INAOE
CURSO PROPEDEUTICO PARA LA
MAESTRIA EN ELECTRONICA
2010
Métodos
Matemáticos
Capítulo 2
EDO de primer orden
Métodos Matemáticos - INAOE
y ' sin
y ' sin  x  y cos  x
dy
sin  x  y cos  x
dx
dy
cos  x

sin  x
y

dy

y

cos  x
 sin 
dy
y
dx

x
du
 u
du
ln y  C 
e
  cos  x
dx
1
 ln
u  sin  x
dx
y C
Cy  u
1


ln u
e
 1

 ln u 


e
!

y  C sin  x 
1


 ln u

1





cos  x 
1 du
 dx
Ejemplo: Ecuaciones diferenciales de
primer orden separables
Ecuaciones diferenciales de primer orden
separables
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Métodos Matemáticos - INAOE
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Métodos Matemáticos - INAOE
Ejercicios:
EJEMPLOS: Resolver las sig. EDO.
Métodos Matemáticos - INAOE
CASO ESPECIAL DE SEPARACION DE VARIABLES
El cambio de variable
y  ux
dy
ux
dx
du
dx
ux
du
 f (u )
dx
ux
du
 f (u )
dx
du
dx

f (u )  u
x
lleva a :
2x y y' y  x
2
dy
2
EJEMPLO
y x
2

dx
2
2x y
dy
dx

y

y  ux
x
2x
2y
ux
du
dy

dx
x
u

2
du
ux
dx
1
du
dx
2u
u 1
2

dx
2u
2u
u 1
2
du  
u
1
dx
x
2u
2
1
du   
1
dx
x
ln u  1   ln x  C
2
u 1 
2
C
x
 y2 
C
 2  1 
 x 
x


y  x  Cx
2
2
Ecuaciones diferenciales de primer orden
EDO Exacta
Se dice que una EDO es exacta
cuando tiene la forma :
… y su solución es:
F
x
dx 
F
y
dy  0
F ( x , y )  Cte
Se le llama “exacta” porque sale de construir la diferencial total de
una función F:
Ejemplo: Ecuación diferencial de primer orden Exacta
SOLUCION :
F
La premisa es que se trata de una EDO exacta :
x
F
dx 
y
dy  0
M ( x , y ) dx  N ( x , y ) dy  0
Si se cumple esta igualdad, si es una EDO exacta:
Tomamos el 1er. Término e integramos con
respecto a “x” (y constante):
M
y
F
x
F 
Obtenemos derivada parcial con respecto a “y”:

F
y
N
x
 M ( x, y )
 M ( x , y ) dx  g ( y )


y
 M ( x , y ) dx  g ' ( y )
 N ( x, y )
Despejamos g´(y)
Integrando con respecto a “y” obtenemos g(y)
g ' ( y )  N ( x, y ) 

y
 M ( x , y ) dx
Tomamos g(y) y lo substituimos en F
LA SOLUCION DE LA EDO ES
F=c
Ejemplo. Resolver:
Ejemplo: Resuelva la sig. EDO :
( 2 x  y ) dx  ( x  6 y ) dy  0

y
F 
 Mdx
F 

 k ( y)
x
(2 x  y )  1
(x  6 y)  1
 ( 2 x  y ) dx  k ( y )
F  ( x  yx )  k ( y )
2
F
y
 (x  6 y)
x  k ´( y )  x  6 y
k ( y )  3 y
2
F  ( x  yx )  3 y  C
2
2
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Métodos Matemáticos - INAOE
Determinación del Factor integrante µ(x)
dy
Forma gral. de la EDO
 P ( x) y  f ( x)
dx
La escribimos en forma diferencial
Multiplicamos todo por el factor integrante µ(x)
Para convertir la EDO en exacta se debe cumplir que:
dy   P ( x ) y  f ( x ) dx  0
 ( x ) dy   ( x )  P ( x ) y  f ( x ) dx  0

x
 ( x) 
d
Simplificando:

y
 ( x )P ( x ) y  f ( x ) 
  P ( x)
dx
Resolviendo para µ :
d

 P ( x ) dx
ln  
Factor Integrante :
  e
 P ( x ) dx
P ( x ) dx
Solución de la EDO una vez conocido el factor integrante:
A partir de la EDO en su forma diferencial:
Multiplicamos todo por el factor integrante:
Reconocemos del lado izquierdo la diferencial
de un producto:
Integramos en ambos lados:
Despejando “y” tenemos la solución ! :
dy   P ( x ) y  f ( x ) dx  0
e
P ( x ) dx
P ( x ) dx
P ( x ) dx
dy  e 
P ( x ) y dx  e 
f ( x ) dx
P ( x ) dx
 P ( x ) dx 
d e
y  e
f ( x ) dx


e
P ( x ) dx
y

e

P ( x ) dx
f ( x ) dx  c
 P ( x ) dx
 P ( x ) dx f ( x ) dx  c e   P ( x ) dx
y e 
e

