Puntos, rectas y planos en el espacio
Espacio afín







Vectores en el espacio
Espacio afín
Ecuaciones de la recta
Ecuaciones del plano
Posiciones relativas de rectas y planos
Haz de rectas y planos
Posiciones relativas de rectas y planos con
esfera
Vectores en el espacio
 Dados dos puntos en el espacio A y B, se define vector fijo AB al segmento
orientado de origen el punto A y de extremo B






El módulo de un vector es la distancia entre sus extremos.
La dirección de un vector es la recta que lo contiene.
El sentido de un vector es el señalado desde su origen al extremo
Dos vectores son EQUIPOLENTES o EQUIVALENTES, si tienen el
mismo módulo, dirección y sentido. El conjunto de todos los vectores
equipolentes se puede representar por un único vector u, llamado
VECTOR LIBRE.
El conjunto de los vectores del espacio lo representaremos por V3
Ver VECTORES LIBRES EN EL PLANO (figura de CABRI).
SUMA GRÁFICAS DE VECTORES
VECTOR SUMA u + v de los VECTOR u= AB y v = CD.
Si el vector BE es EQUIVALENTE al VECTOR CD.
El VECTOR SUMA será el VECTOR AE.
A
E
B
D
C
O si el vector AF es EQUIVALENTE al VECTOR CD. Y E es el punto del
espacio, tal que los puntos A, B, F, E, son los vértices de un paralelogramo
El VECTOR SUMA será el VECTOR de la diagonal AE (regla del
PARALELOGRAMO).
F
A
E
B
Ver SUMA DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).
D
C
VECTOR OPUESTO. DIFERENCIA GRÁFICA DE VECTORES
El VECTOR OPUESTO – u al VECTOR u = AB es el VECTOR
EQUIVALENTE al VECTOR BA. Denominado - u = - AB
A
C
B
D
El VECTOR RESTA de los VECTORES AB y CD, ES EL VECTOR suma
de los VECTORES AB y – CD.
Ver RESTA DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).
PRODUCTO GRÁFICO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR.
El VECTOR PRODUCTO r u de un número r por el VECTOR u = AB es el
VECTOR AE, donde E es tal que el punto B pertenece al segmento de extremos
A y E, y su longitud es r veces el VECTOR AB.
E
B
A
VECTOR AE = 5. AB = 5.u
Ver PRODUCTO DE NÚMERO POR VECTOR en el plano (figura de CABRI).
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.
Un VECTOR es COMBINACIÓN LINEAL de varios VECTORES, si se puede
obtener utilizando la suma, resta o producto de un real por un vector, con dichos
vectores.
Así por ejemplo el vector u , es combinación lineal de u1, u2 y u3, puesto que:
- 2 u1 + 3 u 2 + u3 = u
Un conjunto de vectores, u1, u2 , … , un, linealmente independientes, si la única
combinación lineal nula es la trivial, es decir Si k1. u1 + k2 . u2 + … + kn . un = 0
implica que k1 = k2 = … = k n = 0. En otro caso decimos que son dependientes
Ver COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).
BASES DE LOS VECTORES EN EL ESPACIO. COORDENADAS DE VECTORES.
Dados tres vectores u, v y w no coplanarios ni nulos. Cualquier vector z, se
puede poner como combinación lineal de los tres vectores u, v y w .
Una BASE { u , v, w } de los vectores del espacio está formada por tres
vectores no coplanarias, ni nulos.
Si { u, v, w } es una BASE. Dado un vector z, si a, b, c son dos números
reales, tales que: z = a u + b v + c w. Decimos que (a, b, c) son las
coordenadas de z, respecto de la BASE { u, v, w }
Así por ejemplo el vector u , respecto de la base { u1, u2 y u3 } tiene de
coordenadas: (-2,3,1)
Ver COORDENADAS DE UN VECTOR en el plano (figura de CABRI).
OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES.
Fijada una BASE ( u, v, w ). Supondremos ortonormales (perpendiculares de y
norma 1).
HAZ DOBLE
Entonces,Vector
si (a, b, c) y Coordenadas
(d, e, f) son las coordenadas
de losCLIC
vectores p y q
respectivamente, es decir:
u = ( 1,00
, q = (d,
0,00
,
0,00
)
p = (a ,b, c)
y
e, f )
Si r es un número real entonces:
Operaciones con vectores
v= (
p+q=
,
1,00
( a + d , b + e, c + g )
Operaciones
0,00
,
0,00
)
p - q = ( a - d , b - e, c – g )
u r.+pv= =
1,00
( r.a(, r.b, r.c
)
,
1,00
,
0,00
)
( r.d(, r.e, r.f
)
u r.- qv= =
1,00
,
-1,00
,
0,00
)
1,00
xv= (
1,00
,
0,00
,
0,00
)
1,00
xv= (
0,00
,
1,00
,
0,00
)
VER OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES en el plano (excel)
Espacio Afín
ESPACIO AFÍN.
ESPACIO AFÍN.
SISTEMA DE REFERENCIA DEL PLANO CARTESIANO.
Coordenadas del
Coordenadas del Vector OP
Punto P
Fijada una BASE (u, v, w). Supondremos ortonormales (perpendiculares de y
norma 1), y un punto en el plano O, al conjunto {O, u, v, w}, lo denominamos
SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO.
Además, para cualquier punto P del plano, el vector r = OP, se denomina
VECTOR DE POSICIÓN del punto P. Si P = (a, b, c) ) , OP = ( a , b, c)
Para cada punto P y cada vector r, existe un único punto Q, tal que r = PQ.
Si P = (a, b, c) y Q = (d, e, f). Se cumplirá:
PQ = OQ – OP = (d, e, f) – (a, b, c) = (d – a , e – b, f – c) )
VER VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO en el plano (figura de CABRI)
SISTEMA DE REFERENCIA DE UN ESPACIO AFÍN.
COORDENADAS DE UN VECTOR FIJO.
Rectas en el espacio
 Una recta r en el espacio viene determinada por un punto A(a1,a2,a3) y un
vector no nulo v =(v1,v2,v3) , denominado vector director de la recta r = r(A,v)
=(x,y,z)
Si v = AB, la recta r = r(A,AB) viene determinado
por dos puntos A(a1,a2,a3) y B(a1,a2,a3)
 La ecuación vectorial de r es
OP  OA  AP  OP  OA   v,

