vamos a encontrar una base para H.
Tomemos un vector (x, y, z) en A, entonces satisface el hecho de
que:
4x – y - 2z = 0
Podemos reescribir esta condición despejando a y:
y = 4x -2z
Ejemplo 5:
Así podemos escribir los vectores de A de la siguiente manera:
De donde podemos decir que los vectores:
Generan a A. Ahora vamos a probar que son linealmente
independientes haciendo una combinación lineal de ellos igual
a cero.
Ejemplo 5:
Así podemos escribir los vectores de A de la siguiente manera:
Entonces tenemos que a = 0, 4a – 2b = 0 y b = 0, por lo tanto:
Son linealmente independientes. En conclusión los vectores
anteriores cumplen las condiciones para ser una base de A.
Base de un espacio vectorial
Como vimos anteriormente, si un espacio vectorial V tiene al
menos una base que genera a todo el espacio vectorial,
entonces cualquier vector se puede escribir como combinación
lineal de los vectores de la base.
Si {v1, v2, . . . , vn} es una base para el espacio vectorial V y si v
está en V, entonces existe un conjunto único de escalares c1, c2,
. . ., cn tales que v = c1v1 + c2v2 + . . . + cnvn.
Ejemplo 5:
En R2 {(1, 0), (0, 1)} forman la base canónica, por lo tanto:
(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1)
Supongamos que hay otra combinación lineal de estos vectores
que nos dan el vector:
(x, y)(x, y) = a (1, 0) + b(0, 1)
Como ambas combinaciones dan el mismo vector tenemos que:
x (1, 0) + y (0, 1) = a (1, 0) + b(0, 1)
Donde tenemos que:
(x, y) = (a, b) por lo tanto x = a, y = b
y la combinación lineal es única.
Matriz de transición
La matriz de transición de la Base A a la Base B, se forma con
los vectores de coordenadas de las combinaciones lineales.
Las características de la matriz de transición son:
• Sus columnas son vectores de coordenadas obtenidos a partir
de la combinación lineal de una base respecto a otra.
• Son matrices cuadradas (por ser combinaciones lineales entre
bases).
• Siempre tienen inversa (por ser matrices cuadradas y cumplir
det≠0).
La matriz de transición permite el cambio de coordenadas de
una base a otra; por tanto, con la matriz de transición es posible
calcular el vector de coordenadas.
Ejemplo 6:
Encontrar la matriz de transición de la base canónica IR3 a la
base B:
Para ello escribiremos la matriz C cuyas columnas son los
vectores de B:
Ésta es la matriz de transición de la base B a la base canónica.
Los vectores de la base B se encuentran expresados en
términos de la base canónica. Entonces la matriz de C-1 será la
matriz que estamos buscando.
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