UNIVERSIDAD NACIONAL DE
INGENIERÍA
VECTORES
TEMAS
Vectores, Características, Producto de un escalar por un
vector, Suma de vectores, Propiedades de la suma de vectores,
Componentes de un vector, vectores unitarios, Suma y resta
analitica de vectores, Producto escalar, Producto vectorial
Cantidades
físicas
por su naturaleza
Escalares
Vectoriales
Escalares
Cantidades
físicas
Masa, densidad,
temperatura, energía,
trabajo, etc
Vectoriales
Velocidad, fuerza,
cantidad de movimiento,
aceleración, torque, etc.
Cantidades
físicas
Escalares
Asociadas a propiedades que pueden ser
caracterizadas a través de una cantidad
Vectoriales
Asociadas a propiedades que se caracterizan
no sólo por su cantidad sino por su dirección
y su sentido
Las cantidades físicas vectoriales, para quedar definidas , además de la cantidad
expresada en números y la unidad, requieren que se señale la dirección y el
sentido , para ello es necesario utilizar el
VECTOR
SENTIDO
Vector
y
A
Notación
Módulo
A

x
A >0
Dirección o Línea de Acción

z
Vectores
θθ
A
y

Notación
A
x
Módulo
A >0
θ, 
Dirección
θ, 
PROPIEDADES DE LOS
VECTORES
Propiedades
de Vectores

A

B

C
Todo vector se puede desplazar por el espacio si se mantiene
la magnitud, dirección y sentido
A  B  C
Propiedades
de Vectores
A
Sea el vector A
Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A”
El resultado es otro vector en la misma dirección
Para: λ > 0 , el vector B es
paralelo al vector A
B= l A
B
λ >0
Propiedades
de Vectores
A
Sea el vector A
Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A”
El resultado es otro vector en la misma dirección
Para: λ < 0 , el vector B es
anti paralelo al vector A
B
B= l A

A
 1 
B  A
2

B

A

B

1 
B  A
4
COLINEALES.- Cuando las líneas de acción son
paralelas.
A
B
C
Propiedades
de Vectores
A
Sea el vector A
Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A”
El resultado es otro vector en la misma dirección
Para: λ = 1 , el vector B es
igual al vector A
B
λ = 1
B= l A
VECTORES IGUALES.- Si tienen su módulo, dirección
y sentido iguales
A
B
α
Si A y B son iguales se cumple
[ A] = [ B]
α=β
Sentido de A = Sentido de B
β
Propiedades
de Vectores
A
Sea el vector A
Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A”
El resultado es otro vector en la misma dirección
Para: λ = -1 , el vector B es
opuesto al vector A
B= l A
B
λ = -1
Tipos de
Vectores
COLINEALES.- Si se encuentran sobre la misma línea de
acción.
A
B
C
CONCURRENTES.- Si sus líneas de acción concurren en
un mismo punto.
A
B
Punto de
C
Concurrencia
SUMA y RESTA de
VECTORES
Suma de dos
Vectores
Si deseamos sumar dos vectores, se
coloca un vector a continuación del
otro vector
El vector que empieza en el origen de uno de los vectores
y termina en el final de el otro vector es el vector suma R
B
A
B
R
A
R
A
B
Suma de dos
Vectores
R
A

B
R 
A
2
B
2
 2AB.cos θ
Suma de dos
Vectores
Si los vectores son
perpendiculares
B
R
A
R
A B
2
2
Ley de Senos
o
Ley de Lamy
R
α
B
β
A
r
Suma de n
Vectores
C
A
B
C
A
B
R
Propiedades
de la suma de
Vectores
Ley Conmutativa
R  AB  BA
Ley Asociativa

 


 
R  A  (B  C)  (A  B)  C
Resta de
Vectores
A
R  A  (-B)
B
R
-B
A
A
B
R=A+B
A
B
R=A-B
COMPONENTES DE UN VECTOR
COMPONENTES DE UN VECTOR
A
A
A
A
Un vector tiene muchas componentes , un caso particular
son las componentes rectangulares
y
COMPONENTES RECTANGULARES EN EL
PLANO
A
Ay
A x  A co s 
Ay
A y  A se n 

x
A x Ax
AX , AY : proyecciones o componentes
AX , AY : vectores componentes
A = AX + AY
COMPONENTES RECTANGULARES EN EL
ESPACIO
AZ
Ax
A = Ax + Ay + Az
VECTORES UNITARIOS
Vector Unitarios
• Un vector cuya magnitud es la unidad y
es paralelo al vector, se denomina vector
unitario.
uA =
A
A
A
u
Vectores unitarios en el plano cartesiano
y
ˆj
ˆi
ˆj
ˆi
x
Vector unitario en la dirección del eje x+
Vector unitario en la dirección del eje y+
Vectores unitarios en el espacio
z
kˆ
ˆi
x
ˆj
y
z
Representación de
un vector con
vectores unitarios
Az
A
θ
Ay
y

Ax
x




Ax i  Ay j  Az k
A  Ax i  Ay j A

Az k
A A 
2
2
2
Ax  Ay  Az
OPERACIONES ANALÍTICAS CON
VECTORES
SUMA ANALÍTICA DE VECTORES

j
Y

i

R
BY

A = AXi + AY j
B
AY
B = BXi + BY j

A
AX
BX
X
R = A + B    A x i    B x i   +   A y j    B y j  


PRODUCTO ESCALAR
Producto
escalar de dos
vectores
B
θ
A




A  B  A B cos(  )
A B  A xB x  A yB y  A zB z
Producto
escalar de dos
vectores
 
A  B  AB cos θ
Proyección de A sobre B
A B  A cosθ
Proyección de B sobre A
B A  B cosθ
Propiedades del producto escalar
Teorema: Sean a,b
vectores en 2 y  un
número real, entonces:
 a.0 = 0
 a.b = b.a (propiedad conmutativa)
 (a).b = (a.b) = a.( b)
 a.(b + c) = a.b + a.c (propiedad distributiva)
2
a.a  a
 Si a . b = 0 entonces el vector a es
perpendicular al vector b
iˆ iˆ  1
iˆ  ˆj  0
ˆj  ˆj  1
iˆ  kˆ  0
kˆ  kˆ  1
ˆj  kˆ  0

A  iˆ  Ax

A  ˆj  Ay

A  kˆ  Az
A  B  AXBX  AYBY  AZBZ
PRODUCTO VECTORIAL
Producto
vectorial de dos
vectores

 
C  AB
A x B = |A| |B| sen φ û
Producto Vectorial: AxB
A x B = |A| |B| sen φ û
AxB=-BxA
PRODUCTO VECTORIAL DE LOS VECTORES UNITARIOS


ˆj  ˆj  0
ˆi  ˆi  0

kˆ kˆ  0
iˆ  ˆj  kˆ
ˆj  kˆ  iˆ
kˆ  iˆ  ˆj
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04.- vectores