 La ecuación paramétrica de r es
 x , y , z    a1 , a 2 , a 3     v1 , v 2 , v 3 
 La ecuación continua de r es
 La ecuación general de r es
 x  a1     b1  a1 
 x  a1    v1


  y  a 2    v 2   y  a 2     b2  a 2 
 z  a   v
z a  b a
 3 3
3
3
3


x  a1
v1

y  a2
v2

z  a3
v3

x  a1
b1  a1

y  a2
b2  a 2
v 2  x  v1  y  a1  v 2  a 2  v1  0
v3  y  v 2  z  a 2  v3  a 3  v 2  0


z  a3
b3  a 3
ECUACIONES DE LA RECTA.
ECUACIONES DE LA RECTA.
ECUACIONES DE LA RECTA.
ECUACIONES DE LA RECTA.
Rectas en el espacio
 Ejemplo.- Dada la recta (x,y,z) = (-3,1,5) + .(2,-1,0), averigua si A=A(-5,2,5)
y B=B(1,-2,5) son puntos de la recta
 (-5,2,5) = (-3,1,5) + .(2,-1,0)  =0
 (1,2,5) = (-3,1,5) + .(2,-1,0)   no existe
Luego A si es un punto de la recta y B no lo es.
 Ejemplo.-
Dados los puntos A = A(0,3,2) y B = B(-1,0,5), escribir las
ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por dichos puntos
 Como un vector director de la recta es AB = (-1,-3,3) y pasa por A(0,3,2)
será
 x  

 y  3  3
z  2  3


Rectas en el espacio
 Ejemplo.- Determinar si los puntos A = A(1,1,-1), B = B(0,3,1) y C = C(2,-2,0)
están alineados
 Como AB = (-1,2,2) y AC = (1,-3,1) y el rango (AB,AC) es =
 1