Ejemplo: EDO no homogénea 1er. Orden, factor integrante
P (x) 
2
x
P ( x ) dx
 (x)  e 
2
 (x)  e
 x dx
 ( x)  e
2 ln x
 (x)  e
ln x
2
 ( x)  x
2
x y ' 2 xy  cos x
2
( x y )'  cos x
2
 cos
x y
2
x dx
x y  sin x  C
2
y
sin x  C
x
2
Ejemplo: EDO no homogénea 1er. Orden, factor integrante
t
e x´  e
t
xe
2 t
t
( e x )´  e
t
2 t
e x
e
t
2 t
dt
e x
1
e
2t
C
2
x (t )  
1
2
e
t
 Ce
t
Ejemplo: Resolver EDO
La EDO ya era exacta !!!
(1  x ) y ' y  cos x
y '
1
1 x
y
cos x
1 x
1
 ( x)  e
 1  x dx
 ( x)  e
 ( x)  1  x
(1  x ) y ' y  cos x
(1  x ) y '  cos
ln( 1  x )
x
(1  x ) y 
 cos
x dx
(1  x ) y  sin x  C
y
sin x  C
(1  x )
…para comprobar vamos a resolverla por EDO exacta:
(1  x ) y ' y  cos x
(1  x ) dy  y dx  cos x dx
( y  cos x ) dx  (1  x ) dy  0
F
x
F
x
dx 
F
y
dy  0
M ( x , y ) dx  N ( x , y ) dy  0
 y  cos x
 F  ( y  cos x )  x
F 
 ( y  cos
x ) x
F  yx  sin x  k ( y )
F
y
 1 x
x  k '( y)  1  x
k '( y)  1
k ( y)  y
F  yx  sin x  y
y (1  x )  sin x  C
y
sin x  C
(1  x )
METODO DE VARIACION DE PARAMETROS EN LA
SOLUCION DE ECS. DIF. LINEAL NO-HOMOGENEA
dy
 P ( x) y  f ( x)
dx
y  yc  y p
Sol. Complementaria es la sol.
de la ec. homogénea asociada
dy
 P ( x) y  0
dx
dy
  P ( x ) dx
y
 P ( x ) dx
yc  c e 
y c  c y1
La solución particular proviene
de la forma de f(x)
El método de variación de parámetros consiste en encontrar una función v(x) tal que al
ser multiplicada por la solución complementaria entregue la solución de la ecuación
diferencial
y  v y1
dy
Iniciamos con la forma gral. de la ecuación:
 P ( x) y  f ( x)
dx
d
Substituímos la sol. propuesta:
dx
Derivamos el producto:
v
dy 1
dx
Agrupamos y cancelamos
término:
Resolvemos para “v” :
v y1   P ( x ) v y1 
 y1
dv
dx
f ( x)
 P ( x ) v y1  f ( x )
dv
 dy

v  1  P ( x ) y1   y1
 f ( x)
dx
 dx

dv 
f ( x)
y1 ( x )
dx
f ( x)
dv 
dx
y1 ( x )
Integramos la expresión:
v 

f ( x)
dx  c
y1 ( x )
Substituímos en la solución
originalmente propuesta ( y  v y 1 :)
Se obtiene la solución:
y  y1 
f ( x)
y1 ( x )
dx  c y 1
y ' y tan x  sen x
EJEMPLO: Resolver la ecuación:
Sol. Complementaria es la sol.
de la ec. homogénea asociada
dy
 P ( x) y  0
dx
y ' y tan x  0
dy
 y tan x
dx

dy
  tan x dx
y

dy
y


sin x
u  cos x
dx
du  sin x dx
cos x
dy
y


1
du
u
ln y  C   ln u
Cy  u
1
yC
1
cos x
y1 
1
cos x
EJEMPLO: Resolver la ecuación:
Obtenemos
Obtenemos v
y ' y tan x  sen x
y1 
y1 :

v 




dx  c 
y1 ( x )

v
f ( x)

1
cos x
sen x
1
dx  c
cos x
v
cos
2
x
c
2
 1 

y   cos x  c 

2
cos
x


1
La solución es
( y  v y1 )
:
Ejemplo
Ecuaciones no homogéneas: Variación de Parámetros (ejemplos).
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Ejemplo
Ecuaciones no homogéneas: Variación de Parámetros (ejemplos).
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EDO de segundo orden
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