Rango 2

 2

1 

3  2

1 
Y Los puntos A, B y C no están alineados
 Ejemplo.- Calcular la ecuación continua de la recta que pasa por A(1,-1,2) y
que tiene dirección perpendicular a los vectores u = (0,1,3) y v = (1,1,1)
 Dado que un vector perpendicular a u y a v es w = (-2,3,-1), la ecuación
es
x 1
2

y 1
3

z2
1
El plano
 Una plano  en el espacio viene determinada por un punto A(a1,a2,a3) y dos
vectores no nulos e independientes u = (u1,u2,u3) y v =(v1,v2,v3) ,
denominados vectores directores del plano  = (A, u, v )
=(x,y,z)
Si u = AB, v =AC, el plano
B(a1,a2,a3) y C(c1,c2,c3)

=
(A,AB,AC)
viene determinado por tres puntos A(a1,a2,a3),
El plano
 La ecuación vectorial de  es
OP  OA  AP  OP  OA   u   v,

 Las ecuaciones paramétrica de  son
 x , y , z    a 1 , a 2 , a 3     u 1 , u 2 , u 3     v1 , v 2 , v 3 
 x  a1     b1  a1      c1  a1 
 x  a 1    u 1    v1


  y  a 2    u 2    v 2   y  a 2     b2  a 2      c 2  a 2 
 z  a   u   v

3
3
3

 z  a 3     b3  a 3      c 3  a 3 
 La ecuación general de  es
x  a1
u1
v1
y  a2
u2
v 2  0  A  x  B  y  C  z  D  0,
z  a3
u3
v3
A, B , C , D 
, 
ECUACIONES DEL PLANO.
ECUACIONES DEL PLANO.
ECUACIONES DEL PLANO.
ECUACIONES DEL PLANO.
ECUACIONES DEL PLANO.
El plano
 Dado un punto A(1/2,3,2) y la recta (x,y,z) = (2+,-,5+) con   ℝ. Hallar la
ecuación general del plano que contiene a ambos.
Como podemos tomar como puntos del plano A(1/2,3,2) y B(2,0,5), y como vectores
directores u = (1,-1,1) y v = AB = (3/2,-3,3), la ecuación general será
x 1
2
y3
z2
1
3
1
3  0  3  x 
2
2
3
2
3
z
3
0
2
 Ejemplo.- Averiguar si los puntos O(0,0,0), A(1,-1,3), B(5,2,-2) y C(-3.-4,8) son
 1

C om o R ango O A , O B , O C  R ango  1

 9

coplanarios


5
2
2
3 

 4  2  A , B y C son coplanarios

8 
 Determinar la ecuación del plano coordenado OXZ
T om ando O  0, 0, 0  , i  1, 0, 0  , j   0, 0,1  , La ecuación d el plano será
x
1
0
y
0
0  0  0  y  0,  y  0
z
0
1
ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES.
ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES.
DETERMINACIÓN DE UN PLANO.
PUNTOS COPLANARIOS.
Posiciones relativas de dos rectas
 Dos rectas
r : (x,y,z) = (a1,a2,a3) +  . (u1,u2,u3)
s : (x,y,z) = (b1,b2,b3) +  . (v1,v2,v3);
 ℝ
en el espacio pueden ser:
COPLANARIAS PARALELAS ( o coincidentes)
COPLANARIAS SECANTES
NO COPLANARIAS (se cruzan)
Posiciones relativas de dos rectas
 Si las rectas
r : (x,y,z) = (a1,a2,a3) +  . (u1,u2,u3)
s : (x,y,z) = (b1,b2,b3) +  . (v1,v2,v3);
ℝ
tienen vectores u y v no proporcionales (es decir no paralelos), entonces,
dependiendo de que r y s, sean coplanarios o no, serán coincidentes en un punto
o se cruzarán. Para ello, podemos tomar dos puntos cualesquiera Pr de la recta r
y Ps de la recta s, y se cumplirá
Si Rango (u,v,PrPs) = 3, las rectas r y s se cruzan
Si Rango (u,v,PrPs) = 2, las rectas r y s se cortan en un punto
Ejemplo.- Determinar la posición relativa de las rectas
r:
Como u y v no son proporcionales, tomando
PrPs = (0-2,4-(-4),(-5)-5) = (-2,8,-10)
3
2
1
2
4
1  78  0
1
4
5
s:
x2
3
x
2


y4

z5
2
y4
4

1
z5
1
Los vectores no son coplanarios, y por tanto
se cruzan
Posiciones relativas de dos rectas.
 Dadas Rango
dos rectas
es(M*)
decir
(M*) = 1 r y s, determinada
Rango (M*) = 2 por la intersección
Rango (M*) = 3 de planos,
Rango
=4
Rango (M) = 1
:Ax+By+Cz+D=0
r NO
: SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIR
’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0
s : NO SE PUEDE CUMPLIR
’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
NO SE PUEDE CUMPLIR
’’’ : A’’’ x + B’’’ y + C’’’ z + D’’’ = 0
Rango (M) = 4
Rango (M) = 3
Rango (M) = 2
Denominando
NO SE PUEDE CUMPLIR
Compatible determinado:
RECTAS COINCIDENTES
B
C 
 A




A'
B' C'
; M *  
M 
 A '' B '' NO C
''  CUMPLIR 
SE PUEDE
NO SE PUEDE CUMPLIR



 A ''' B ''' C ''' 

Incompatible:
RECTAS PARALELAS
A
B
C
A'
B'
C'
ACompatible
'' Bdeterminado:
'' C ''
RECTAS SECANTES
A '''
B '''
C '''
NO SE PUEDE CUMPLIR
D 

D'


DLAS
''Incompatible:
RECTAS SE
CRUZAN
D ''' 
Pueden representarse las siguientes posibilidades que se recogen en la
NO SE PUEDE
siguiente
tablaCUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIR
Posiciones relativas de dos rectas. Ejemplo.
 Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas
 3x  2 y  4 z  3
r :
 x  y  z  5  1
4 x  3 y  5z  3  0
s:
 2 x  y  3z  5  9
Como se cumple
3

1

R ango
4

2
2
1
3
1
4
3


1
1
  2  R ango 
4
5


3
2
Las rectas r y s son coincidentes.
2
4
1
1
3
5
1
3
3 

6

3 

9 
Posiciones relativas de recta y plano
 Dada un plano  y una recta r
: A x + B y + C z = D
A’ x + B’ y + C’ z = D’
r:
A’’ x + B’’ y + C’’ z = D’’
Pueden ser
SECANTES
PARALELOS
LA RECTA CONTENIDA EN EL PLANO
Posiciones relativas de una recta y un plano
Rango (M) = 2
Rango (M) = 1
 Para estudiar las soluciones del sistema de un plano y una recta
= 1y + C z + D = Rango
(M*) = 2
Rango (M*) = 3
Rango
: A x(M*)
+B
0
r : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
: A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0
Denominando:
NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIR
B
C 
 A
 A



*
M  A' B' C '
y M  A'



Compatible
indeterminado;
 A '' CUMPLIR
 CONTENIDA
ELA ''
B
''
C
''
NO SE PUEDE
RECTA
EN



PLANO
D 

B' C' D'

Incompatible: 
B
''
C '' D '' 
RECTA PARALELA AL PLANO
B
C
Rango (M) = 3
Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de
acuerdo con la siguiente tabla resumen
NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIR
Sistema compatible
determinado:
RECTA Y PLANO INCIDENTES
Posiciones relativas una recta y un plano. Ejemplo.
 Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de la recta y el plano
r :3x+2y–7z–6=0
:x+y–z–4=0
:3x–y+z–8=0
Como se cumple
3

R ango 1

3

2
1
1
7 
3


 1  3  R ango 1


3
1 

2
7
1
1
1
1
El sistema es compatible, y la recta y el plano son incidentes.
Resolviendo el sistema, se obtiene el punto de corte P(3,2,1)
6

4

8 
Posiciones relativas de una recta y un plano.
 Si la recta viene dada en forma paramétrica o continua, se puede expresar
previamente como dos planos o bien puede procederse sustituyendo.
Es decir, sea la recta y el plano
 x  a1    u 1

r :  y  a2    u2  : Ax  By  C z  D  0
 z  a   u
3
3

A   a1    u 1   B   a 2    u 2   C   a 3    u 3   D  0
Se sustituye
Si de la ecuación, se obtiene un valor , son incidentes y el punto de
intersección se obtiene sustituyendo el valor  en las ecuaciones
paramétricas de la recta.
Si de la ecuación se obtiene una identidad falsa, la recta y el plano son
paralelas.
si de la ecuación se obtiene la identidad trivial (0.  =0), la recta está
contenida en el plano
Posiciones relativas de una recta y un plano.
 Ejemplo.- Sea la recta y el plano.
 x  2  7  u1

r :  y  4  2  u2
 z  3  3u
3

 : 3 x  3 y  5 z  12  0
Sustituyendo
3   2  7     3   4  2     5   5  3     12  0  0     15
Luego la recta y el plano son paralelos
Posición relativa de una recta y un plano
Posición relativa de una recta y un plano
Posiciones relativas de dos planos
 Dos planos
 :Ax+By+Cz+D=0
’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
en el espacio pueden ser PARALELOS, SECANTES o COINCIDENTES.
Posiciones relativas de dos planos
B
C 
 A
M 
 y
Sistema
compatible
' B ' C '
 Aindeterminado:
M
*
B
C
D 
 A


A ' B 'incompatible:
C ' D '
 Sistema
PLANOS PARALELOS
PLANOS COINCIDENTES
Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de
acuerdo con la siguiente tabla resumen
Rango (M) = 2
Rango (M) = 1
 Para estudiar las soluciones del sistema de planos
 :Ax+By+Cz+D=0
’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
Denominando:
Rango (M*) = 1
Rango (M*) = 2
NO SE PUEDE CUMPLIR
Sistema compatible determinado:
PLANOS SECANTES
(se cortan en una recta)
Posiciones relativas de dos planos. Ejemplo.
 Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de los siguientes planos
 :3x-2y+4z -1=0
’ : - 6 x + 4 y -8 z + 7 = 0
Como se cumple
 3
Rango 
 6
2
4
4 
 3
  1  Rango 
8 
 6
Los planos son paralelos
2
4
4
8
1 
2
7 
Posiciones relativas de tres planos
 Tres planos
 :Ax+By+Cz+D=0
’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0
en el espacio pueden ser:
Los tres PARALELOS (o coincidentes)
Dos PARALELOS y el tercero COINCIDENTE a ambos (en dos rectas
paralelas)
COINCIDENTES dos a dos (en tres rectas)
COINCIDENTES en una recta.
COINCIDENTES en un punto
Posiciones relativas de tres planos
Rango (M) = 2
Rango (M) = 1
 Para estudiar las soluciones del sistema de planos
=1
(M*) = 2
Rango
: A x(M*)
+B
y + C z + D = Rango
0
’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
Rango (M*) = 3
Incompatible:
’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z PLANOS
+ D’’ = PARALELOS
0
Sistema compatible
DISTINTOS ó PLANOS
Denominando:
indeterminado:
PLANOS COINCIDENTES
PARALELOS CON DOS
COINCIDENTES
NO SE PUEDE CUMPLIR
B
C 
B
C
D 
 A
 A




*
M  A' B' C '
y M  A' B' C ' D '



Incompatible: 
Compatible
indeterminado;
 A '' CUMPLIR

ENA '' PANOS
SECANTES DOS A DOS ó
B
''
C
''
B
''
C '' D '' EL
NO SE PUEDE
PLANOS
COINCIDENTES

 UNA RECTA 
DOS PARALELOS Y 
TERCERO SECANTE
Rango (M) = 3
Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de
acuerdo con la siguiente tabla resumen
NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIR
Sistema compatible
determinado:
PLANOS SECANTES EN UN
PUNTO
Posiciones relativas de tres planos. Ejemplo.
 Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de los siguientes planos
 :x+y+z=2
’ : 3 x + 2 y – z = 2
’’ : 4 x + 3 y = 2
Como se cumple
1

R ango 3

4

1
2
3
1 
1


 1  2  R ango 3


4
0 

1
1
2
1
3
0
2

2 3

2 
El sistema es incompatible, y los planos pueden ser dos paralelos y el
tercero secante o coincidentes dos a dos (forma prismática). Que
observando, que no son proporcionales los coeficientes de los planos, se
deduce que se cortan en forma prismática.
Haz de rectas en el plano
Haz de rectas en el plano
EJEMPLO DE HACES DE RECTAS EN UN PLANO.
Radiación de tres rectas
Haz de planos
Haz de planos
Posiciones relativas de rectas y planos con la esfera
Posiciones relativas de rectas y planos con la esfera
Posiciones relativas de rectas y planos con la esfera
Posiciones relativas de rectas y planos con la esfera
Posiciones relativas de rectas y planos con la esfera
Posiciones relativas de rectas y planos con la esfera
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